2020年数学中考重难点突破圆的综合题

1、2020年数学中考重难点打破之圆的综合题2020年数学中考重难点打破之圆的综合题46/462020年数学中考重难点打破之圆的综合题圆的综合题1.如图,在矩形ABCD中,AB=23,AD=3,点P为边AD或CD上的一个动点,以BP为直径作半圆,圆心为点O,过点O作OFAD,交CD于点F,交半圆O于点E(1)如图,当点P与点D重合时,求EF的长;(2)当半圆O与CD相切时.求AP的长;求半圆O与正方形重叠部分的面积.第1题图解:(1)在矩形ABCD中,AB=23,AD=3,BD=21当P和D重合时,BD就是直径OB=OD,OFADBC,OF=1BC=322OE=1BD=21,22EF=OEOF=2

2、13；22(2)如解图,当E点和F点重合时,半圆O与CD相切设AP=a,则PD=3a点O是PB的中点,OEBCAD,1在四边形PDCB,OE=PDBC3a33a222在RtABP中,依照勾股定理获取P=AB2AP212a2,12a2=3a,22解得a=2；当点P、C重合时,半圆O与CD相切于点C,点C、P重合,AP=BD=21.因此,当半圆O和CD相切时,AP=2或21；当半圆O与CD相切于点C时,重叠面积为0;当半圆O与CD相切于点E时,如解图?,BC与BP交于点Q,连接OQ.此时AP=2,在矩形ABCD中,AB=23,A=90,tanABP=AP23,AB233ABP=30,OB=OQ=O

3、P=AP=2,CBP=90ABP=60,OB=OQ,OBQ是等边三角形,BOQ=60,POQ=120,3半圆O与正方形重叠部分的面积=sOBQS扇形POQ=OP2120OP2=34.36032第1题解图2.如图,将RtABC的极点A放在半圆O上,现从AC与半圆O相切于点A(如图)的地址开始,将ABC绕着点A顺时针旋转,设旋转角为,旋转后AC、AB分别与半圆O交于点E、F,连接EF(如图)已知BAC=60,C=90,AC=6,半圆O的直径为8(1)求?的长；EF(2)当=30时,求证:BC与O相切;(3)求点O到BC的距离x的取值范围.第2题图解:(1)如解图,连接OE、OFBAC=60,EOF

4、=120,?120(82)8EF的长=180；3(2)证明:如解图,BAC=60,=30,RtABC的斜边AB经过圆心O,作OGBC于点G3BAC=60,C=90,AC=6,AB=12,O的直径为8,AO=4,BO=8,OGBC,C=90,OGAC,OGBO,即OG8,ACBA612解得OD=4,即OD是O的半径,BC与O相切；(3)C=90,当点C在直径AD上时,点O到BC的距离最小为x=64=2；当点C在DA的延长线上时,点O到BC的距离最大为x=64=10,点O到BC的距离x的取值范围为2x10.第2题解图3.如图,四边形ABCD是正方形,且AB=8,点O与B重合,以O为圆心,作半径为5

5、的半圆O,交BC于点E,交AB于点F,交AB延长线于点G,连接EF、AC,M是半圆O上任一点.发现:AM的最大值为,AC与EF的地址关系是,S阴影=.将半圆O绕点F逆时针旋转,旋转角为.4思虑:(1)若点C落在半圆O的直径GF上,求圆心O到AB的距离；(2)若=90,求半圆O落在正方形内部的弧长；研究:在旋转过程中,若半圆O与正方形的边长相切,求点A到切点的距离.343(注:sin37=,sin53=,tan37=)554第3题图解:发现:13；平行；64;【解法提示】当点M与点G重合时,AM获取最大值,为AG=ABBG=13,在正方形ABCD中,BAC=45,ABC=90,在半圆O中,BF=

6、BE,BFE=BEF=190=45=BAC,ACEF,2在半圆O中,扇形BEF、扇形BFG均为1圆,面积相等,4S阴影=S正方形ABCD=AB2=64.思虑:(1)如解图,过点O作OQAB于点Q.四边形ABCD是正方形,ABC=90,OQBC,OFCF,OQBCCF=82289,5894089OQ889圆心O到AB的距离为4089;895(2)如解图,设半圆O交AD于点N,过点O作OHAD于点H.四边形ABCD是正方形,DAB=90.半圆O绕点F逆时针旋转,旋转角为90,OFA=90,四边形HAFO是矩形,AH=OF=5,OH=AF=ABBF=3,AHOF,sinHNO=OH3ON5NOF=H

