上海海事大学高数第二学期期末考试试卷

1、上-海-海-事-大-学 试 卷2020 2020学年第二学期期末考试高等数学A （二）（A卷）（本次考试不能利用计算器）班级学号名总分s目s目一二=(1)三12)得分阅卷人=(3)三14)三(5)SC6)三17)一单项选择题（在每一个小题四个备选答案当选出一个正确答案，填在题末的括号中体大题分5小题，9s 4分，共20分）一、设于(x, y) - x 3 y + xy 2 2 x + 3 y 1 ，那么广(3,2)=()(A) 41(B) 40(C) 42(D) 39二、设圆域D： x2+y2W1f是域D上的持续函数，那么斤士十 丁)did* =2?r rf( r)dr(B) 4n I rf(

2、r)drJ。J o(匚)2tt f( j :)dr(D) 4sr f rf( r)dr .3、-a若是3、-a若是lim ftnf8 an(C)当忖 1时,发散；8(D)当N 1时,发散；答()Jix2yzf(x, y 2 z 3)d v22?HT 14、设 Q为球体 2+y2+z2W1fx,y,z)在Jix2yzf(x, y 2 z 3)d v22?HT 1(A) 44 |IJx 2yzf(x, y 2, z 3)d v(A) 422 , 2 _ _ TOC o 1-5 h z f11(C) 2x2(C) 2x2yzf(xx, y 2, z 3)d vr0(D)0答()五、设L是圆周x2+y

3、2=a2(a0)负向一周，那么曲线积分T (JE5 - :/炉)也 I (3/ 一y)& =1()(A)翠-(B) -(C)/(D)亭二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题，每题4分，共20分)一、设 f (x, y,z) = ln(x2 + y2 + z2)，则U gradf (1,1,2) =二、xyz + ：x2 + y2 + z2 = 0,z =-6 0,D(2,0) = -36 0,D(0,2) = -36 0,z (2,2) = 6 0 点(0,2),(2,0)非极值点；函数z在点(0,0)处取极大值z(0,0) = 0 ； 7分在点(2,2)处取极小值z(2,2) =

4、 -8。= 448分3、(本小题12分)n 、(1)解：u =(-)2 n-1, n2 n +1. n2 n-11 p = limn：u = lim () n = 1,原级数收敛n-s , n2n +14n-s(1 2 n-1( 1 n因此原级数收敛。或 0 u 0,limun+1=limng=0 -级数加绝对值发散3分n=1又lim 1 =0, 1 1 收敛，因此ng 1n(1 + n)1n(1 + n)1n(2 + n)原级数条件收敛。6分4、（本小题8分）解：对f （x）=兀-x,0 x 兀在-兀,0）内作偶延拓，因此=0, n = 1,2,3/ n 2 fa 二一J7(兀一x)dx=7

5、i ,2分0 兀o271(7i - x) cosnxdx =mi(7i - x) sin nx + 兀 sinnxdxn =n = 1,2,3/ , 2cos nx fl 271因此， =0,2n2n-l (21)2 兀n = 1,2,3,6 分/、兀 4T cos(2n- l)x ,、故在0,兀内 f (x) = Ti - x = + - o 8 分2 兀 (2n -1)2 n=l5、(本小题8分)解：原式=川(2x + 2y + l)dv 4分Q(2rcos0 + 2rsin9 (2rcos0 + 2rsin9 +V)dz00 r1二:一7136、(此题8分) 方程的通解为 TOC o 1

6、-5 h z y = Cex + C e-3x(3 分)由已知y(0) = 0, V(0) = 4,代入上式得c =1,C =-1(7 分)2故所求积分曲线的方程为y = ex-e-3x(8 分)7、(此题8分)解：1)尸+店 = /2+g2 =(/ + g)22%2 分/. Fx) + 2F(x) = 4e.v4 分) F(x) = f 4exJ2dx公 + Ce2dx = ex + Ce-,F (0) = 0，C=-1 F (x) = e 2 x e -2 x上-海-海-事一夫-学试卷2020 2020学年第二学期期末考试 高等数学A （二）（C卷）（本次考试不能利用计算器）班级学号姓名总

7、分班级学号姓名总分题目一二三（1）三(2)三（3）三三(5)三(6)三得分阅卷人一、单项选择题（在每一个小题四个备选答案当选出一个正确答案，填在题末的括号中 ）（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、设 f (x,y)=町3 + x2y 2x + 3y -1，那么 f (3,1)=()y(A) 21(C) 22(A) 21(C) 222、-设上半圆域Q-3yW1,-N0fD上的持续函数，那么 jj f (x2 + y2)dxdy = ()D(A) IrJ 1 rf (r 2) dr(C)2 兀J( r 2) dr*0(B )兀 j1 rf (r 2) dr(D) kJ 1 f (r 2) d

