机械振动学总结全

1、机械振动学总结第一章机械振动学基础第二节机械振动的运动学概念机械振动是种特殊形式的运动。在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t变化的规律。用函数关系式Xx(t)来描述其运动。如果运动的函数值，对于相差常数T的不同时间有相同的数值,亦即可以用周期函数x(t)x(t+nT)n1,2,来表示，则这一个运动时周期运动。其中T的最小值叫做振动的周期，f1定T义为振动的频率。简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x和时间t的关系可用三角函数的表示为A,2n2兀、xAcosq

2、t-)Asm(卩t+,)式中：A为振幅，T为周期，和,称为初相角。如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动角速度称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间的一阶和二阶导数，即vX=Acos(rot+,)aX-A2sin(t+,)可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。因此在物体运动前加速度是最早出现的量。可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。这是简谐振动的重要特征。在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。图P6旋转矢量的模为振幅A,角速度为角频率若用复数来表示，则有z二Aej（t,）z二A

3、cos（t+中）,jAsin（t+中）用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。因为复指数ej对时间求导一次相当于在其前乘以j，而每乘一次j,相当于有初相角2。二周期振动满足以下条件：1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有x（tx（t）二ao+ANn=1sin（nt+中）n式中A=a2aA=a2tan中=fnbn三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成俩个同频率的简谐振动x=Asin（t+中），x=Asin（t+中）2222222它们的合成运动也是该频

4、率的简谐振动x=Asin（t+中）俩个不同频率振动的合成x=Asint111x=Asint222若，对于A，A，A，则有1212x，x+x12x，Asint+Asint1122.+x，2Acos(i2)tsm(12)t22上式可表示为.2Asintsint2二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x方向的运动为x，Asint沿y方向的运动为y，Bsin(t+申)2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动x二Asintiy二Bsin（t，）它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动继续下去的性

5、质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡位置的性质。第四节自由度与广义坐标系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束条件数之差。对于n个质点组成的质点系，个质点的位移可用3n个直角坐标来描述。当有r个约束条件时，约束方程为f(x,y,z，,x,y,z)二0k111nnnk=1,2,r为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标q=q(x,y,z，,x,y,z)jj111nnnj=12,N来代替3n个直角坐标，这种坐标叫做广义坐标。第二章单自由度系统第二节无阻尼自由振动单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程mx,kx=0令w2=k/m，系统的运动方程可

6、表示为nX+w2x0n函数x(t)必须具有这样的性质：在微分过程中不改变其形式。因而假定方程的解为x(t)Be，t的形式是合理的。式中B和，是待定常数，代入方程中(,+w2)Be，t0n方程决定于,2+W20n方程叫做系统的特征方程或频率方程，它有一对共轭虚根：，j，九j，1n2n叫做系统的特征值或固有值，方程的俩个独立的特接分别为x(t)Be叫11x(t)Be砂/22式中Bi和B2是任意常数。方程的通解为x(t)Bej叫+Be叫12x(t)(B+B)cost+j(B-B)sint方程的通解从物理意义上说表达了系统12n12nx(t)Dcost+Dsint1n2n对于确定的初始条件，系统发生某

7、种确定的运动为xx(t)xcost+ssmt0nnn它是由俩个相同频率的简谐运动所组成。再将这俩个相同频率的简谐运动合成为x(t)Asin(t+)n式中xxx2+(o)2,tann00 xn0A为振幅，为初相角。线性系统自由振动振幅的大小只决定于施加给系统的初始条件和系统本身的固有频率，而与其他因素无关。线性系统自由振动的频率k/m只决定于系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率n或无阻尼固有频率。第三节能量法一个无阻尼的弹簧系统做自由振动时，由于不存在阻尼，没有能量从系统中散逸,没有能量输入，系统机械能守恒。t+u=e=常数最大动能和最大势能为T1mw2A最大动能和最大势能为T1

8、mw2A2,Umax2nmaxkA2由于21mw22n=A22kA2，并定义T1kA2，故可得wm2nU_maxTm第四节有阻尼自由振动在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小，这种自由振动叫做有阻尼自由振动。最常见的阻尼有粘性阻尼、库伦阻尼或干摩擦阻尼和结构阻尼。一、粘性阻尼的一个粘性阻尼器，直径为d，长为L的活塞，带有俩个直径为D的小孔，油的粘度为卩，密度为P。作用于活塞上阻力的大小近似地表示为pp4kLu(dD)4V这表明，粘性阻尼器的阻尼力与速度成正比，方向和速度相反。这是，阻尼系数为c4兀pL(d)4二、粘性阻尼自由

9、振动具有粘性阻尼的单自由度系统的理论模型，粘性阻尼力与相对速度成正比,应用牛顿定律，可列出系统的运动方程mx+cx+kx0其中无阻尼固有频率和阻尼比分别屉其中无阻尼固有频率和阻尼比分别屉nkc上m2km动力学方程：X+2匚,X+,2x0nn系统的特征方程或频率方程m2+c+k0方程的特征值的表达式可写成(1匚土匚21),1,2n当1，这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为俩个实数，即(一匚土匚21)1,2”三、结构阻尼内摩擦所消耗的能量等于滞回环所围面积AEn,cA2其中k是等效弹簧常数，A是振幅，等效粘性阻尼系数是卩khce,其中B是无量纲的结勾阻尼常数第五节简谐激励作用下的强迫振

