基于原子势与原子结构的碳纳米曲面的壳体理论-1课件

1、基于原子势与原子结构的碳纳米管壳体理论 吴坚 黄克智清华大学航天航空学院固体力学研究所黄永刚美国西北大学土木与环境系、机械系Joseph Cummings教授2008年多场耦合理论与智能材料高级讲习班暨全国研究生暑期学校 致谢：NSFC,NSF,973,教育部提 要引言原子势基于原子势的石墨烯平板理论 基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论碳纳米管能否等效为薄壳模型？基于原子势的碳纳米管有限变形壳体理论碳纳米管的稳定性结论1引言 纳米技术 在原子、分子及超分子水平下工作，在约1100nm的尺度范围，旨在了解及创造材料、装置及系统，它们由于微小结构而具有本质上新的性质与功能。（美国国家纳米技术创新计

2、划NNI）(1100nm 十万分之一至千分之一头发丝直径)微观 宏观纳米马达（加州大学Zettl教授）1引言 1引言 平板显示器W. Choi of Samsung (Advanced Institute of Technologies) 20011引言 纳米技术对社会的影响（NSF 2000年世界范围调查） 知识基础：更好地了解自然与生命 新技术与新产品：至2015年达到$(美金)十万亿年（三十个Motorola公司全年销售量！） 材料：$3400亿年 电子：$3000亿年药物：$1800亿年 化学制品（催化剂）：$1000亿年 宇航：约$700亿年 各种工具：$220亿年 2000年统计：

3、催化剂，材料等约$400亿；增长25年 2002年统计：材料，药物，化学制剂约$1160亿 在世界范围将需要2百万纳米技术人员 提高医疗水平：延长寿命，提高生活质量、健康水平 可持续发展：农业，食品，水，能量，材料，环境；例如：由于纳米技术，照明能量减低10或$1000亿/年1引言 纳米结构材料PileniS. Stadler M. Harrup多晶纳米颗粒纳米复合材料1引言 碳纳米科学 石墨（二维） 金刚石（三维）碳60（零维，Smalley） 碳纳米管（一维，Iijima）1引言 碳纳米管结构石墨烯片层: T-B Potential手性: m, n1引言 碳纳米管弹性n = 0n = 96

4、8 kHz纳米秤Poncharal et al, Science, 1999, 283, 1513-1516. 可用于探测有害物质原子1引言 碳纳米管的电学性质特有的电学性质n m = 0,3,6,9,导电的碳纳米管 能够承载特别大的电流密度 (1013 A/m2) (家用铜导线: 单元交迭关注中心原子1引言 碳的原子尺度有限元 (AFEM)多尺度计算原子 FEM 结点原子尺度的精确性稳定B. Liu, Y. Huang, et al., 2004, Compu. Meth. Appl. Mech. Eng 193, 1849-1864.1引言 分子动力学vs.基于原子论的连续介质力学原子间势

5、(非线性,多体弹簧)分子动力学基于原子论的连续介质力学保持对每个原子的跟踪离散系统代表性的物质点连续模型1引言 连续介质方法研究碳纳米管 将碳纳米管用弹簧、杆、梁、薄膜、板、壳等元件来构造。 这些方法都要借助于原子模拟的结果来拟合出相关的参数， 它们往往局限于线弹性各向同性； 基于原子势和碳纳米管原子结构的连续介质方法。 通过Born律将原子的键能等效于应变能进而对碳纳米管进 行连续化，在连续化过程中考虑了原子势的非线性； 2原子势 第一代Tersoff-Brenner 原子势 在键夹角jijk=120o时，键能随键长的变化，键长在r0=0.145 nm时键能达到极小值，这个键长就是初始石墨烯

6、的键长。 ikjrikrijqijk2原子势 第二代Tersoff-Brenner 原子势ikjrikrijqijk斥力对势项引力对势项平滑分段函数多体耦合系数3基于原子势的石墨烯平板理论石墨烯与碳纳米管的厚度 壳体理论AuthorsWall thickness (nm)Youngs modulus (TPa)Yakobson et al0.0665.5Zhou et al.0.0745.1Kudin et al.0.0893.859Tu and Ou-yang0.0754.7Vodenitcharova and Zhang0.06174.88Panatano et al0.0754.84Go

