2021-2022年中考数学专题复习将军饮马模型最值问题

1、 将军饮模最值问【型入什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由此却申出一 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马【型述如图，将军在图中点 A 处，现在要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【型象如图，在直线上找一点 使 +PB 小？这个问题的难点在于 PA 是一段折线段通观察图形很难得结果于最小值我 知道“两点之间，线段最短的线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问 题，将折线段变为直线段【型析作点 A 关于直线的对称点 A接 PA PA=，以 PAPB=PA+PB当 三共线的时候+=B此时为最小值（两点之间线段最短）

2、A1 这问题的法要通轴称，将定相的段行化，将问转为定点 到点的距问或点定线距问后过点间段短点直 之垂线段短解此最问。【型示【型】定动点（定一点转成与距最值题如图，在直线上找一点 使 +PB 小作点 A 关于直线的对称点 A接 PA PA=，以 PAPB=PA+PB当 三共线的时候+=B此时为最小值（两点之间线段最短） A【典题例 1、图，ABC 中ACB904，BC，CD 平ACB 交 AB 于点 D，点 E 是 AC 的中点，点 P 是 CD 上一点则 PA+PE 的最小值是_.2例 、如图，在 中， 是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A B C D例 、图，

3、的边 与 轴半轴重合，点 是 上的一动点，点 ，0是 OB 上的一定点，点 M 是 的中点，=30，使 PM+ 最，则点 P 的坐标_例 如图在 Rt 中=90=6=12 平分点 是 AC 的点， 点 E 是 AD 上动点，则 CE+ 的小值为 ( )AEDBAB C D 例 、如图，在 ABC 中 AB AC ， ，积是 0 ， AC 的直平分线 分交 AC 、 AB 边 E 、 点若点 D 为 BC 边中点，点 M 为段上一动点，则 周 长的最小值为（ AB8C10D3y x xy x x例 、图， 三个顶点的坐标别为 （1）画 ABC 关 轴成轴对称的 B C1 1 ，并直接写出顶点 的

4、坐标（2）在 轴找一点 ， 的长最小，在 轴标明点 P ，直接写出 最 小周长【型】定动点（定两点转成与距最值题在 OA、 上分别取点 M、，使得PMN 周长最小AAPMPMPBN NBP此处 M、 均折点，分别作点 关 OA折点 M 所直线（点 所直线）的对 称点，化折线段 PMNP 为 P+MN 、线， 周长最小【典题例 、如图，点 是AOB 内意一点，AOB=30OP=8， M 点 N 分别是射线 和射 线 OB 上的动点，则 周长的最小值_O A4例 、图，点 P 是 内任意一点，AOB=30点 和 分是射线 和射线 OB 上 的动点， 周长的最小值是 cm则 OP 的长_例 、图，在

5、四边形 中C=50 B=D=90 ，E 分别是 ，DC 上点， 当 AEF 周长小时，EAF 的数为（ A50 B60 C70 D80例 4、图，AOB45，点 P 是AOB 内定点且 OP2，若点 M、N 分别射线 OA、OB 上异于点 O 的点，则PMN 周长的最小值_【型】定动点（定两点转成与线离最问） 在 OA、 上分别取 、N 使 PM 最小。AAMPM B N此处 M 点为折点作 P 关 对称的点 P线 +MN 转化为 P+即点 P 作 OB 垂线分别交 OA 于 、，得 PM 最值（点到直线的连线中，垂线最短）5【典题例 、如图，ABC 为等边三角形，边长为 6BC垂足为点 ，点

6、 E 和 F 分是线段 AD 和 AB 上两个动点，连接 CE，EF则 CE+EF 的最值_例 、图，在矩形 ABCD 中，BC10，30若点 M、N 别是线段 、AB 上的两 个动点，则 AM+MN 的小值为_例 、图，在锐角三角形 中，=4，=60， BD 平ABC， AC 点 D，、 N 分别 ， 上的动点，则 + 的小值是 )ADMBA 3BC 2 4例 、图，等边 的长为 2，CD 为 AB 边上中线E 为段 CD 上的点，以 BE 为 边，在 BE 左侧等边，接 ，则 DF 的最值为6【型】定动点（定两点转成与距最值题 在 OA、 上分别取点 M、N 使四边形 的长最小。M PMQ

7、QONO NQ考虑 PQ 是条定线段，故只需考 + 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关 、OB 对称，化折线段 PMNQ 为 P+MN P、Q共线时，四边形 PMNQ 的长 最小。【典题例 、图，已知 （，22，4 是 y 轴半轴上一点，点 N 是 x 轴半轴 上一点，连接 AB，BM，MN，NA则四边形 周长的最小值_.例 、图在矩形 ABCD 中， 4 ， ， 为 的中点若 、Q 为边上的两个动点，且 PQ 若想使得四边形 的周长最小，则 BP _.的长度应为课作：1、如图，点 是 平分线一点，AOB60， 于 E，3，如果 P 是 上 一动点，则线段 的取值范围是_72如，平分 MO

8、N， A为OB的中点， ON于点 ， ， D 为 OM 上一点， BC / / OM交 于C，则的最小值为_.3、如图，AOB，C 是 上的一点CO， 为 上的一动点，点 D 为 上的 一动点，则 PD 的最小值为_，当 PC+PD 的值取最小值时则 的面积为_ 4、如图，在 中 AC， S20， BC 于 D, EF 垂平 分 AB，交于点 F ， EF 上定一点 ， PB 最小，则这个最小值为_5、如图，在等腰三角形 中，3 cm， 的面积是 ，腰 AB 的直平分线 交 AC 于点 F若点 D 为 边上的中点M 为 上的动点，则 BMDM 的最小值为_86图 ABC 中 垂直 BC 于 A

9、D BC 上方有一动点 P 满SPBC ABC，则点 P 到 B 两距离之和最时，PBC 的度_7、已知边长为 6 的边ABC中， 是高 所直线上的一个动点，连接 ，线段BE 绕点 B 顺时针旋转 得到 ，连接 DF ，在点 运动的过程中，当线段 DF 长度的最小值时， 的长度为_8、如图，已知65D BAC 内一点，过 D 作 AB 于 BDC 于 ，设点 E、点 F 分别 AB、AC 的动点， eq oac(,当)DEF 的周最小时，EDF 度数_99、如图，ABC20，点 别在射线 ， ，且 3，BE3点 M， 分是 射线 BA， 上的动点，求 DM+NE 最小值_10图题：如图：利用网格线 关直线 l 称 ABC在直线 l 上