8、ro3 3 些旦lim、若是umn-8an1an18=：,那么幂级数十a x2n4nn = 0(A)当|x| 2时,收敛;（B）当岗-时,发散；答（）4、设 Q 为球体 n2+y2+Z2W 1f n,y,z)在 Q 上持续，I= 11| xyzf(x2,y,z3)dv,则 I=(A) 4Nyzf(X2, (A) 4Nyzf(X2, y, z 3)dv(B) 4 |ll士t 鼻 1击3叫r争0Nyzf(X2, y, z 3)dv(C) 2J*J20Nyzf(X2, y, z (C) 2J*J20Nyzf(X2, y, z 3)dv(D)5、设L是圆周 2+y 2=1正向一周，那么曲线积分 J (

9、 n - y) dx + xdy = ()L(A) ”2兀(B I4g” (C)一 2兀(D )一 4兀二、填空题（将正确答案填在横线上） （本大题分5小题，每题4分，共20分）设 f (x, y,z) =、，:x2 + y2 + z2 ,则 gradf (1,一1,% 2)=2 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2,在(1,0,-1)处全微分 dz =设L为圆周x2 + y2 = 1,那么J y2ds =L若是幕级数2。产在x = 3处条件收敛那么收敛半径为R=5、处切平面方程为曲面 z - ez + 2x + y = 3 在（1, 2, 05、处切平面方程为计算题（必需有解题

10、进程） （本大题分7小题，共60分） 一、（本小题8分）已知z = In,x2 + y2，试求：右+房二、（本小题8分）求函数z = X3 +户6X2 - 32 + 1的极值。3、（此题12分，每题6分）判别以下级数的敛散性，假设是任意项级数要说明绝对收敛仍是条件收敛。n(1)对(-)nn2 n +1n=1vnn=1(2)方(1)n-1 n=14、（每题8分）在（0,兀）内把函数f Q）= x展开成以2冗为周期的正弦级数。五、（本小题8分）计算砧xdydz + ydxdz + xydxdy，E为曲面z = x2 + y2和z = 1所围立体表面外侧。Z6、（本小题8分）求微分方程y + 2y

11、- 3y = 0的一条积分曲线，使其在原点处与直线y = 4x相切。7、(本小题8分)设 F ( %) = f(x) g (x)，其中 f ( x), g (x)在(8,+8)内知足 f= g, g = f ,且 f (0) = 0 , f (x) + g(x) = 2e，求:1) F(x)知足的方程，2) F(x) 高等数学A （二）（C卷）答案一、单项选择题（在每一个小题四个备选答案当选出一个正确答案，填在题末的括号中） （本大题分5小题，每题4分，共20分）1、A 2、B 3、A 4、D 5、B二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、I 1W |2 2 2 J2、dx 一 d

12、y3、冗4、3 5、2 % + y 4 = 0三、解答以下各题(本大题共7小题，共计60分)1、(本小题8分)解：z -% % 2 + y 2_1_2 % 2% 2 + y 2 % 2 + y 22 TOC o 1-5 h z -1_2 y2yy% 2 + y 2 % 2 + y 22z + z - 0。(8 分)2、(本小题8分)解：由 F%= 3%2 _ 12 % - 0，得驻点(0,0),(0,2),(4,0),(4,2)3 分z 3 y 2 - 6 y - 0D - z z _ z - 36(% _ 2)(y 1)5 分D(0,0) - 72 0,z -12 0,D(4,0) - 72

13、 0,D(0,2) -72 0,z%”(4,2) -12 0点(0,2),(4,0)非极值点；函数z在点(0,0)处取极大值z(0,0) - 1 ；7分在点(4,2)处取极小值z(4,2) - 35。8分3、(本小题12分)n 、 (1)解：un = Jn +1)n,p - lim nfu - lim (n-) -1 oon + 1 3n3+i n于卜|收敛，因此原级数绝对收敛。6分 nn=l4、（本小题8分）解：在（-兀,0）内对/Q）做奇延拓，延拓后所得函数的Fourier系数1分g=0, n = 0,1,2,3 分n2b - -ixsinnxdxn 九o2K22二xcosnx +I co