7、upalov0.087Wang et al0.06655.07AuthorsWallThickness (nm)Youngsmodulus(TPa)Lu0.340.974Hernndez et al0.341.24Odegard et al0.69Li and Chou0.341.01Jin and Yuan0.341.238Tserpes andPapanikos0.147YakYakobsons Paradox 3基于原子势的石墨烯平板理论 石墨烯在小变形情况下，键长与键夹角的变化都是小量，键能在石墨烯上Talyor展开为采用Cauchy-Born律将原子间的键能 均匀化，得到应变能密度3

8、基于原子势的石墨烯平板理论 中心对称的晶格小变形时的键长与键夹角 键长 键夹角 应变 e曲率 k3基于原子势的石墨烯平板理论 中心对称的晶格 应变能密度 与应变eab功共轭的内力 与曲率kab功共轭的内力直接由原子势得到本构关系，无参数拟合！3基于原子势的石墨烯平板理论 石墨烯 石墨烯的晶格是非中心对称的。将石墨烯的晶格划分为两个子网格，每个子网格都是中心对称。变形过程中，两个子网格之间的变形除了应变eab与曲率kab外，还有内位移r0 x 键长 键夹角3基于原子势的石墨烯平板理论 应变能密度内位移使得应变能密度极小 石墨烯片的内位移仅与应变eab相关，与曲率kab无关 3基于原子势的石墨烯平

9、板理论 石墨烯应变能密度中与应变eab 、曲率kab相关项石墨烯线弹性本构关系 第二类Piola-Kirchhoff内力 内力矩3基于原子势的石墨烯平板理论 石墨烯应变能中与应变相关部分经典壳体理论中应变能与应变相关部分石墨烯的拉伸刚度与相应的泊松比3基于原子势的石墨烯平板理论 石墨烯应变能中与曲率相关部分经典壳体理论中应变能与曲率相关部分石墨烯的弯曲刚度与相应的泊松比石墨烯的拉伸刚度与相应的泊松比3基于原子势的石墨烯平板理论在经典壳体理论中，弯矩是由关于中性面对称的两侧分别受拉和受压而形成的，弯曲刚度、拉伸刚度、扭转刚度以及剪切刚度满足如下关系： 石墨烯平板理论中的弯曲刚度、拉伸刚度、扭转刚

10、度以及剪切刚度是直接由多体的原子势得到3基于原子势的石墨烯平板理论经典壳体的厚度与弯曲刚度以及拉伸刚度的关系采用经典壳体理论中，厚度与弯曲刚度、拉伸刚度的关系定义石墨烯在比例加载方式下的等效厚度 石墨烯片的等效厚度与加载方式相关！3基于原子势的石墨烯平板理论不同比例加载方式下石墨烯的等效厚度 等轴伸长 e11=e22, k11=k22 单向拉伸T110, T22=0, k11/k22 =e11/ e22 等轴拉伸加载方式下的等效厚度是单向拉伸状态下的21/2。3基于原子势的石墨烯平板理论石墨烯的等效厚度随比例加载系数的变化3基于原子势的石墨烯平板理论 石墨烯平板理论是从原子势与原子结构出发，石

11、墨烯片的本构关系是各向同性的，但与经典壳体理论的各向同性本构关系不同，石墨烯片的扭转刚度为零，两个方向的弯矩保持相等。在石墨烯片的本构关系中并没有出现厚度这个几何量，本章定义了一个与经典壳体理论相对应的等效厚度，结果表明石墨烯片的等效厚度不是一个固定值，它与加载方式相关。碳纳米管的等效厚度与石墨烯片的等效厚度有相同的特点。这些特点都说明石墨烯片和碳纳米管不能简单的等效为经典的壳体。4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 单壁碳纳米管是原子按六边形在圆柱面上分布。碳纳米管直径大多在纳米量级，长度可达几微米，长的甚至达数毫米。单壁碳纳米管与石墨烯相比不再是平面，且特征单元亦不再是等六变形；单壁碳纳米

