数学分析课程习题解答ex13_第1页
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PAGE PAGE 3第十三章 重积分习 题 13.1 有界区域上的重积分设一平面薄板（不计其厚度），它在平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。解 设电荷总量为，则。设函数在矩形D上有界，而且除了曲线段外，在D上其它点连续。证明在D上可积。证 设，将D用平行于两坐标轴的直线分成个小区域，记，不妨设将曲线段包含在内，于是在有界闭区域上连续，因此在上可积，即，当时，。而当时， 。取，当时，就有 ，所以在D上可积。按定义计算二重积分，其中D。 解 将分成个小正方形，取 ，则 。4. 设一元函数在上可积，。定义二元函数，。证明在上可积。证 将、分别作划分： 和 ，则分成了个小矩形。记是在小区间上的振幅，是在上的振幅，则 ，于是 ，由在上可积，可知 ，所以 ，即在上可积。5设是上的零边界闭区域，二元函数和在上可积。证明和也在上可积。 证 首先我们有，。设，将划分成个小区域，利用不等式，可得 ，于是 ，所以 ，由在上可积，可知 ，即在上可积。类似地可得 ，从而得到在上也可积。

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