计算机图形学二维图形变换课件

1、图形变换图形变换是计算机图形学基础内容之一。内容：几何变换；视图变换；投影变换。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。图形变换 图形变换的基本原理是： （1）图形的拓扑关系不变； （2）图形的几何关系可以改变。 所谓图形拓扑关系不变是指图形的连边规则不变，即原来是相邻的点变换后依然相邻，原来不相交的线变换后依然不相交。所谓图形的几何关系可以改变是指图形的点与点之间的位置和距离可以改变。例如：AA1BB1CC1D1DAA1BB1CC1DD1图形变换 图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。图形变换的两种形式：1.图形不

2、变，坐标系改变；变动后该图形在新的坐标系下具有新的坐标值 。2.图形改变，坐标系不变，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化。变换的数学基础矢量的数乘 矢量的点积性质变换的数学基础矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角矢量的叉积 矩阵的含义矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素变换的数学基础矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B = 数乘kA = k*aij|i=1.m, j=1,. n变换的数学基础乘法设A为32矩阵，B为23矩阵 C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj单位矩

3、阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am n = Am n In k=1,n变换的数学基础矩阵运算的基本性质交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A变换的数学基础矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C B矩阵的乘法不适合交换律变换的数学基础1.平移变换（

4、translation）平行于x轴的方向上的移动量平行于y轴的方向上的移动量 5.2.2几种典型的二维图形几何变换xy平移变换（5-7）（5-8）平行于x轴的方向上的缩放量平行于y轴的方向上的缩放量2.比例变换（scale）指相对于原点的比例变换 yx相对于原点的比例变换相对于重心的比例变换yx重心（5-10）（5-9）比例变换的性质当 时，变换前的图形与变换后的图形相似 当 时，图形将放大 当 时，图形将缩小当 时，图形将发生畸变 3.旋转变换（rotation） 点P绕原点逆时针转角（设逆时针旋转方向为正方向）（5-11）yx旋转变换（5-12）将式（5-11）代入式（5-12）得：（5-

5、13）（5-14）3.旋转变换（rotation）5.2.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术 1.齐次坐标技术的引入 平移、比例和旋转等变换的组合变换 处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现 3.齐次坐标技术的基本思想 把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决 5.基本几何变换的齐次坐标表示 平移变换 比例变换5.2.3常用的二维几何变换 1.对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换） （1）相对于y轴对称oyx对称变换（1）yxo对称变换（2）（2）相对于x轴对称（3）相对于原点对称（

6、即中心对称）（4）相对于直线y=x对称oxy对称变换（3）xyoy=x对称变换（4）（5）相对于直线y=-x对称xyoy=-x对称变换（5）错切变换（shear） 错切变换是将坐标点沿x和y轴发生不等量的变换，得到点的过程 。（a）正方形（b）沿+x方向错切（c）沿-x方向错切错切变换（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切 将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成角的 倾斜线，而保持y坐标不变。x 错切变换（1）yx（d）沿+y方向错切（e）沿-y方向错切（f）沿+x和+y方向错切（2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切 将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成角的倾斜线，而保持x坐标不变。 x 错切变换（

7、2）yy沿x，y方向的错切变换的坐标表示为： 相应的齐次坐标矩阵表示为：?沿x，y两个方向的二维错切变换矩阵为： 其中c、b为错切参数。 的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着对图形进行错切变换。 令b0可以得到沿x方向的错切变换，c0是沿x正向的错切变换，c0是沿y正向的错切变换，b0是沿y负向的错切变换. 在前面的变换中，子矩阵 上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形来实现。

8、曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点并重新画线来完成。 符合下面形式的坐标变换称为二维仿射变换（Affine Transformation）。 变换后的坐标x和y都是变换前的坐标x和y的线性函数。参数aij是由变换类型确定的常数。 仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何一组二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。因此，平移、比例、旋转、反射的仿射变换保持变换前后两直线间的角度、平行关系和长度之比不改变。复合变换（组合变换） 复合变换又称级联变换，指对图形做一次以上的几何变换。注意：任何一个线性变换都可以分

9、解为上述几类变换。 复合变换是指图形做了一次以上的基本几何变换，是基本几何变换的组合形式，复合变换矩阵是基本几何变换矩阵的组合。其中，T为复合变换矩阵，为单次基本几何变换矩阵。合变换中矩阵相乘的顺序不可交换。通常先计算出值得注意是：进行复合变换时，需要注意矩阵相乘的顺序。由于矩阵乘法不满足交换律，因此通常再计算例1：复合平移求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*）例1：复合平移解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x y 1)，则经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)变换矩阵为Tt=Tt1Tt2例

10、2：多种复合组合例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。yx(x,y)yx(x,y)yx(x,y)Tx1.相对于任意点（x0 , y0）的比例变换 对任意点比例变换的步骤： （1）平移变换 （2）相对于原点的比例变换 （3）平移变换 当（x0 , y0）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。 5.3.3 二维组合变换令任意点比例变换示意图平移平移比例则有2.绕任意点（x0 , y0）的旋转变换 绕任意点旋转变换的步骤： （1）平移变换 （2）对图形绕原点进行旋转变换 （3）平移变换 (x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)Oxy(x1,y1

