全国卷3理科数学习题参考答案

1、绝密启用前试题种类：新课标2018年一般高等学校招生全国一致考试理科数学参照答案注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1已知会集Ax|x10，B0,1,2，则AB()A0B1C1,2D0,1,2【答案】C【剖析】A:x1，AB1,2【考点】交集21i2i()A

2、3iB3iC3iD3i【答案】D【剖析】1i2i2ii23i【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()2018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第1页（共15页）俯视方向A.B.C.D.【答案】A【剖析】注意咬合，平时点说就是小长方体要完好嵌入大长方体中，嵌入后最多只漂亮到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案最少能看见小长方体的左面和前面，D答案自己就不对，外面轮廓不可以能出缺失【考点】三

3、视图4.若sin1，则cos2()3A8B7C7D89999【答案】B【剖析】cos212sin279【考点】余弦的二倍角公式5.x225的张开式中x4的系数为()xA10B20C40D80【答案】Cx2255r2r【剖析】的第r1项为：C5rx2C5r2rx103r，故令r2，则xxC5r2rx103r40 x4【考点】二项式定理2018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第2页（共15页）6直线xy20分别与x轴、y轴交于点A,B两点，点P在圆x2y22上，2则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C2,32D22,32【答案】A【剖析】A2,0,B0,2，AB22，可设P22cos,2

4、sin，则42sin4dPAB222sin2,3224SABP1ABdPAB2dPAB2,62注：dPAB的范围也可以这样求：设圆心为O，则O2,0，故dPABdO2,dOAB2，而dOAB42,32AB22，dPAB2【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)7yx4x22的图像大体为()y1A.O1xy1B.O1xy1C.D.y1O1xO1x【答案】D2018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第3页（共15页）【剖析】f12，消除A、B；y4x32x2x12x2，故函数在0,2单增，2消除C【考点】函数图像鉴别(依照奇偶性、特别点函数值正负、趋势、单调性(导

5、数)的序次来考虑)8.某集体中的每位成员使用搬动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该集体的10为成员中使用搬动支付的人数，DX2.4，PX4PX6，则p()A0.7B0.6C0.4D0.3【答案】B【剖析】由题意得X遵从二项分布，即X10,p，由二项分布性质可得DX10p1p2.4，故p0.4或0.6，6Px6C106p61p4而Px4C104p41p即12p2，故p0.5pp0.6【考点】二项分布及其方差公式9.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ABC的面积为a2b2c2，则C()4A2B3C4D6【答案】C【剖析】SABCa2b2c2a2b2c21absinC

6、4，而cosCab22故1absinCabcosC1abcosC，C22424【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC的体积最大值为()A123B183C243D5432018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第4页（共15页）【答案】B【剖析】如图，O为球心，F为等边ABC的重心，易知OF底面ABC，当D,O,F三点共线，DO即DF底面ABC时，三棱锥DABC的高最大，体积也最大.此时：AFEBCABC等边AB6，SABC93在等边ABC中，BF2BE3AB23，33在RtOFB中，易知OF2，

7、DF6，故VDABCmax19361833【考点】外接球、椎体体积最值11.设F1,F2是双曲线Cx2y21a0,b0的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作:a2b2C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若PF16OP，则C的离心率为()A5B2C3D2【答案】C【剖析】渐近线OP的方程为：ybx，a利用点到直线的距离公式可求得PF2b，(此结论可作为二级结论来记忆)，在RtABC中，易得OPa，PF16a，a2c26a2a在POF1中，由余弦定理可得：cosPOF1，又cosPOF2c2aca2c26a2a0，故ec32acca【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形2018年全国卷3理科数学试题及

8、其参照答案第5页（共15页）12.设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0Babab0Cab0abDab0ab【答案】B【剖析】第一由ylog0.2x单调递减可知0log0.21alog0.20.3log0.20.21，同理可知2b1，ab0,ab0，消除C、D其次：利用作商法：ab11log0.30.2log0.32log0.30.41(注意到ab0)abababab【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.已知向量a1,2，b2,2，c1,.若c/2ab，则_.【答案】12【剖析】2ab4,2，故24【考点

9、】向量平行的坐标运算14.曲线yax1ex在点0,1处的切线斜率为2，则a_.【答案】3【剖析】yaexax1ex，ka12【考点】切线斜率的计算方法15.函数fxcos3x6在0,的零点个数为_.【答案】3【剖析】x0,，t3x6,3，由ycost图像可知，当66t,3,5时cost0，即fx有三个零点222也许：令3x6k，则x9k，当k0,1,2时，x0,，故3个零点232018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第6页（共15页）【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16.已知点M1,1和抛物线C:y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点，若AMB90，则k_.

