牛顿插值和拉格朗日插值

1、 主要内容一、插值函数的基本思想二、插值函数的基本算法三、插值函数的Matlab实现四、举例说明五、插值函数的优、缺点六、附录、插值函数的基本思想在科学研究和实践活动中，我们所遇到的大量函数，有相当一部分是通过观测和实验得到的，虽然其函数关系在某个区间上是存在的，但是却不知道具体的表达式，只能通过观测或实验得到一些离散点的函数值、导数值，因此希望对这样的函数用一个简单的解析表达式近似的给出整体上的描述。在数学上，该问题相当于，函数yf睢某个区间a,b上存在且连续，但不知道解析表达式，只给出a,b上离散点,.的函数值yf如何计算yfX在a,b上其它点的函数值。i插值法的基本思想就是构造一个简单函

2、数yP事作为f1勺近似表达式，以P的值作为函数f-勺近似值，而且要求P嗔在给定点X,与取值相同，即尸*f通常我们称P为fI勺插iii值函数，其中x.称为插值节。i二、插值函数的基本算法插值函数)插值公式首先考察待定常数c%1,2,n1与差商之间的关系。icfX,XcflX,X1012012对于一般的cj-3,4，,n*我们用归纳法证得jcfx，xj0j因此Newton插值公式为f,xxf,xxxHx01插值公向前插值公式插值公设插值节点为等距节点xxih,i0,1,n，在i0式中用向前差分代替差商，可得xlf-x1x.f0,xx01!h02!h201可得f0 xmx.xn!hn01Iti可得f

3、0 xmx.xn!hn01ItiII,i0,1，,n，于是Nxnf0 xth0区t.Et乜t，l，n通1!2!向后插值公式插值公式中改变插值节点的次序并用向后差分代替差，xn.1xxnfxnnLnxx1!hn2!h2nnxthnNxthnNn则可得Nxnfnthn时Bxt1!2ft，1*nfnt、1，nll2!n!n!hnn!hnnn注：差商的定义Ifx，xfx,xTOC o 1-5 h zjx,x，xT90i皿ii“-xIxii为f/于点x,x,x的k阶差商，其中称f.*x1为f-iii*jj于x的零阶差商。j差分的定义设函数yf在等距节点xxk晨-1,2,n1上的函数值k0ffh“*a称为

4、步长。iinxxh，ff1PffIL|i0,-1,-22i2iii12Ii12I引入记号ffiiifffiii4ffii2i2分别称fIxI为在节点x的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差ii分，,称为差分算子。、三次插值样条函数（三弯矩方程）首先引入区间a,bI的一个划分:axxxTOC o 1-5 h z01n称x,x，x,x为剖分点，x，x为内剖分点，小区间e01nn1nj第j个剖分单元。记ff导fiH身f它们分别表示被插函数f嚷在iiiiii节点xi处的函数值、一阶和二阶导数值。设关于剖分的分段多项式插值函数空间为Spk;Ci昊。氢P,xe,i1,2,nki它表示在每个剖分单元为k次

5、多项式且在整个定义区间a,b=jt(i,j)=(t(i,j-1)-t(i-1,j-1)/(x(i)endendendfork=1:ns=1;-x(i-j+1);m=1;forj=1:kifjks=s*(v-x(j);endendm=s*t(k,k);u=u+m;enddisp(插值结果=);disp(u);end)Newton向前插值函数functiony0=newtonint1(x,y,x0)n=length(y);h=x(2)-x(1);t=(x0-x(1)/h;Y=zeros(n);Y(:,1)=y;fork=1:n-1Y(:,k+1)=diff(y,k);zeros(k,1);endy

6、0=Y(1,1)；fori=1:n-1z=t;fork=1:i-1z=z*(t-k);endy0=y0+Y(1,i+1)*z/prod(1:i);end)Newton向后插值函数functiony0=newtonint2(x,y,x0)n=length(y);h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-x0)/h;Y=zeros(n);Y(:,1)=y;fork=1:n-1Y(:,k+1)=zeros(k,1);diff(y,k);endy0=Y(n,1);fori=1:n-1z=t;fork=1:i-1z=z*(t-k);endy0=y0+Y(n,i+1)*(-1)Ai*z/prod(1:i

7、);endfunctiony0=csyt(x,y,z,x0)n=length(x);m=length(y);ifn=merror;endifisempty(z)=1z=(y(2)-y(1)/(x(2)-x(1)(y(n)-y(n-1)/(x(n)-x(n-1);endh=zeros(1,n);l=ones(1,n);m=ones(1,n);M=zeros(n,1);d=zeros(n,1)；fork=2:nh(k)=x(k)-x(k-1);endfork=2:n-1l(k)=h(k+1)/(h(k)+h(k+1);m(k)=1-l(k);d(k)=6/(h(k)+h(k+1)*(y(k+1)-y(k)/h(k+1)-(y(k)-y(k-1)/h(k)；endd(1)=6/h(2)*(y(2)-y(1)/h(2)-z(1);d(n)=6/h(n)*(z(2)-(y(n)-y(n-1)/h(n);A=diag(2*ones(1,n);fori=1:n-2A(i,i+1)=l(i);A(i+1,i)=m(i+1);M=Ad;endfork=2:nifx(k-1)=x0*x0X=linspace(-5,5,100);Y