11、)(x4,y4)相对于任意点(x0,y0)的旋转变换任意点旋转变换示意图平移平移旋转令则有 前面已经定义，二维基本几何变换都是相对于坐标原点进行的平移、比例、旋转、反射和错切五种变换，但在实际应用中常会遇到参考点不在坐标原点的情况。相对于任一参考点的变换方法为首先将参考点平移到坐标原点，对坐标原点进行二维基本几何变换，然后再将参考点平移回原位置。 例1 一个由顶点P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定义的三角形，如图5-6所示，相对于点Q（10，25）逆时针旋转30o，求变换后的三角形顶点坐标。P1P2P3Q 图 5-6 示例图第一步 Q点平移至坐标原点，如图5-7所示

12、。QP3P1P2图5-7 平移 变换矩阵为：。第二步 三角形相对于坐标原点逆时针旋转30，如图5-8所示。P1P2P3Q 图 5-8 旋转 变换矩阵为：。P1P2P3Q第三步 参考点Q平移回原位置，如图5-9所示。变换矩阵为：图 5-9 反平移 图形变换后的顶点的规范化齐次坐标矩阵等于变换前的规范化齐次坐标矩阵乘以变换矩阵。而所以 这样图形变换后的顶点坐标为P1（17.5，12.01），P2（34.82，22.01）和P3（18.66，30）。5.3.3 相对于任意方向的二维几何变换 二维基本几何变换是相对于坐标轴进行的平移、比例、旋转、反射和错切五种变换，但在实际应用中常会遇到变换方向不与坐

13、标轴重合的情况。相对于任意方向的变换方法为首先对任意方向做旋转变换，使变换方向与坐标轴重合，然后对坐标轴进行二维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意方向还原回原来的位置。例2 图5-11所示三角形相对于轴线y=kx+b作反射变换，求每一步相应的变换矩阵。y=kx+b（0，b） 图5-11原始图形 第一步 将点（0，b）平移至坐标原点，如图5-12所示。 图5-12平移 变换矩阵为：第二步 将轴线y=kx绕坐标原点顺时针旋转角(=arctank)，落于x轴上，如图5-13所示。变换矩阵为：图5-13旋转 第三步 三角形相对x轴作反射变换，如图5-14所示。变换矩阵为： 图5-14反射 第四步

14、 将轴线y=kx逆时针旋转角(=arctank) ，如图5-15所示。变换矩阵为：图5-15反旋转 图5-16反平移 第五步 将轴线平移回原来的位置，如图5-16所示。变换矩阵为：5.4 二维图形裁剪5.4.1 图形学中常用的坐标系5.4.2 窗口和视区及窗视变换5.4.3 窗视变换矩阵5.4.1 图形学中常用的坐标系 计算机图形学中常用的坐标系有用户坐标系、观察坐标系、设备坐标系和规格化设备坐标系等。1.用户坐标系（User Coordinate ，UC) 用户定义原始图形所采用的坐标系称为用户坐标系。用户坐标系通常根据应用的需要可以选择直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系以及极坐标系等等。图5

15、-17所示为常用的二维和三维用户直角坐标系。 5-17 二维和三维用户坐标系 2.观察坐标系(View Coordinate ，VC) 依据观察窗口的方向和形状在用户坐标系中定义的坐标系称为观察坐标系，观察坐标系用于指定图形的哪一部分可以输出范围。 5-18观察坐标系3.设备坐标系 (Device Coordinate ，DC) 显示器等图形输出设备自身都有一个坐标系称为设备坐标系，也称为屏幕坐标系。设备坐标系是二维坐标系，原点位于屏幕左上角，x轴垂直向右，y轴垂直向下，基本单位为像素。 5-19 设备坐标系 5-20 规格化设备坐标系 4.规格化设备坐标系 (Normalized Devic

16、e Coordinate ，NDC) 规格化设备坐标系是将设备坐标系规格化到（0.0，0.0）到（1.0，1.0）的范围内而定义的坐标系。规格化设备坐标系独立于具体输出设备。一旦图形变换到规格化设备坐标系中，只要作一个简单的乘法运算即可映射到具体的设备坐标系中。有了规格化设备坐标系后，图形的输出可以在抽象的显示设备上进行讨论，因而这种图形学又称为与具体设备无关的图形学。5.4.2 窗口和视区及窗视变换 在观察坐标系中定义的确定显示内容的区域称为窗口。显然此时窗口内的图形是用户希望在屏幕上输出的，窗口是裁剪图形的标准参照物。 在设备坐标系中定义的输出图形的区域称为视区。视区和窗口的大小可以不相同

17、。一般情况下，用户把窗口内感兴趣的图形输出到屏幕上相应的视区内。5-21三个窗口 5-22 三个视区 图形输出需要进行从窗口到视区的变换，只有窗口内的图形才能在视区中输出，并且输出的形状要根据视区的大小进行调整，这称为窗视变换（Window Viewport Transformation，WVT）。在二维图形观察中，可以这样理解，窗口相当于一个一扇窗户，窗口内的图形是希望看到的，就在视区中输出，窗口外的图形不希望看到，不在视区中输出，因此需要对窗口中输出的二维图形进行裁剪。 在计算机图形学术语中，窗口最初是指要观察的图形区域。但是随着Windows的出现，窗口概念已广泛用于图形系统中，泛指任何可以移动，改变大小、激活或变为无效的屏幕上的矩形区域。在本章中，窗口回归到其的原始定义，是在观察坐标系中确定输出图