函数奇偶性公开课

1、关于函数奇偶性公开课第1页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四教学目标奇函数的概念；偶函数的概念；函数奇偶性的判断；【重点】函数奇偶性的概念【难点】函数奇偶性的判断【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法【学法】归纳讨论练习【教学手段】多媒体电脑与投影仪第2页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四 两个分别关于X轴、y轴或原点o对称的点，其坐标各具有什么特征呢？温故知新第3页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四第4页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四xyoxyo 观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同

2、特征吗？（2）当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如何? x-3-2 -1 0 1 2 3 x -3-2 -1 0 1 2 3 第5页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四我们得到: 1 这两个函数图象都关于y轴对称. 2 从函数值对应表可以看到:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同.即点(x,f(x)在图象上,相应的点(-x,f(x)也在函数图象上。能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？第6页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四Y=x2-xx当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1)当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2

3、)对任意x，f(-x)=f(x)第7页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四偶函数的图象关于Y轴对称.yxo函数y=x2的图像 偶函数的图像特征第8页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四偶函数的特征:解析式的基本特征：f (-x)=f (x)图像特征:关于y轴对称. 设函数的定义域为数集D，如果对于任意的都有 且 f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.1. 偶函数的概念概 念 形 成第9页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点规律呢？yxOx0-x0 x-3-2 -1 0 1 2 3 x

4、-3-2 -1 1 2 3 第10页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四例如：对于函数f(x)=x3-xx概 念 形 成(X,f(x)(-X,-f(x)返回第11页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四奇函数的图像特征函数y=x3的图像xyO奇函数的图象关于原点对称.第12页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四奇函数的特征:解析式的基本特征：f (-x)=-f (x)图像特征:关于原点对称.2.奇函数的概念概 念 形 成 设函数的定义域为数集D，如果对于任意的都有 且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.第13页，共51页，2

5、022年，5月20日，11点1分，星期四下列函数是偶函数吗?xy1xy1xy1-1。第14页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 a ,b-b,-axo对于奇、偶函数定义的几点说明:(2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质.第15页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四一个函数f(x)是偶函数的充要条件是,它的图象 是以y轴为对称轴的轴对称图形; 奇、偶函数的性质:一个函数f(x)是奇函数充要条件是,它的图象 是以坐标原点为对称

6、中心的中心对称图形.第16页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四思考：如何判断一个函数的奇偶性呢？（1）图像法（2）定义法第17页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.yxyxyx-12yx-11偶奇非奇非偶奇图象法第18页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四定义法课本例4第19页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)

7、是偶函数;若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.(3)作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。给出函数判断定义域是否对称结论是f(-x)与f(x)否第20页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四练习. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)= - f(x)f(x)为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数函数定义域为R解:函数定义域为R= f(x)定义法第21页，共51页，20

8、22年，5月20日，11点1分，星期四课堂小结1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， 若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； 若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提第22页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四奇偶函数定义图像性质定义域对称图像法、定义法第23页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四必做题:课本P58 2 (1)、（） 选做题：练习册组(10)、（14）作业第24

9、页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四 检测题一、填空：1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有那么函数f(x)就叫做偶函数.2、奇函数的图象关于对称。二、判断：1、偶函数的图形不一定关于y轴对称。（ ）2、y=x 是奇函数。 （ ）三、判断下列函数的奇偶性第25页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四再见！第26页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四2.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性.简化函数图象的画法,

10、(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.第27页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四(6) f(x)=x+1解:函数f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0，f(x)为既奇又偶函数(5)f(x)=0 (xR)根据奇偶性, 函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.解:函数定义域为R f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1,f(-x)f(x),且f(-x) f(x). f(x)为非奇非偶函数.第28页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四

11、判定函数的奇偶性的步骤：(1)先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数.若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步;(2)计算f(x)化向 f ( x ) 的解析式；若等于 f ( x ),则函数是偶函数,若等于f ( x ),则函数是奇函数,若不等于 ,则函数是非奇非偶函数(3)结论.有时判定f(-x)=f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=1. 第29页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四(4)f(x)=|x+1|-|x-1|f(x)既是偶函数, 又是奇函数. 解:函数的定义域为-1,1,第30页，共51

12、页，2022年，5月20日，11点1分，星期四复习回顾1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.一个函数为奇函数它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数它的图象关于y 轴对称.2.两个性质:3.判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称； 判断f(-x)f(x)之一是否成立； 作出结论.第31页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四例3.已知f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x22x,求当 x0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.xyo解:f(

13、x)是奇函数,f(-x)=f(x).当x0时,f(x)=x22x,当x0时,-x0,f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,即 -f(x)= (x2+2x), f(x)=-x2-2x.第32页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四偶函数定义： 如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。第33页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=-f(x)那么f(x)就叫奇函数。思考:偶函数与奇函数图象有什么特征呢?第34页，共51页，2022年，5月20

14、日，11点1分，星期四判断函数奇偶性步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)确定f(x)与f(-x)的关系;(3)作出结论.若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.第35页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 f(-x) - f(x)且f(-x) f(x) f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（

15、也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。思考：思考2：完成课本页的练习第36页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四小结：奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） 若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； 若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.判断奇偶性方法：图象法，定义法。第37页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四yx-11-11-xx第38

16、页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四引 例1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？第39页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四第40页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2)

17、,f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8f(-2)= - f(2)f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1)f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)思考 : 通过练习,你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y)第41页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四注意： (1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质. (2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内

18、的一个自变量(即定义域关于原点对称)第42页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四例2.判断下列函数的奇偶性:解:(1)对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内的每一个x,都有所以函数 为奇函数。（1） （2）先确定定义域,再验证f(x)与f(-x)之间的关系. (3) 第43页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四（5）（4） 定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数。解：（4）（5）,故函数f(x)为既是奇函数也是偶函数。第44页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四例3.判断下列函数的奇偶性 定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.第45页，共51页，2022年，5月20日，11点1分，星期四Y=x2-xx当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1)当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2)对任意x