西工大-控制88367.2相平面法

1、自动控制原理西北工业大学自动化学院自 动 控 制 原 理 教 学 组自动控制原理（第 36 讲）7非线性控制系统分析7.1非线性控制系统概述7.2相平面法7.3描述函数法7.4改善非线性系统性能的措施自动控制原理（第 36 讲）7非线性控制系统分析7.2相平面法课程回顾（1）7.1概述非线性现象的普遍性典型非线性特性非线性系统运动的特殊性非线性控制系统的分析方法7.2相平面法相平面的基本概念相轨迹的性质相轨迹的绘制由相轨迹求时间解二阶系统的相轨迹（相平面、相轨迹和相平面图）（斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）（解析法，图解法）（增量法）（极点分布，奇点性质，相轨迹）7.2.6非线性系统相平面分

2、析（非本质/本质非线性，控制系统）课程回顾（2）(3) 二阶系统的相轨迹极点分布奇点相迹图极点分布奇点相迹图中心点鞍点稳定的焦点不稳定的焦点稳定的节点不稳定的节点课程回顾（3）解 xe 2 1 xe1 02s 0.5s 1 0 0.5s 1 0s2s = 0.25 j0.97s = 0.78, - 1.287.2.6非线性系统的相平面分析(1)非本质非线性系统的相平面分析例4系统方程: x (3x 0.5)x x x2 0 ,确定xe及邻近相轨迹的性质。例5系统方程： x sinx 0,求xe 及其附近相轨迹的性质。解x x 0 x x 0s 1s j1xe2k (2k 1)7.2相平面法（1

3、0）例1系统方程为 x sinx 0，绘制相轨迹图；分析系统的自由响应运动。dtdxdtdxx d x d x dx x d x sin x解dxd x 令x 1 sin x值 1 1001226.6 214590 10 1 124角 45 26.6 141241414 47.2相平面法（11）值角 1 100 2 112126.64590024 1 11414 4 45 26.6 14124x sin x 0系统方程等倾斜线x 1 sin x7.2相平面法（12）解 s 1 0 s 1 0 1.62 0.621,2s特征 I方程 IIs1,2 0.5 j0.866 稳定焦点鞍点x 0Ix 0

4、II x x x 0 x x x 0e 2s2s2x 0 Ixe1 0奇点 II极点 开关线(2)本质非线性系统的相平面分析例2系统方程为x x x 0 ，分析系统的自由响应。7.2相平面法（13）例3系统方程为x x signx 0，分析系统的自由响应。解1,2 j1s特征 I方程 IIx x 1 0 x 0Ix 0IIx x 1 0e 2s2s2x 1 Ixe1 1奇点 IIs1,2 j1极点开关线 1 0 1 0中心点中心点划分不同线性区域的边界线平衡线（奇线）不同区域的相轨迹相互影响而产生7.2相平面法（14）C(s) 1U (s)s2e 2开关线方程 e 2c(t ) u(t )解线

5、性部分非线性部分 u c ec ec 4 ee 20e 2( I )e 2e 2(II )e 2(III)综合点e r c 4 ce c u e 20e 2( I )2 ee 2(II ) 2 e(III)r(t ) 4 1(t )例4系统如右，已知c(0) 0,确定开关线方程,奇点位置和类型,绘制相轨迹 (e, e)图。(3)非线性控制系统的相平面分析7.2相平面法（15）中心点中心点e1区域运动方程奇点性质 1 0e 2s2奇点特征方程极点s2 0s 0 s j s js 1 02Ie 0IIe e - 2 02IIIe e 2 0e3 -2奇点类型相轨迹以 e2 2 为中心的圆 2 为中

6、心的圆以e3( I )e 0e C水平线c(t ) 响应e r cc r e 4 e7.2相平面法（16）T开关线方程 e 1 e线性部分c(t ) u(t )de dtde1e Te 0( I ) 1e Te 0(II)非线性部分u 例5系统如右，r(t ) 1(t )，T 0,0.5，分别讨论系统运动。整理比较点e r c 1 c 1e Te 0( I )1e Te 0(II)e c u 在 I 区：e de de e de 1 e2 2e CI抛物线方程同理在 II 区：e2 2e CII 0ee 0当T 0.5 时，开关线为： 2e解7.2相平面法（17）开关线相轨迹图( II )e

7、Te 0系统方程T 0.5e 2e e 0T 0( I )e Te 0e 1e2 2e CIe2 2e CIIe 1e Te 0(II)1e Te 0(I)e 17.2相平面法（18）非线性部分1e h,e 0 1e he h,e 0u 比较点e r c例6系统如右，在( c c ) 平面上分析系统的自由响应运动。整理s2U(s) sC(s) 1线性部分解c c ue h1c c u 1c hc h,c 0c hc h,c 07.2相平面法（19）I1 (1 )II-1 (1 ) 3 3 2 1 2 1 30123 211 20 1 2 2 2 3 2 1 1 201 22dc( I )c c

8、 dc c 1 c11 等倾斜线c dc(II) c c dc c 1 c 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3 0 1 3 2 2 3 1 0 1 3 1 2 等倾斜线c 7.2相平面法（20）各类极限环极限环 对应二阶非线性系统的周期运动稳定的极限环不稳定的极限环半稳定的极限环7.2相平面法（21）非线性部分e h(III)u 比较点例7系统如右，在 ( c c ) 平面上分析系统的自由响应运动。整理c c u s2U(s) sC(s) 1解线性部分c c u1e h( I )ee h( II ) 1e r c c1c hcc h1c h( I )( II )(III)7.2相平面法（22）课程小结7.2相平面法（适合于二阶非线性系统）相平面的基本概念相轨迹的性质相轨迹的绘制由相轨迹求时间解二阶系统的相轨迹（相平面、相轨迹和相平面图）（斜率，