10、动一、简谐激励力作用下的强迫振动单自由度系统在简谐激励力作用下的强迫振动的理论模型系统的运动方程为mx+cx+kxFsinwt式中F为激励力振幅，w为激励频率。方程是一个非齐次方程，在一般情况下，还受到初始条x(0)x，x(0)x的作用，实部和虚部分别与Fcoswt和Fsinwt0000相对应受力分析XX0XX0振动微分方程为m+cx+kxFejwtX为复数变量，分别与Fcoswt和Fsinwt相对应，对于此方程的通解等于齐次00微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，即暂态响应和稳态响应假定方程的特解为x(t)XejwtS式中X为复振幅，代入方程中，有FkFk-w2m+jwc二Xe-j,XX

11、0XX0式中X为振幅，是复振幅X的模，继而得到方程的相角,，是复振幅X的幅角,有人“wc,ArgXtan-1k一w2m因此，方程的特解为x(t)Xe-j(wt-,)S对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为x(t)Ae-w”tsin(wt+)hd因此，对于弱阻尼系统，方程的通解为x(t)x+xSh定义强迫振动的振幅X与Xo的比为放大因子，用M表示，则有1(1-r2)2+(2疋)2式中Xo=F/k,r=w/w,Xo叫做等效静位移，r叫做频率比。”当r0是，M-1,而与阻尼无关，这意味着，当激励频率接近于零时，振幅与静位移相近。当r时，M0,也与阻尼大小无关，在激励频率很高时，振幅趋于零，质量不能跟上力的

12、快速变化，将停留在平衡位置不动。当r=1时，:=0，在理论上M，将产生共振现象。强迫振动和激励力之间有相位差,，方程可改写成wc2匚r,tan-itan-1k一w2m1一r2下图便是以:为参数，相角,随r，即w变化的曲线二、旋转不平衡质量引起的强迫振动在许多旋转机械中，转动部分总存在着质量不平衡，所以构建了如下图的系统列出系统的运动方程为MX+cx+kx=mew2sinwt系统的放大因子可表示为MX=r2me(1-r2)2+(2r,)2其关系曲线表示在图上第六节简谐激励强迫振动理论的应用一、隔振用来消除对机器、仪器和设备的工作性能产生有害影响振动的措施叫做隔振，隔振分为俩种，积极隔振和消极隔振

13、。积极隔振:把震源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的措施叫做积极隔振。消极隔振：为了减少外界震动对设备的影响而采取的隔振措施叫做消极隔振。二、振动测试仪器1、位移传感器2、加速度传感器3、速度传感器第七节非简谐激励作用下的系统响应一、奏起激励作用下的强迫振动对于线性系统在受到周期激励作用时，系统稳态响应的计算为:m+cx+kx，(acosnwtm+cx+kx，nnn，1系统的稳态响应为x(t)=ax(t)=aV0+2n，1an(1r2)2+(2r)2cos(nwt一申)+n，1bn(1r2)2+(2r)2二、非周期激励作用下的系统响应h(t)，h(t)，mwde一w”tsinwt,t0

14、d0,t+1112mmxJkk212222122xx2把强迫振动方程写成简明的形式F(tF(t222Dmh+kKJ=(F(t)sinwt用If匕加代替fsinwt方程的解为1(w)e1(w)ejwtJXe(wt-”竹)Xej(wt”92)22222由于现在讨论的事物阻尼系统，X1和X2表达中各元素都是实数，因此，与单自由度系统无阻尼强迫振动相同，对于不同的激励频率，相角i和申2值分别为0或-，这些曲线分别叫做幅频特性曲线和相频特性曲线。第三节无阻尼吸振器设计安装一个由质量和弹簧都不同的辅助系统吸振器。形成的两自由度系统运动方程为m0i0mm0i0mxx222解方程，得X(w)=1X(X(w)=

15、1X(w)=2(k一w2m)F22(k+k一w2m)(k一w2m)一k2121122，kF2(k+k一w2m)(k一w2m)一k2121122丿式中，w=k/m为主系统的固有频率，w=1112k/m为吸振器的固有频率,22X=F/k为主系统的等效静位移。01u=m/m吸振器质量与主系统质量的比。12第四节有阻尼振动一、自由振动一个具有粘性阻尼的两自由度系统如下图所示mx+(c+c)x+(k+k)x一exkx=0111211212222mxCx+kx一ex一kx=02222222121把方程写成矩阵形式0m2e+e120m2e+e12e2e2e2k+k12k2对于阻尼系统.自由振动运动方程一般形