7、NO=37,半圆O落在正方形内部的弧长:?3753718036研究:如解图,由思虑(2)适合半圆O与AB相切时,切点为F,A到切点的距离为AF=3;如解图当半圆O与CD相切时,设切点为R,连接OR,并延长RO交AB于点T,连接AR,则ORC=90.DCAB,OTB=90,四边形RCBT是矩形,RT=CB=8,OT=85=3,FT=52324,AT=ABBT=AB(BFFT)=7,AR=RT2AT26449113.6第3题解图当半圆O与AD相切时,设切点为P,如解图,连接OP,过点F作FSPO于点S,则四边形PAFS是矩形,PS=AF=3,AP=SF,SF=5222AP=21.21,综上所述,点

8、A到切点的距离为3或113或21.4.如图,已知扇形BOG的圆心为O,半径为2,圆心角为270,AB为直径,CD为弦AB与CD交于点M,将?沿着CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至P,使AP=OA,CD连接PC(1)求CD的长；(2)求证:PC是扇形BOG的切线；(3)在PC延长线上有一点Q,连接QG交AB于点E,交?于点F(F与B、C不重BC合)求GE?GF的值.第4题图(1)解:如解图,连接OC,CD?沿CD翻折后,点A与圆心O重合,7OM=1OA=12=1,CDOA,22OC=2,CD=2CM=2OC2OM22221223;证明:PA=OA=2,AM=OM=1,CM=1CD=3,2C

9、MP=OMC=90,PC=CM2MP22(3)23223,OC=2,PO=22=4,PC2OC2=(23)222=16=PO2,PCO=90,PC是O的切线;(3)解:如解图,延长GO交O于点H,连接FH.扇形BOG的圆心为O,圆心角为270,GOE=90,HFG=90,且OGE=FGH,OGEFGH,OGGE,GFGHGE?GF=OG?GH=24=8.第4题解图85.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PCPB，D是AC的中点，连接PD、PO（1）求证：CDPPOB；（2）填空：若AB4，则四边形AOPD的最大面积为；连接OD，当PBA的度数为

10、时，四边形BPDO是菱形第5题图1）证明:PCPB，D是AC的中点，DPAB，DP1AB，CPDPBO，2BO1AB，2DPBO，在CDP与POB中，DPBOCPDPBO，PCPBCDPPOB（SAS）；（2）解:4；【解法提示】当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，9（42）（42）224.60【解法提示】如解图，DPAB，DPBO，四边形BPDO是平行四边形，四边形BPDO是菱形，PBBO，POBO，PBBOPO，PBO是等边三角形，PBA的度数为60第5题解图6.如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于点E、

11、F思虑：连接BD，交半圆O于点G、H，求GH的长；研究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，获取半圆O，设其直径为EF，旋转角为（0180）（1）设F到AD的距离为m，当m7时，求的取值范围；2（2）若半圆O与线段AB、BC相切时，设切点为R，求?的长FR103，cos413，tan373，结果保留）（sin49444第6题图备用图解:思虑：如解图，过点O作ONBD于点N，HNGN，四边形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，又AB6，BD10，BADOND90，ADBNDO，ADBNDO，BDAB，ODONON12，5连接OH，OH3，HN9，5GH2HN18；5研究：（1）如解图，过点

12、F作FQAD于点Q，当F到AD的距离为7时，有FQ7，221171此时sin2，72因此30，如解图，当点Q落在DA延长线时，可求得150，因此当m7时，的取值范围为230150；（2）如解图，当半圆O与AB相切，切点为R，连接OR，ORA90，sinOAR3，4OAR49，AOR41，FOR139，?1393139；FR=60180如解图，当半圆O与BC相切，切点为R，过点O作OPAB于点P，连接OR，ORB90，易得四边形PBRO是矩形，ORBP3，AP3，sinAOP3，4POA49，ROF41，?41341FR180=6012图图图图图第6题解图7.已知扇形OAB的半径为8，AOB90