10、【答案】2【剖析】(1)老例解法：设直线方程为xmyxmy1y1y24m1，联立2可求y1y2，由y4x4MBMAy1y2y1y21x1x2x1x210，可得m1，故k22二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB中点为N，则由二级结论可知NM准线，yNyM1，故yAyB2yN2，由点差法可得，k42yByA进一步可得二级结论：kAByMp【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生必定作答.第22、23题为选考题，考生依照要求作答.(一)必考题：共60分.(12分)等比数列an中，a11,a54

11、a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和.若Sm63，求m.【答案】(1)an2n1n1；(2)m6或an2【剖析】(1)a54a3a3q2，q2，an2n1n1或an211m(2)当q2时，Sm263，解得m612018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第7页（共15页）112mm当q2时，得2Sm363188无解综上：m6【考点】等比数列通项公式与前n项和公式18.(12分)某工厂为提高生产效率，张开技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，采用40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二

12、种生产方式，依照工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了以下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)依照茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高？并说明原由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间高出和不高出m的工人数填入下面的列联表：高出m不高出m第一种生产方式第二种生产方式(3)依照(2)中的列联表，能否有99%的掌握认为两种生产方式的效率有差异？2附：K2nadbcbd，abcdac20.0500.0100.001PKkk3.8416.63510.828【答案】

13、(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【剖析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min80min之间，而第一组数据集中在80min90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上6872767779828383848586878788899090919192E12084同理E274.7，E2E1，故第二组生产方式效率更高(2)由茎叶图可知，中位数m7981280，且列联表为：2018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第8页（共15页）高出m不高出m第一种生产方式155第二种生产方式51540152522(3)由(2)可知

14、K2106.635，20202020故有99%的掌握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验19(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是CD上异于C,D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积的最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.MDCA【答案】(1)见解析；(2)25B5ABCDCDMDM【剖析】(1)BCBCDCMBCCDDMBMCADNBMCMCDM(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些详尽的内容)(2)SABC恒定，故要使VMABC最大，则dMABC最

15、大，结合图象可知M为弧CD中点时，VMABC最大.此时取CD的中点O，则MODC，故MO面ABCD，故可建立以下列图空间直角坐标系则：M0,0,1，A2,1,0，B2,1,0，C0,1,0，D0,1,02018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第9页（共15页）AB0,2,0,MA2,1,1，平面MAB的法向量为n11,0,2，易知平面MCD的法向量为n21,0,0，故cosn1,n215，5525面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为5DzMOCyABx【考点】面面垂直的判断、三棱锥体积最值、二面角的求法20.(12分)x2y2已知斜率为k的直线l与椭圆C:1交于A,B两点，线段AB的中点为

16、43M1,mm0.(1)证明：k1；2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0.证明FA,FP,FB成等差数列，并求该数列的公差.【答案】(1)见解析；(2)d32128x12y121(1)点差法：设Ax1,y1,Bx2,y243【剖析】，则相减化简可得：x22y22143y1y2y1y23，kOMkAB3(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接x1x2x1x244用)，m3，易知中点M在椭圆内，1m21，代入可得k1或k1，又4k14322m0，k0，综上k22018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第10页（共15页）ykxn，且Ax2y21可得，联立法：设直线方程为x

17、1,y1,Bx2,y2，联立43ykxnx1x28kn2224k23，8knx120，则4k3x4nn212x1x2424k3ny1y2kx1x22n64k23xM14kn4k233，两式相除可得m(若是用算的话比k，后续过程和点差法相同yMm3n44k23较麻烦)(2)FPFAFB0，FP2FM0，即P1,2m，14m2431，m3m0k1,nmk7，44由(1)得联立后方程为7x214x10，x1,21321，414FAFBca2x1ca2x22acx1x23(此处用了椭圆的第二定义，否acaca则需要硬算，计算量太大)而FP32FAFB2FP故FA,FP,FB成等差数列.2dFAFBca

18、2x1ca2x2cx1x2321acaca14321d28【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义2018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第11页（共15页）21.(12分)已知函数fx2xax2ln1x2x.(1)若a0，证明：当1x0时，fx0；当x0，fx0；(2)若x0是fx的极大值点，求a.【答案】(1)见解析；(2)a16【剖析】(1)老例方法：当a0时，fx2xln1x2xx1，fxln1x111xfxx，当1x0时，fx0；当x0时，fx0 x21fx在1,0上单调递减，在0,上单调递加，而f00，fx0恒建立，fx单调递加，又f00当1x0时，fx0；当

19、x0，fx0改进方法：若a0，则fx2xlnx12xx2lnx12xx2令gxlnx12x，则gx14x20 x2x1x2x1x222所以gx在0,单增，又因为g00故当1x0时，gxg00，即fx0；当x0时，gxg00，即fx0；方法比较：若直接求导，那么完好办理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出x2之后对数单独存在，一次求导即可消掉对数(2)方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数yfx在xx0处各阶导数都存在且连续，xx0是函数的极大值点的一个充要条件为前2n1阶导数等于0，第2n阶导数小于0fx2xax2ln1x2x2018年全国卷3理科数学试题及其参照答案第12页（共15页）fx

20、2ax1lnx1ax211，f00 x1fx2alnx13ax24axx，f00 x21ax26axxa1fx236x1x0是fx的极大值点，f06a10，a1，6下证：当a1时，x0是fx的极大值点，61xx6，所以fx在1,0单增，在0,单减fx33x1进而有fxf00，进而fx在1,单减，当x1,0时，fxf00，当x0,时，fxf00进而fx在1,0单增，在0,单减，所以x0是fx的极大值点.方法二：x0是fx的极大值点，所以存在0，使得在,00,，fxf00，即2xax2ln1x2x02x2当x0,时，ln1x0，故ln1x2lnx1，x2xxax2x2lnx1当x,0时，ln1x2xx2lnx10，故a1x2lnx2xx2lnx1alim2x0 xlnx1即lnx1lim2lnx14xx04x【考点】导数的应用limxx1lnx12x02xx1lnx1x1(洛必达法规，极限思想)limx121x0 x4x64ln1x14(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，若是多做，则按所