《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型

1、 第七章 对称矩阵和二次型7.1 对称矩阵的对角化 定义 1 一个矩阵 若满足 则称为这个矩阵为 对称矩阵。 说明：（2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。（1）对称矩阵是方阵；例1:例2: 如果可能，对角化矩阵解：A 的特征多项式为所以 A 的三个特征值为: 当时, 解方程组即解得当时, 解方程组即解得当时, 解方程组即解得 显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.令再令则 P 为正交矩阵, 且有 注：例2中的特征向量是正交的。下列定理解释了原因。定理1 如果A是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个 特征向量是正交的。证明： 设 和 是对应不同特征值 的特征向量，

2、由已知有 1p1 = Ap1 , 2p2 = Ap2 , 1 2 .因 A 对称, 故 1p1T = (1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA ,于是 1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,即 (1 - 2 )p1Tp2 = 0 .但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 与 p2 正交. 正交对角化定义：.一个矩阵A 称为可正交对角化，如果存在一个正交矩阵P ( 满足 ) 和一个对角矩阵D 使得: 成立。 注：下面定理2表明每个对称矩阵都可以正交对角化。定理2 一个 矩阵A可正交对角化的充分必要条件是A是 对称矩阵。归纳

3、：对称矩阵正交对角化的步骤步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有S个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重数分别为 n1 , n2 , , ns , n1 + n2 + + ns = n. 步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0的基础解系, 设为( i = 1, 2, , s). 并把它们正交化、单位化，仍记为，以这些向量为列构造矩阵则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = .要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系. 例 4 设求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.A 的特征多项式为解所以

4、 A 的三个特征值为: 时, 解方程组当即解得当时, 解方程组即解得 显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.令再令则 P 为正交矩阵, 且有方法评注在求正交矩阵 P 把对称矩阵 A 对角化时，若 A 有重特征值，在求该重特征值对应的特征向量时，可直接求出正交的特征向量，这样可避免正交化过程，从而简化计算。注：此题与课本上第396页的例3解法有所不同。例3要对线性无关但不正交的特征向量，通过格拉姆-施密特正交化。因 A 对称，故 A 可对角化，即有可逆矩阵P及对角阵，使 P-1AP = . 于是A = PP-1 ，从而An = PnP-1 .由得 A 的特征值 1 = 1

5、， 2 = 3 .于是解例 5 设求 An .当 1 = 1 时， 解方程 (A E )x = 0，即得当 2 = 3 时， 解方程 (A 3E )x = 0，即得令再求出于是谱定理 矩阵 A 的特征值的集合有时称为 A 的谱，且下面关于 A的特征值描述称为谱定理。 定理3 （对称矩阵的谱定理） 一个对称的 矩阵具有下面特性： a. A 有 n个实特征值，包含重复的特征值。 b. 对每一个特征值，对应特征子空间的维数等于 作为特征方程的重数。 c. 特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应 不同特征值的意义下成立的。 d. A 可正交对角化 。 7.2 二次型定义1. 上的一个二次型是一个

6、定义在 上的函数，它 在向量x处的值可由表达式 计算，此处 A是一个 对称矩阵，且矩阵A称为关于二次型 的矩阵。 注1：二次型 也可以写成： f(x1 , x2 , , xn) = a11x12 + a12x1x2 + + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + + a2nx2xn + + an1 xnx1 + an2xnx2 + + annxn2 其中 aij = aji 。注2：实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的关系。 例 1 令 计算矩阵 A的解 例 2 对属于 的 ，取写出 的二次型。解 对于二次型，我们讨论的主要问题是寻求可逆的线性变换x = Cy，把二次型

7、化为只含有平方项，而没有交叉乘积项出现。二次型的变量代换 例 3 求一个变量代换将二次型变为没有交叉项的二次型。二次型f 的矩阵 A 为A 的特征多项式为 解所以 A 的特征值为当时, 解方程组即得2个线性无关的特征向量当时, 解方程组即得1个特征向量 则 p1 , p2 , p3 为 A 的三个线性无关的特征向量且这三个向量两两正交.现把它们单位化. 令令则且 令 x = Py, 则 f 的标准形为定理4 （主轴定理） 设A是一个 对称矩阵，那么存在一个正交变量变换 ，它将二次型 变换为不含交叉项的二次型二次型的分类 定义 一个二次型 是a. 正定的，如果对所有 ，有 b. 负定的，如果对所

8、有 ，有 c. 不定的，如果对所有 既有正值又有负值。 注： 被称为半正定的，如果对所有 被称为半负 的，如果对所有 定理5 （二次型与特征值）设A是 对称矩阵，那么A对应的二次型是：a. 正定的，当且仅当A的所有特征值是正数。 b. 负定的，当且仅当A的所有特征值是负数。 c. 不定的，当且仅当A既有正特征值又有负特征值。 例4 判定下列二次型的正定性：二次型 Q 的矩阵 A 为解 例5 设 f(x1 , x2 , , xn) = xTAx 为正定二次型, 证明: |E + A| 1.证明因为f为正定二次型, 所以 A 的特征值全大于零，即 1 0, 2 0, , n 0 . 且A的特征值是

9、1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。而 E + A 的特征值为 1+ 1, 2 + 1, , n + 1, 故 |E + A| = (1+ 1)(2 + 1) (n + 1)1 . 证毕 注 利用二次型的分类，相应地得到矩阵的形式分类。一个正 定矩阵A是一个对称矩阵，且二次型 是正定的。其 他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。 例6 设 B 为 mn 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充 要条件是 BTB 为正定矩阵.证明 Bx = 0 只有零解 当 x 0 时, Bx 0, x 0 , xT(BTB)x = |Bx|2 0, BTB 为正定矩阵. 证毕第5、6、7章 小 结概念：内积、正交、特征值