12、管能否等效为经典? ACBD4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.1 应变与曲率 碳纳米管上的点P变形前为：P=ReR+ZeZ，其中(R,q,Z)是碳纳米管上的圆柱坐标，R为碳纳米管半径。碳纳米管上两点P与P+ DP的坐标分别为(R, q, Z)与(R, q + Dq, Z+DZ) ，两点之间的线元DP在点P泰勒展开为： 4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.1 应变与曲率 线元DP的长度为: 线元DP(1)与DP(2)的夹角可表示为: 其中 表示为：4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.1 应变与曲率 变形后碳纳米管上的点P变形为p=P+U =(R+UR) eR+Uq eq +(

13、Z+UZ) eZ ，其中U =UR eR+Uq eq +UZ eZ是点P的位移，位移分量，UR, Uq, UZ是q与Z的函数。 4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.1 应变与曲率 薄膜应变分量eab可由位移表示为 薄膜应变仅涉及到切平面内位移Uq与UZ的导数。 曲率分量kab由位移表示为 曲率分量涉及面外位移UR的导数。 4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.1 应变与曲率 变形前碳纳米管上两点P与P+DP变形后变为p与p+Dp，两点间的线元Dp在点p泰勒展开为： 由应变eab与曲率kab表示线元Dp的长为： 其中含有 ，但其系数是薄膜应变的梯度，即 4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体

14、理论 4.1 应变与曲率 碳纳米管的连续化理论所研究的变形特征长度为L， 由变形的特征长度表示为 ，原子间距量级为D。线元长度在误差量级为O(D/L)时 的表达式为LDL4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.1 应变与曲率 碳纳米管的点阵不是简单的布拉维点阵。与石墨烯相同将碳纳米管的六边形点阵划分为两个三角形子点阵，两个子点阵之间引入内位移h。由两个不同子点阵的原子形成的线元，在变形前的Lagrange坐标为(DRq, DZ)，变形后线元在误差量级为O(D/L)时的表达式为：其中4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.2 线弹性本构关系 碳纳米管的原子键长与键夹角为应变曲率以及内位移的函

15、数 变形后的应变能密度可表示为： 内位移使得应变能密度极小 ，即 内位移与应变、曲率的关系为：4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.2 线弹性本构关系 在小变形情况下，应变能密度是应变和曲率的二次函数 其中 为碳纳米管的拉伸刚度与弯曲刚度。碳纳米管的耦合刚度为 下标“0”表示初始碳纳米管状态的值。4基于原子势的碳纳米管线弹性壳体理论 4.2 线弹性本构关系 碳纳米管的线弹性本构关系为： 碳纳米管的线弹性本构关系不同于经典壳体的线弹性壳体本构关系，它含有内力与曲率以及内力距与应变的耦合刚度。 耦合度 碳纳米管的耦合刚度随半径而变化。对(5,5)的扶手椅型碳纳米管，耦合度为42%，显然内力与曲

16、率、内力矩与应变有较大的耦合。实际上，半径R6.9时 ，碳纳米管 最易发生的失稳是n=1， n=1的失 稳模式与Euler失稳相似。 L/(mR)6.9 时，碳纳米管最易发生的是n=2的 失稳模式，n=0的轴对称失稳模式不会发生。 7碳纳米管的稳定性 碳纳米管压缩失稳 (8,8)，(12,12)，(16,16)三个扶手椅型碳纳米管的轴向压缩失稳载荷，当L/(mR)较大时，三个碳纳米管的最易发生的失稳都是n=1的模式，且失稳载荷相同，而在L/(mR)较小时，(12,12)与(16,16)碳纳米管的n=2，n=3的失稳模式最易发生，而(8,8)碳纳米管的n=2的失稳模式最易发生，且不同碳纳米管的压缩失稳载荷不同。8结论 直接从原子结构以及原子势建立的碳纳米管的有限变形壳体理论的本构关系中，内力与曲率、内力矩与应变都相互耦合，这一点不同于其它的壳体理论。建立有限变形壳体理论过程中考虑了碳纳米管的弯曲与曲率，这与将原子模型连续化为三维连续介质过程中采用的传统Cauchy-Born律不同。石墨烯是由原子在平面内按六边形分布而成的，石墨烯平板理论中的弯曲刚度是从原子势直接得到的(它依赖于多体势的夹角)，这点不同于经典平板理论中的弯曲刚度是由在对称于中性面两侧分别受到拉伸与压缩而形成的。 8结论 尽管碳纳米