切线性质和判定

1、关于切线的性质和判定第1页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四.Ol特点：.O叫做直线和圆相离。直线和圆没有公共点，l特点：直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切。这时的直线叫切线， 唯一的公共点叫切点。.Ol特点：直线和圆有两个公共点，叫直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线。复习：直线与圆的位置关系 一、用公共点的个数来区分.A.A.B切点第2页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四ldrl2、直线和圆相切drd = rOl3、直线和圆相交d r第3页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工

2、件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？情景导入第4页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四想一想 过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？Orl A第5页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。 条件：(1)经过半径的外端；圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径； OAllOA，且l 经过O上 的A点直线l是O的切线符号语言表达第6页，共29页，2022年

3、，5月20日，11点28分，星期四说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：定理辨析第7页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四判 断1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）OrlAOrlAOrlA第8页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四1、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距

4、离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线；(d=r)归纳：第9页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四例1 直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是O的切线.证明: 连接OCOA=OB, CA=CBOAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线OCABAB是O的切线OCBA这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证垂直”注意：使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点。第10页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四练习1、如图4，AB是O的直径，ABC=45，AC=AB，AC是O的切线吗？为什么？ BA

5、CO解：AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即ABAC AB是O的直径 AC是O的切线变式练习第11页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四练习2、如图:线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BAD=B = 30，边BD交圆于点D。BD是O的切线吗？为什么？ AOBCD解：BD是O的切线连接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 ODB=900 即： ODDB BD是O的切线变式练习第12页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四证明：连结OP。 AB为直径 OB=OA， BP=PC， OPAC。 又 PEAC， PEOP。

6、 PE为0的切线。练习3,ABC中，以AB为直径的O，交边BC于P， BP=PC, PEAC于E。 求证:PE是O的切线。OABCEP变式练习第13页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四例2:已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为 半径作O。求证：O与AC相切。OABCED证明：过O作OEAC于E。 AO平分BAC，ODAB OEOD OD是O的半径 AC是O的切线。第14页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四小 结例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直

7、。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED第15页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四.OAL思考 如图：如果直线L是O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径直线L是O的切线，A是切点。 LOA于A点简记为：“知切线，连半径，得垂直”第16页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四探索切线性质假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,则OMOA

8、,即圆心到直线CD的距离小于O的半径,因此,CD与O相交.这与已知条件“直线与O相切”相矛盾.CDBOA所以AB与CD垂直.M第17页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四例3如图，AB是O的直径, C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DABAODCB证明：连接OCCD 是O的切线，OCCD.又ADCD , OC/AD.ACO CAD .又OC=OD, CAO ACO CAD CAO ,故AC平分DAB第18页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四1， 如图：AC是O的切线，B=600。求CAD=?BACODAOCB 2，如图

9、：以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是切点，求证：C是AB的中点。变式练习第19页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四 已知如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D。AC与O相切吗？为什么?E解：AC与O相切 连接OD,作OEAC OEC=900 AB是O的切线ODAB, ODB=900=OEC AB=AC B=C O是BC的中点OB=OC OBDOCE OD=OE AC与O相切变式练习第20页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四课堂小结1. 判定切线的方法有哪些？直线l 与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经

10、过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2. 常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。第21页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四1.切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直

11、线必过圆心.切线的性质：切线的性质、可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.总结：第22页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 210 x + 16 = 0 的两根，求 E 的半径 r .F解：连接EFx 210 x + 16 = 0(X-2)(X-8)=0X1=2 X2=8BC=8 AD=2AB是O的切线EFABABBCEF/BC/ADE是DC的中点 EF是梯形ABCD的中位线EF= (A

12、D+BC)=5拓展提高第23页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四切线的性质定理的应用例.已知RtABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与C相切解:(1)过点C作CDAB于D.AB=8cm,AC=4cm.A=60因此,当半径长为 cm时,AB与C相切.BACB=30D 练一练第24页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四1.AB是O的弦,C是O外一点,BC是O的切线,AB交过C点的直径于点D,OACD,试判断BCD的形状,并 说明你的理由.巩固练习第25页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四2、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ）A、0条 B、 1条 C、 2条 D、 3条D第26页，共29页，2022年，5月20日，11点28分，星期四3、已知如图ABC内接于O，过点A作直线EF，AB为直径,