13、，点P是OA上的一个动点（不与点A，B重合），如图，将扇形沿的中点，点Q是弧ABPQ折叠，点A的对应点为A，连接AA.发现：在点Q的运动过程中，AAO向来为_，点A与点B之间的最小距离为_；思虑：（1）如图，当点O与点A重合时，求?的长；BQ（2）如图，当Q是?上的中点时，求tanAPQ的值.AB13图图图第7题图解:发现：90，454；思虑：（1）如解图，连接OQ，依照题意可得OP1OQ，OPQ90，2PQOB，PQO30，QOB30，?3084；BQ的长32）如解图，连接OQ，过点Q作QDOA于点D，Q是?上的中点，AOB90，AOQ45，ABDQODOQsinDOQ8242，2DPODO

14、P424，tanAPQDQ42222.DP42421图图第7题解图148.如图，在CDE中，DE32，D45，E75，点B在DC的延长线上，BC2，点A在射线DC的上方，ABDC，垂足为点B，且AB2，现以AB为直径作半圆O发现：CDE的边DC，点C到半圆O上的点的最小距离为最大距离为；将半圆O沿射线DC反方向平移，设平移距离为x思虑：（1）当点B与点C重合时，求半圆O与CDE重叠部分的面积；（2）当直径AB圆满落在CDE内部（含端点在界线）时，x的取值范围是；研究：当?与CDE的边有两个交点时，求x的取值范围AB第8题图备用图解:发现：33，51，22；【解法提示】如解图，过点E作EHCD于

15、点H在RtDEH中，DE32，D45，DDEH45，EHDH3，DEC75，CEH30，CH3，15CD33连接CO交半圆O于点M、连接AC则点C到半圆O上的点的最小距离为CMOCOM51，点C到半圆O上的点的最大距离为AC22思虑：（1）如解图，当点B与点C重合时，半圆O与CDE重叠部分的面积S扇形OMCSOMCACEH，ACMCEH30，OMOC，OMCOCM30，COM120，半圆O与CDE重叠部分的面积S扇形OMC12012131OMCS3602233；4（2）如解图，当点A在线段CE上时，设BCa.ABEH，ABBC，EHCHa，3a23，3此时x223，3如解图，当点A在线段DE上

16、时，易知ABBD2，BH1，此时x33，16当直径AB圆满落在CDE内部（含端点在界线）时，x的取值范围是2233x33；研究：如解图，当半圆O与DE相切时，设切点为N，连接ON、OD，在DB上取一点M，使得DMOM则易知ODNODM22.5，OMB45，OMDM2，BM1，BC33（21）232，此时x432，如解图中，当半圆O与CE相切于点N时，易知，3，此时x23OCBOCN60BC33?3x223或x43综上所述，当弧AB与CDE的边有两个交点时2332或33x53图图图图图图第8题解图179.如图，四边形ABCD是正方形，且AB8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交B

17、C于点E，交AB于点F，交AB延长线于G点，M是半圆O上任意一点发现：AM的最大值为，S阴影；如图，将半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为（0180）思虑：（1）若点C落在半圆O的直径GF上，求圆心O到AB的距离；（2）若90，求半圆O落在正方形内部的弧长；研究：在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，求点A到切点的距离34，tan373）（注：sin37，sin53545图图第9题图解:发现：13，64；【解法提示】当点M与G重合时，AM的值最大最大值为8513，观察图象可知：S阴影S正方形AB264思虑：（1）如解图中，过点O作OQAB于点Q，四边形ABCD是正方形，ABC90OQBC，OFF

18、C，OQBC18CF825289，589，OQ8OQ4089892）如解图中，设半圆O交AD于点N，过O作OHAD于点H，连接ON，四边形ABCD是正方形，DAB90半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为90，OFA90四边形HAFO是矩形，AHOF，OHAFABBF3，AHOF，sinHNOOH3，ON5HNO37，HNONOF37，半圆O落在正方形内部的弧长?3718537；NF518036180研究：由思虑（2）适合半圆O与AB相切时，切点为点F，A到切点的距离为AF3；如解图中，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，并延长RO交AB于点T，ORC90，DCAB，OTF90，四边形RCBT是矩形，RTCB8，OT853，FT52324，ATAFFT7，连接AR，ARRT2AT26449113，如解图中，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点F作FSPO，19易得四边形PAFS是矩形，PSAF3，APSF，SF22，AP21，5221综上，点A到切点的距离为3或113或21图图图图第9题解图10.如图，A45，ABC60，ABMN，BHMN于点H，BH8，点C在MN上，点D在AC上，DEMN于点E，半圆的圆心为点O，直径DE6，G为?的中点，F是?上的动点DEDE发现：CF的最小值是，CF的最大