14、snxdx - （-l）+i , n -1,2,3, - mt|0 兀 on6分由/Q）在（0,兀）内持续，单调，故在（0,兀）内n4分8分/Q）=X = 2n4分8分5、（本小题8分）解：原式二川（1 +1 + 0）dvQ=2V 6 分 2死二飞6、（此题8分）方程的通解为 TOC o 1-5 h z y = C ex + C e-3x（3 分）12由已知（0） = 0,/（。）=4,代入上式得c =1,C =1（7 分）2故所求积分曲线的方程为22分6分8分（8分）7、(此题8分)解：1)Ff = f g + fg = f 2 + g2 =(f + g)2 - 2fg:.F(x) + 2F

15、(x) = 4ex4 分) F(x) = J 4exe2dxdx + Ce2dx = e2x + Ce-2x,F (0) = 0 , C=-1 F (x) = e 2 x e -2 x上-海-海-事-夫-学 试 卷2020 2020学年第二学期期末考试 高等数学A （二）（船）（A卷）一、单项选择题（在每一个小题四个备选答案当选出一个正确答案，填在题末的括号中）一、设一、设L为下半圆周X2 + y2 = 1（y 4 f2 dx f3(1-2)dy30000. -、 d 2 u d 2 u3、设f (r)具有二阶持续导函数，而r =%x 2 + y 2, u = f (r)，那么 +=d,x 2

16、dy 2(A) f(r)(B) f(r) -1 f(r)rf(r) +1 f(r)(D) r2f(r)r答( )4、设n是曲面2x2 + 3y2 + z2 = 6在点P（1,1,1）处指向内侧的法向量,则u = xyz在点p沿n方向的方向导数为（）66J4一刀 （C） 12）-12二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分4小题，每题4分，共16分）一、级数寸（一7）22的收敛半径为4 22 =1二、微分方程y + 16y = sin（4x + a） （a为常数）用待定系数法确信的特解（系数值没必要求）形式是3、设函数z = z（x, y）由方程z + e = xy所确信，那么dz =兀0,

17、 一兀 x V 2 ，已知S(x)是f (x)的以2兀为周期的兀兀x , x 022正弦级数展开式的和函数，那么S三计算题（必需有解题进程）（本大题分10小题，共68分）一、（本小题7分）设f （x, y）持续函数，化二重积分口 f （x, y）d。D为极坐标系下的累次积分（先r ）其中D： x2 + y2 0知足f （x） = ex +xe（x2 2） f （t ）d t，求f （x）所知足的微分方程并求解。0五、（本小题5分）v2判别级数中sin-的敛散性22 =1六、（本小题5分）判别级数立cos?的敛散性，假设收敛，说明其是绝对收敛仍是条件收敛n +1n =17、(本小题8分)试将函数

18、y = arctan x2展开为x的幕级数八、(本小题8分)(x2 - )dydz + (y2 - zx)dzdx + 2zdxdy，E: z = 1 -、；x2 + y2 被 z=0 所截上侧。E九、(本小题7分)假设对平面上任何简单闭曲线L，恒有足2xyf(x)dx + f(x)-x2dy = 0，其中f (x)在L(-8,+8)内具有持续的一阶导数，且f (0) = 2，试求f (x)。证明:E上一收敛。n=1 a证明:E上一收敛。n=1 an+2已知f (x)=-1=E a xn 1 - x - x 2 nn =1试卷号： 高等数学B （二）（船）（A卷）（答案）一、单项选择题（在每一

19、个小题四个备选答案当选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题分4小题，每题4分，共16分）一、答：D 二、A 3、（C）4、B二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分4小题，每题4分，共16分）一、2、y * - x(A cos4x + B sin 4x)3、ydx+xdyez +14、S 三、解答以下各题（本大题共10小题，共计68分）一、（本小题7分） TOC o 1-5 h z I = 2 dejcose f (rcos0,rsin0)rdr7 分一：（本小题6分）z =-(6 分)x x3、(本小题8分)f z = 3 x 2 - 3 y + 6 = 0(19 )由1 x 。

20、J 八，得驻点(0,2)，-，7z =-3 x + 6 y -12 - 0V 2 4zD = xxzyxzxy zyy6 x-3-3-36 x - 96D 心一9 。6 分点（0,2）非极值点。函数z无极大值点，在点f 1,9）处取极小值。8分12 4 74、(本小题8分)f (x) = ex2 + ex21 xe-12 f (t)dt0f(x) = 2 xf (x) + f (x)故f (x)所知足的微分方程是I f(x ) = (2 x +1) f (x)t f (0) = 1f (x) = C*：2 x +1（2分）（3分）（4分）C=1，f (x) = 0, v lim。= 2,.原级

