角平分线的性质定理及其逆定理

1、角平分线的性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线， 规范证明步骤。（1）角平分线的性质定理证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的性质定理：证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）推导过程：已知：OC平分ZMON, P是OC上任意一点，PAOM, PB1ON,垂足分别为点A、点B.求证：PA=PB.证明：.PAOM，PB1ON.ZPAO = ZPBO = 90 OC 平分ZMON.Z1 = Z2在PAO和PBO中，/.APA

2、OAPBOPA=PB几何表达：几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），ONOM，ONOM，PBPA)=Z(Z平分Z如图所示， OPMON12,.PBPA.=角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。推导过程已知：点 P 是ZMON 内一点，PA1OM 于 A, PB1ON 于 B,且 PA=PB.求证：点P在ZMON的平分线上.证明：连结OP在 RtAPAO 和 RtAPBO 中，ARtAPAORtAPBO (HL)AZ1 = Z2A OP 平分ZMON即点P在ZMON的平分线上.几何表达：(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)如图所示,.PA

3、OM, PBON, PA=PBAZ1 = Z2 (OP 平分ZMON)角平分线性质及判定的应用为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用.例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 300米.在下图中标出工厂的位置，并说明理由.（4）角平分线的尺规作图活动三：观察与思考：尺规作角的平分线观察下面用尺规作角的平分线的步骤伽图），思考这种作法的依据。步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画孤，孤与角的两边分别交于A，B两 点。由作图可知：OA = OB步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长（大于AB长的一半）为半径画弓瓜，两弓瓜交于点C。由作图可

4、知：AC由作图可知：ACBC由作图可知:定理，可得 由作图可知:定理，可得 步骤三：作射线OC,则OC就是ZAOB的平分线。同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的 方法说出作图的正确性。、【典型例题】例 1.已知：如图所示，/C=/C=90, AC=AC.求证：（1）/ABC=/ABC；（2） BC=BC（要求：不用三角形全等判定）.例2.如图所示，已知 ABC中，PEAB交BC于E，PFAC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分ZBAC， 并说明理由.? BACP，那么AP能否平分/ 如图所示，已知 ABC的角平分线

5、BM, CN相交于点例3.请说明理由.由此题你能得到一个什么结论?aP.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平 分线上的例4轴、y轴建立平面直角坐标系.点处，距公路400m，现分别以公 路、铁路所在直线为x 1）学校距铁路的距离是多少？（ 2）请写出学校所在位 置的坐 标.（L ，问能否在D于平分ZCAB交BC=ABC中，/C=90，ACBC，DA如图所 示，在例5.，并给出证明；若不能，EBDE的周长等于AB的长？若能，请作出点AB上确定一点，使左请说明理由.c：练习一一、填空题：ABCADBCBEABCADEEFAB，则中，是，的垂直平分线，平分/上交于1-31

6、1 .如图ABBF=二 ，；ABCCACBCBDABCACDDL Rt于中，/平分/ = 90 ,二交 2.已知：如图 1-32，在 ABEBCDEC的周长为 于，若 二5,则 .ACFD E ABCBDE 图 1-31 图 1-32二、选择题：ABCBADBCDEBDEFABFED二上上于，若，如图 1.1-33，是中，/于二 42 ,上一点，EFAEC 的度数为（，则Z）；A. 60 B. 62 C. 64 D. 66 a2.给出下列命题：垂直于同一条直线的两直线平行；F角平分线上的点到角两边的距离相等；BCED三角 形的三条角平分线相交于一点；图1-33全等三角形的面积相等； 其中原命题

7、和逆命题都是真命题的共有（）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题：ABCBACADBCDAEDACEFBCACF连接于L 于平分/如图 1-34,已知：交中，/ = 90 ,， 1BFBFABC的平分线.求证：是匕af【综合练习】bcBDADABCABACBACAD 中，= 2 平分/,，且二已知：如图 1-35, deaDCAC. 求证：1-34 图 BC D 图 1-35例题答案，AC=，. AC90C例1.已知：如图所示，/ = /C，= ABC；=/（求证：1）ZABC = （2） BCBC（要求：不用三角形全等判定）.证明：（1）./C=/C=90 （已知），. .A

8、ACXBC, ACLBC（垂直的定义）.又.AC=AC（已知），.点A在ZCBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线 上）.AZABC=ZABCZ.（2）VZC=ZCz,ZABC=ZABCz,A180-（ZC+ZABC）=180-（ZC/+ZABC/ ）（三角形内角和定理）.即 ZBAC=ZBACZ,VACXBC, ACLBC,.BC=BC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.例2.如图所示，已知 ABC中，PEAB交BC于E, PFAC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分ZBAC， 并说明理 由.平分ZBAC解：AD的距离相

9、等，的距离与到PFVD到PE的平分线上.在ZEPFA 点 D . =Z2AZ1 3. AB，AZ1 = Z#又VPE 4.同理，Z2=Z BAC.，.AD平分Z = ZAZ34? BAC,那么AP能否平分/, ABC的角平分线BMCN相交于点P例3.如图所示，已知请说明理由.由此题你能得到一个什么结 论？.AP平分ZBAC解：结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一 点到三边的距离相等.D. F的垂线，垂足分别是E、BC理由：过点P分别作， AC, AB BM上，的角平分线且点P在ABCVBM是/ .=PE （角平分线上的点 到角的两边的距离相等）PD.=PF=同理PFPE，PD （到角

10、的两边的距离 相等的点在这个角的平分线上）.AP平分ZBACP学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的4.如图所示的是互相垂直的一条公 路与铁路，例轴建立平面直角坐标系.y400m点处，距公路，现分别以公路、 铁路所在直线为x轴、1 （）学校距铁路的距离是多少？ 2（）请写出学校所在 位置的坐标.P在公路与铁路所夹角的平分线上，（1）点解：P到公路的距离与它到铁 路的距离相等，.点400m，又.点P到公路的距离是400m.A点P （学校） 到铁路的距离是.，一400） 400 （2）学校所在位置的坐标是（评析：角平分 线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.问能否在D交BC于BC，DA平分ZCABC例5.如图所示，在 ABC中，/= 90, AC=,并给出证明；若不能，EAB的长？若能，请作出点上确定一点E,使ABDE的周长等于AB请说明理由.的长.理由如下：的周长等于AB于E,则ABDEDE解：能.过点D作LAB AB,AC, DEL DC： AD 平分 ZCAB, DE. ADC= 中,RtAAEDRt 在AACD 和.(HL)ARtAACDRtAEDA