全称量词与存在量词学案-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、第 INET 【知识梳理】一、全称量词与全称量词命题 【问题思考】给出下列语句： (1)3x2是无理数； (2)x有算术平方根；(3)对一切无理数x，3x2还是无理数；(4)所有实数x都有算术平方根 1以上语句(1)(2)是命题吗? 提示：不是2比较语句(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系? 提示:语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定 3以上语句(3)(4)是命题吗?若是命题，你能判断它们的真假吗? 提示：(3)(4)是命题，都是真命题 4(1)全称量词：短语“ ”，“ ”在逻辑中

2、通常叫做 ； 常见的全称量词还有：“每一个”“任给”“一切” “全部”等等(2)全称量词用符号 表示；(3) 全称量词命题：含有 量词的命题叫全称量词命题；全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为： ；二、存在量词与存在量词命题 【问题思考】 给出下列语句: (1)x5； (2)x是有理数；(3)存在实数x，使x5； (4)至少有一个实数x，使x是有理数； 1以上语句(1)(2)是命题吗? 提示：不是 2比较语句(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系? 提示:语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上，用短语“至

3、少有一个”对变量x的取值进行限定 3以上语句(3)(4)是命题吗?若是命题，你能判断它们的真假吗? 提示:(3)(4)是命题，都是真命题 4(1)存在量词：短语“ ”，“ ”在逻辑中通常叫做 ； 常见的全称量词还有：“有些”“有一个”“对某些” “有的” “某一个”等等(2)存在量词用符号 表示；(3) 存在量词命题：含有 量词的命题叫存在量词命题；存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为： ；三、全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)对于全称量词命题“xM，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，

4、使p(x)不成立 (2)对于存在量词命题“xM，p(x)”，要判断它为真，只需在M中找到x，使p(x)成立，要判断它为假，需要判断“xM，p(x)不成立” 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“” (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题()(2)命题“三角形的内角和是180”是全称量词命题()(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题()(4)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题()(5)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题()(6)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【考

5、点分类精讲】考点1 全称量词命题与存在量词命题的辨析【考题1】(1)下列语句不是存在量词命题的是()A有的无理数的平方是有理数B有的无理数的平方不是有理数C对于任意xZ，2x1是奇数D存在xR，2x1是奇数答案C解析因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题(2)给出下列几个命题：至少有一个x，使x22x10成立；对任意的x，都有x22x10成立；对任意的x，都有x22x10不成立；存在x，使x22x10成立其中是全称量词命题的个数为()A1 B2 C3 D0答案B解析因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词

6、，所以为存在量词命题，为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2【巩固练习1】1下列命题中全称量词命题的个数为()平行四边形的对角线互相平分；梯形有两边平行；存在一个菱形，它的四条边不相等A0 B1 C2 D3答案C解析是全称量词命题，是存在量词命题2(多选)下列语句不是存在量词命题的是()A任何一个实数乘以零都等于零B自然数都是正整数C存在x0，使|x|xD对任意的xR，x20答案ABD3(多选)下列命题中为存在量词命题的是()A有些实数没有倒数B矩形都有外接圆C存在一个实数与它的相反数的和为0D对于一切xZ，都有|x|N答案AC4下列语句不是存在量词命题的是()A整数n是2和5的倍数B存在

7、整数n，使n能被11整除C对所有的正实数t，有eq r(t)tD平行四边形的对角线相等答案：ACD5下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是()AxR，x2B存在实数x，使x21=0C对任意的a，bR，都有a2b22a2b20D菱形的两条对角线相等解析：C，D是全称量词命题，A，B是存在量词命题，由于x21=0无解，故B为假命题，对于A，当x=1时，x2=x成立答案：A6判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题凸多边形的外角和等于360；矩形的对角线不相等；若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直有些实数a，b能使|ab|a|b|；方程3x2y10有整数解答案：可以改为所有的凸多

8、边形的外角和等于360，故为全称量词命题可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题含存在量词“有些”，故为存在量词命题可改写为：存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题考点2 全称量词命题与存在量词命题真假判断【考题2】有下列四个命题：xR，eq r(x2)10； x1，1，0，2x10；xN，x2x； xN*，x为29的约数其中真命题的个数为()A1 B2C3 D4解析对于，这是全称量词命题，因为eq r(x2)0对任意实数都成立，所以eq r(x2)10，故为真命题；对于，这是全称量词命题，因为当x1时，2x10不成

9、立，故为假命题；对于，这是存在量词命题，当x0或x1时，有x2x成立，故为真命题；对于，这是存在量词命题，当x1时，x为29的约数成立，所以为真命题答案C【巩固练习2】1下列结论中正确的是()AnN*，2n25n2能被2整除是真命题BnN*，2n25n2不能被2整除是真命题CnN*，2n25n2不能被2整除是真命题DnN*，2n25n2能被2整除是假命题解析：选C当n1时，2n25n2不能被2整除，当n2时，2n25n2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确故选C2用全称量词表述下列命题，并判断真假: (1)x22x32; (2)负数都没有算术平方根; (3)对角线垂直的四边形是菱形 解:(

10、1)xR，x22x32 x22x3=(x1)222是真命题 (2)所有的负数都没有算术平方根是真命题 (3)所有对角线垂直的四边形都是菱形是假命题 3指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假(1)xN，2x1是奇数；(2)存在一个xR，使eq f(1,x1)0(3)xZ，x31；(4)存在一个四边形不是平行四边形；(5)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(6)xN，x20解:(1)是全称量词命题，因为xN，2x1都是奇数，所以该命题是真命题(2)是存在量词命题因为不存在xR，使eq f(1,x1)0成立，所以该命题是假命题(3)因为1Z，且(1)311，所以“xZ，x31”是真命题(4)真命题，如梯形(5)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题(6)因为0N，020，所以命题“xN，x20”是假命题考点3 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数【考题3】已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B(1)若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“xA，xB”是真命题，求m的取值范围解(1)由于命题p：“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以eq blcrc (avs4alco1(m12m1，,m12，,2m15，)解得2m3(2)q