21、数与E 1同发散。 n n1nnnf8nn=1n5 分六、(本小题5分)cos n = 上半，lim = 0, -1-因此原级数条件收敛。n +1n +1n f8 n +1n +1 n + 25分7、（本小题8分）解：2 x 寸(- 1)n =04分y = 2Z(-1l = Z(-1l =4 n + 22 n +1n=0n=0八、(本小题8分)X G I- 1, 1补一曲面z：x 2+产=1下侧。那么原式=&=JU 2(x + y +1)dvO2兀二3九、(本小题7分)解：-2xxyf(x)=f(x)-x2 d yd x8分f(x) = -1 + Cex2由 f(0) = 2，求得 C = 3

22、,故 f (x ) = -1 + 3ex2（7分）10、（本小题6分）证明：(1 一x 一x2) /a xn = 1,.Za xn - Za x+1 - Za x+2 = 1 2 分n=1二. a0 xn+2 (a x + Z a xn+1) - Z a xn+2n=0. a = 1, a = 1, a - a - a = 0,a 11n+1 = , aaa a a 2n n+2nn+2=a + a = 2, a = a + a = 3,a n:.lim = 0,Znis a,nn=1an+1aan n+2113工、+（部份和，拆项）。aa 212因此级数收敛6分上-海-海-事一夫-学 试 卷

23、2020 2020学年第二学期期末考试 高等数学A （二）（船）（B卷）（本次考试不得利用计算器）班级学号姓名总分题目一三12345678910得分阅卷人一、单项选择题（在每一个小题四个备选答案当选出一个正确答案，填在题末的括号中 ）（本大题分4小题，每题4分，共16分） TOC o 1-5 h z X 2V 21、设C表示椭圆丁 + - = 1，其方向为逆时针方向，那么曲线积分卜（2 X + V 2）dx =（） 49c（C） 20;）一18 n2、设为柱面X2+V2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限部份，那么 zdxdy + xdydz + ydxdz = （）(B)(B)(D)2J

24、3d zJ1；1 y2 d y ；003J2兀 d ej1 r cos e d r .00(A) 3d yJll - x2 dx ；00(C) 3J2兀dej%匚r 2 r d r ；- x x .，xd z3、设z = 2xy + (y 1)arcsin ,那么丁 =()yy。X(1,1)(A) 0兀(B) 2;(C) 2-(D) 2+y.4、旋转抛物面z=x2(A) 0兀(B) 2;(C) 2-(D) 2+y.4、旋转抛物面z=x2+2y2-4在点（1,-1, -1）处的法线方程为（）(A)x - 1 y +1 z +1 z一r r(B)x - 1 y +1 z +1 z 一r 一r(D)

25、(D)二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分4小题，每题4分，共16分） （x - 1）2 n，,一,1、级数X的和函数为2 nn!n=02、微分方程y-4y = 2cos4x用待定系数法确信的特解形式是 3、设 z = z（x, y）,由 F（x + -, y + -） = 0 给出，F（u,v）可微y x4、互换 J2dyf 2y一y2 f （x, y）dx 得12-y三计算题（必需有解题进程）（本大题分10小题，共68分）1、（本小题7分）D 由 x + y = 1, x - y = 1, x = 0 围成，求JJ xd oD2、（本小题6分）设z3 -3xyz=1确信了 z是x，

26、y的二元函数,求zx。3、(本小题8分)求f (x, y) = (x2 2x + y)ey的极值点和极值。4、(本小题8分)求解微分方程ydx - (x - y)dy = 0的通解5、（本小题5分）n九ncos2 判别级数寸-昌的敛散性（n +1）3n=16、（本小题5分）判别级数立n“十,a 1的敛散性，假设收敛，说明其是绝对收敛仍是条件收敛 an + 1n =17、7、（本小题8分）1试将函数于（x） = EE 展开为x的幕级数。8、(本小题8分)计算L XZ2dydz + yx2dzdx + zy2dxdy 其中 是球面 x2+y2+z2=1 的外侧。E9、(本小题7分)(xy(x + y)- yf (x)dx + (f (x) + x2y)dy = 0为全微分方程，其中函数f (x)持续可微, f (0) = 0，试求函数f (x)，并求该方程的通解。10、(本小题6分)61“ .-,2证明不等式： 一兀 V jj Sin v( x 2 + y 2)3 d ov兀165、5x 2 + y 2 0,A 0,f极小(L0)=-1。8 分 4、（本