条件概率及其性质

1、1条件概率及其性质(1)条件概率的定义设A、B为两个事件，且P(A)0,称P(BIA)=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(BIA)=.条件概率的性质条件概率具有一般概率的性质，即0WP(BIA)W1.如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCIA)=P(B|A)+P(C|A).2事件的相互独立性(1)设A、B为两个事件，如果P(AB)=，则称事件A与事件B相互独立.(2)如果事件A与B相互独立，那么与与与也都相互独立.3.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为

2、p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cnpk(1p)n(k=0,1,2,，n).此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)k并称_p_为成功概率.若XB(n,p),则E(X)=np.1.区分条件概率P(BIA)与概率P(B)它们都以样本空间。为总样本，但它们取概率的前提是不相同的.概率P(B)是指在整个样本空间Q的条件下事件B发生的可能性大小,而条件概率P(BIA)是在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小.2求法：(1)利用定义分别求P(A),P(AB),得P(BIA)=P(AB)P(A)；先求A含的基本事件数畑再求在A发生的条件下B包含的事件数即

3、n(AB)，得诃尸晋譽1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A:最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球.p(b)=2+z3，p(歹)八叫，3+14(1)P(AIB)=.(2)TP(AIB8+19.P(A)二P(AB)+P(AB)二P(AIB)P(B)+P(AIB)P(B)1-3=113+81-1-=1-3X3+3X4-9(2011年湖南)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内

4、接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分内)，”则P(A)=;(2)P(BIA)=21答案：龙(2)41相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生.在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B,它们的概率分别为P(A)、P(B)，贝9A、B中至少有一个发生的事件为AUB；A、B都发生的事件为AB;A、B都不发生的事件为AB;A、B恰有一个发生的事件为AB

5、UAB；A、B中至多有一个发生的事件为ABUABUAB互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.3(2012年山东)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为4,命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命2中的概率为2,每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.求该射手恰好命中一次的概率；求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).【解】(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A,

6、“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P(B)二3，P(C)二P(D)二2，由于A二BCD+BCD+BCD,根据事件的独立性和互斥性得P(A)二P(BCD+BCD+BCD)二P(BCD)+P(BCD)+P(BCD)二P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D了+P(B)P(C)P(D)二4x(i-3)x(i-3)+(i-4)x3x(i-2+(i-4)x(i-3)x3二异)根据题意，x的所有可能取值为0,1,2,345,根据事件的独立性和互斥性得P(X=0)=P(BCD)=i-P(B)I-P(c)i-P(D)二(

7、i-4)x(P(X=0)=P(BC一3221P(X=i)二P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=4x,i-3)x,i-护正，P(X=2)=P(BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)二(i-4)送4-D+b-4)x(i-3)x3=9P(X二3)二P(X二3)二P(BCD+BCD)二P(BCD)+P(bCD)=|x|xi-3丄3匚2)2+4x(i-3)x3P(X=4)=P(BCD)二i-l22x3x3二P(X二5)二P(BCD)二3x|x|二9故X的分布列为X0i2345Piiiiii36I29393所以E心。呻+“廿氓+込+叫+匕嗚.(i)注意区分互斥事件和相互独立事件,互斥事件是在同一

8、试验中不可能同时发生的情况,相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生(2)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率(3)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解(20II年山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A,乙对B,丙对C各一盘.已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求红队至少两名队员获胜的概率；用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E(.解：设甲胜

9、A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F.则万,E,T分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)二0.6,P(E)二0.5,P(F)二0.5,由对立事件的概率公式知P(D)二0.4,P(E)=0.5,P(F)二0.5.红队至少两人获胜的事件有：DET,DEF,DEF,DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P二P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)二0.6X0.5X0.5+0.6X0.5X0.5+0.4X0.5X0.5+0.6X0.5X0.5二0.55.（2）由题意知E可能的取值为0,1,2,3.又由知知D飞F、

10、DEFsDEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此Pg二0）二PfDEF）=0.4X0.5X0.5二0.1,p（d=1）=p（DEF）+P（DEF）+P（DEF）二0.4X0.5X0.5+0.4X0.5X0.5+0.6X0.5X0.5二0.35,P（d二3）二P（DEF）二0.6X0.5X0.5二0.15.由对立事件的概率公式得PC2）二1-P（d二0）-P（d二1）-P（E二3）二0.4.所以d的分布列为：d0123p0.10.350.40.15因此E二0X0.1+1X0.35+2X0.4+3X0.15=1.6.判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：(1)在同样的条件下重复

11、，相互独立进行；试验结果要么发生，要么不发生在利用n次独立重复试验中，恰好发生k次的概率P(x=k)=Cnpk(1-p)n-k,k=0,1,2,.要注意n,k,p的取值.3遇到“至少”“至多”问题时，要考虑从对立事件入手计算4二项分布模型判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点：是否为n次独立重复试验.随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题时,由于产品数量很大,因而抽查时,抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的若随机变量XB(n,p),则E(X)=np.(2012年天津)现有4个人

12、去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记d=IXYI,求随机变量d的分布列与数学期望E【解】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为3,去参加乙游戏的概率为扌设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A”二0,123,4),则P(A.)=C4(若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；)(若

13、走L2路线，求遇到红灯的次数X的数学期望；J4-i.这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；若走L2路线，求遇到红灯的次数X的数学期望；设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B二A3UA4由于A3与A4互斥，故P(B)二P(A3)+P(A4)=C4(1)(2，+C4(1,4二；所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1疋的所有可能取值为0,2,4.由于A与A3互斥，A0与A4互斥，故8P(d二0)二P(A2)二27，4017P忆二2)二P(AJ+P(A3)二81，P二4)二P(A0)+P(A4)二81.所

14、以E的分布列是024P84017278181随机变量E的数学期望E()-0X8+2X40+4X17-2/818114881张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家到公司上班的路上有厶，L2两条路线(如图所示)，坷路线上有AA2,A3三个路口,133各路口遇到红灯的概率均为2；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为4,5.Ai/平A2+LiAi/平A2+LiA3199P20206.(1)设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94,使用到700h后还能继续使用的概率是0.87,问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？(2)有一批种子的发芽率为0

15、.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取1粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率【正确解答】(1)设A二“能使用到500h”,B=“能使用到700h”，则P(A)二0.94,P(B)二0.87而所求的概率为P(BIA)，由于BA,故P(B二WB)二P二空二87P(A)P(A)0.9494.据题意知P(A)二0.9,P(BIA)二0.8,故由P(BIA)二黑+)知P(AnB)二P(A)P(BIA)二0.72，又由于BA，故P(AnB)二P(B)二0.72即为P(A)这粒种子能成长为幼苗的概率假定生男生女是等可能的,某家庭有3个孩子,其中有1名女孩,求其至少有1个男孩的概率6-7=6-8-7-00解：法一：此家庭共有3个孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)其中至少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有66-7=6-8-7-00法二：记