数列的通项与求和

1、 数列的通项与求和一.求数列的通项的一般方法、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.例.等差数列11是递增数列，前项和为s，且a,a,a成等比数列，Sa2.求nn13955数列T嗝通项公式点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。、二、公式法若已知数列的前n项和s与a的关系，求数列1/勺通项a可用公式nnnn求解。isnnnnnnnnn1求解。品snum2nn例.已知下列两数列a的前项和的公式，求a的通项公式nn()Sn3nH1()sn2H1nnIS1点评：利用公式an一求解时，要注意对n分类讨

2、论，但若能合1Ssmnnft2nn写时一定要合并.、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为aaf(n)TOC o 1-5 h znn解法：把原递推公式转化为aaf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。nn例3.已知数列,足a1,aa1，求a。n12nnn2|nn类型2递推公式为af(n)anna解法：把原递推公式转化为f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例4,已知数列,足a2，ana，求a。n13nn1nn变式：已知a13变式：已知a13，.3n1aan3n2n

3、(n1)，类型3递推式：apaf1nHnn解法：只需构造数列2消去fn带来的差异.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 类型3递推公式为apaq（其中p,q均为常数，（pq（p0）。nn解法：把原递推公式转化为：atp（at），其中t：，再利用换元法转化为等nn1p比数列求解。类型3递推公式为apaqn（其中p，q均为常数，（pq（p1）（q1）0）。（或nnaparqn，其中p，q,r均为常数）nn解法：该类型较类型31要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以qn-，得：apa1n1nqnqqnq引入辅助数列.（其中ban），得：bp-b1再应用类型

4、39勺方法解决。nnqnnqnq1例5.数列Ua满足a=1,a、a+1（n三2）,求数列a的通项公式。n1n2nn变式：数列a满足a1,3aa70,求数列a的通项公式。n1nnn例6,已知数列11例6,已知数列11n,16n，求a。n变式：已知数列,足出1,n1a3n2an(n2)求a.，n点评：递推式为apaqn-（p、q为常数）时，可同除qn-，得nn一p.i,令ban从而化归为apaq（p、q为常数）型.qnqqnnqnnn取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有aa项，直接求相邻两项的关系很困难，但nn两边同除以aa后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出a。nnn例7、已知数

5、列a例7、已知数列a,a产,n1aann1annN，求an3变式、已知数列a满足a-n123na且an一n2an印n(n2nN)()求数歹ija的n通项公式。、数列求和的方法（1）公式法：fta1(q)n(aa)等差数列：snan(aa)等差数列：snan21d；等比数歹U：naLn)_aa2ff)#anq(q)iiqiiqn1nk2-n(n1)(2n.1);6k(2)错位相减法:这是推导等比数列前n项和公式时所使用的方法，这种方法主要用于求数列1a前nnn项和，其中a.吗别是等差数列和等比数歹U。nn（3）倒序相加法将一个数列倒过来排序，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于

6、求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。（4）分组求和法数列既不是等差数列又不是等比数列时，但它可以通过适当拆分，分为几个等差、等比数列或常见的数列，即能分别求和，然后再合并。（5）裂项法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的裂项法有：,1、1LJ万b）n（n11）nn1aa）bab1(2n1)(2n|1)数列D数列D嚏等差数列，1_11_1aad.a.nnMnn（6）其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，并项求和法等1分组与公式法求和：例1.已知数列U%n的首项11=3,通项xn=2np+nq（n*,p,q为常数），且x1,x4,x5成等差数列.求：（1）p，q的值；（2）数列Uxn前n项和Sn的公式.2错位相减法求和例2.（2013唐山统考）在等比数列an中，a2a3=32,a5=32.（1）求数列an的通项公式；(2)设数歹ijaj的前n项和为Sn，求S1+2S2H-nSn.裂项相消法求和例3。已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nann(n-1)(n*).(1)求数列an的通项公式；2n项和Tn.(2)设b=，求数列叫b的前nanan项和Tn.本例条件不变，若数列b满足b=，求数列b的前n项和T.nnS+n