16、式表示为mx+cx“+kx=r(t)“g假定方程的解为&假定方程的解为&(t)=be-t有阻尼振动分别有自由振动、强迫振动组成。与有阻尼单自由度系统相同，由初始条件引起的自由自由振动系统的运动，将随时间不短减小。这表明系统的运动将是振幅按指数函数衰减的简谐运动。两自由度有阻尼系统强迫振动运动对于线性系统，叠加原理在这里也成立，对于系统的稳态响应，用复指数法求解。第五节位移方程一、柔度影响系数定义弹簧常数为k的弹簧的柔度系数为d=l/k则对于前面讨论的系统的运动方程表示为ddiidd+d112其中D叫做柔度矩阵，其元d,i,j二1,2，叫做柔度影响系统，定义为d=ii,j=1,2ijFj即，值在

17、j点作用已单位力时，在i点引起的位移的大小。利用柔度影响系数的定义，就可以确定系统的柔度矩阵。对于系统的刚度矩阵，其元素kj，也叫做刚度影响系数，定义为k=ii,j=1,2ijxj它表明只在j点产生一单位位移时，在i点需要施加的力的大小。利用这一定义可以确定系统的刚度矩阵。|k+kkIk=122一kk1-22对于有阻尼系统，阻尼矩阵的元素阻尼影响系数也可按其定义以类似的方法确定。改写为d11d21dIF(t)-mx,dl|F(t)-mx|定。改写为d11d212222.rr1jj=1因而有x=【KI1(F(t)mx)与位移方程相比较，得(DJk系统的柔度矩阵是系统刚度矩阵的逆矩阵，但系统的刚度

18、必须是非奇异的。第四章多自由度系统第一节Lagrange方程dTdDdU+dqi=1,2,.,n对于许多复杂的机械系统，利用Lagrange方程去建立系统的运动方程常常是非常有效的。dTdDdU+dqi=1,2,.,nd（QT、;）dtdqiii式中q是广义坐标，对于n自由度系统有n个广义坐标。F沿广义坐标q方向作iiidu用的广义力。T是系统的动能函数，U是系统的势能函数，D是系统的散逸函数。dudqdq丿纠j=2W叨绻ij丿o=1j=D=1qT,cq列出系统的势能、动能和散逸函数后,Lagrange方程可得到n自由度系统的运动方程m朋+lieKq+IkKJ=f(t)第二节无阻尼自由振动和特

19、征值问题n个自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为m朋+Ik%=方程表明，时间函数和空间函数是可以分离的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间无关，因此，其比值一定是一个常数。f是时间的实函数，比值一定是一个实数，假定为，有工(km)u=0ijijj把它写成矩阵的形式，为IkKJ九mKJ式中,uuu也可表示为12n(1kxIm就解上面两个方程的问题叫做矩阵m和k的特征值问题。方程的通解为q(t)q(t)uasin(t+中rr1u=uuu第三节特征向量的正交性和主坐标对于一个n自由度系统，其第r阶特征值九W2对应的特征向量为L，其第sTOC o 1-5 h zrnrr阶特征值XW2对应的特征向量为

20、L，它们都满足前面的方程，因而有rnrskKJImw2LrnrrkLDmw2LSnSS由于wHw，只有nsrsSubDml!u0,rHssr同理可以得到,tfcl!u0,rHssr上两个方程表示了系统特征向量的正交关系，是对质量矩阵m，刚度矩阵k加权正交。必须强调，正交性关系仅当刚度和质量矩阵为对称矩阵时才成立。由于特征向量b(r=l,2,.,n)的绝对值不是唯一的，振型矩阵也不是唯一的，所r以描述系统运动的主坐标也不是唯一的，实际上，可能有无限多组主坐标。第四节对初始条件的响应和初值问题N自由度无阻尼系统的自由振动表达式为q(t)XAsin(wt+Q)uKasin(wt+Q)rrnrrnss

21、ss待定常数Ar和貲，由施加于系统的初始条件决定。若施加于系统的初始条件tq(0)=q,q(0)=q则有00sin(wt)sin(wt)=DcoswtEsinwtnrrnrrrnrrnr即0n0第五节半确定系统如果有一个系统，它的运动方程为m朋+IkKq=变换，用主坐标描述系统的运动，运动的方程成为mp+kp=0,r=1,2,nrrrr且有w2=k/m，可得nrrrp二01因而有p=D+Et111D1和E1为任意常数。方程表示，整个系统沿主坐标的运动是一个刚体运动，没有发生弹性变形，它也是系统的一个固有模态运动。当有一个或几个固有频率等于零的系统叫做半确定系统。并且具有半正定刚度矩阵的系统是一个半确定系统。第六节具有等固有频率的系统机械系统由于结构的对称性或其他原因，系统可能具有重特征值，也就是有相等的固有频率运动限于xy平面内，两个弹簧直交并相等。在微幅振动时，系统的运动方程为mq+2kq二0mq+2kq二022它们有两个相等的固有频率，是一个退化的系统。线性代数表明，无论系统是否具有重特征值，系统的所有特征向量有正交关系对于重