曲线积分与曲面积分教案

1、课次16周次9教学时数2授课课题10.1对弧长的曲线积分授课方式讲授教学目标1理解第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)的定义和性质，进一步渗透有限与无限、量变到质变的辨证关系，培养学生的辩证唯物主义观点2掌握第一类曲线积分的计算方法3掌握用第一类曲线积分解决问题的步骤教学重点难点重点是第一类曲线积分的计算方法难点是第一类曲线积分的定义及应用授课方法和手段讲练结合法教学内容与教学过程设计一、对弧长的曲线积分1。曲线形物件的质量1.曲线形构件质量设一构件占xoy面内一段曲线弧L，端点求构件质量M。解(1)将L分割As(i=1,2,n)iV(x,y)eAs,AM氏p(x,y)-AsiiiiiiiM氏p

2、(x,yhsiiii=1M=limp(x,y)As九=maxX0ii1i=1定义L为xoy面内的一条光滑曲线弧，f(x任取一点化E)eAS(i=1,2,3.iiix=maxAs,As，一,As，当入.0时12nf(x,y)在L上对弧长的曲线不为A,B，线密度p(x,y)连续yJA0tn小段AS,i令此极限值为As,As，12,y)在L上有.,n),作和,limXf(i=1只分(第一类xo,Asn界，用M将L分成if化,n)as,，iiii=1之,n)as存在，称.iii三曲线积分)记为 八其中L的方向为逆时针方向.于是JxJxdy-ydx=Jxdy-ydxLx2+y2lx2+y2下面说明格林公

3、式的一个简单应用.1,2r2cos29+r2sin29O=J2d9=2n.在公式中取偿二-在公式中取偿二-y,Q=x,即得y2JJdxdy=Jxdy-ydx.DL所以区域D的面积A为若令P=0,Q若令P=0,Q=x,则得例4求椭圆x=acos。解根据公式有A=-J2A=-Jxdy-ydx.2LA=Jxdyy=bsin千所围成图形的面积A.2(abcos29+absin29)d00=-abJ=-abJ2d9=nab.2八o练习1计算“y-x)d+(3x+y)dL:(x-1)2+(y4)2=9ap1二1ay原式二JJ(3-1)dxdy=18冗,丝ap1二1ay计算星形线x=acos3t围成图形面积

4、(0t0)内是某个函数的全微分，并求出一个x2+y2这样的函数.d.X在右半平面内恒成立，因此在右半平面内XdyydX是某个函数的全微分.x2+y2在右半平面内恒成立，因此在右半平面内取积分路径如图所示，利用公式得u(X,y)=J(u(X,y)=J(x,y)xdyydx=Jxdyy+Jxdyydx(1,0)X2+y2ABX2+y2BCX2+y2=0+Jy*_0X2+y2arctanyxy,y=arctanx0例7设曲线积分Jxy2dx+yp(x)dy与路径无关，其中(x)具有连续的导数，且L(0)=0,计算J(1,1)xy2dx+yp(x)dy.(1,0)E、E、apa，、5P八解P(x,y)

5、=xy2,Q(x,y)=y(x),-=2xy,5y=y(x)，由曲线积分与路径无关的条件有：5P=丝，所以有y(x)=2xyayax因此由因此由(0)=0得C=0，即(X)=X2(X)=X2+C练习曲线积分练习曲线积分7=JL(1,0)J(1,1)Xy2dx+yp(x)dy=J10dx+J1ydy=1/2。(1,0)(y+X)d+(X2y，L为过(0,0)，(0,1)和(1,2)点的圆弧。课次19周次10教学时数2授课课题10.4对面积的曲面积分授课方式讲授教学目标理解对面积的曲面积分的概念、性质及计算教学重点难点重点是对面积的曲线积分的计算难点是对面积的曲面积分的计算授课方法和手段讲练结合法

6、教学内容与教学过程设计曲面积分的积分区域是空间的曲面，这里我们所讨论的曲面都是光滑的或分片光滑的.如果曲面上每点M都有切平面，而且当M沿曲面连续变动时，切平面的法向量在曲面上连续变化，就称曲面是光滑的；如果曲面是由几块光滑曲面组成的连续曲面，就称是分片光滑的。一、对面积的曲面积分的概念.空间曲面质量在对平面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二兀函数换为三兀函数即可得对面积的曲面积分。设有一曲面S。其上不均匀分布着面密度为S上的连续函数目=皿羽y,z)，求曲面S的质量。经分割，代替，求和，取极限四步，M=limf.,n,工)S.心0I1，i.定义设曲面Z是光滑的，f(x,y

7、,z)在Z上有界，把Z分成n小块，任取(Jn工)GAS,iiii作乘积f化,n工)-AS(i=1,2,n),再作和Xf化,n)Ax(i=1,2,n),iiiiiii=1当各小块曲面直径的最大值九0时，这和的极限存在，则称此极限为f(x,y,z)在E上对面积的曲面积分或第一类曲面，记JJf(x,y,z)ds，即JJf(X,y,z)ds=limXfG,n工)-AS入0iii1Ei=1说明：(1)8f(X,y,z)ds为封闭曲面上的第一类曲面积分Zrr(2)当f(x,y,z)连续时，JJf(x,y,z)ds存在(3)当f(x,y,z)为光滑曲面的密度函数时，质量M=JJf(x,y,z)dsE(4)(

8、5)(6)f(x,y,z)=1时，S=ffds为曲面面积2性质同第一类曲线积分E=E+E12若E为有向曲面，则fff(x,y,z)ds与E的方向无关。2对面积的曲面积分有类似于第五节中的对弧长的曲线积分的一些性质.二、对面积的曲面积分的计算定理设曲面E的方程z=z(x,y)，E在xay面的投影D，若f(x,y,z)在D上具有一xy阶连续偏导数，在E上连续，则fff(x,y,z)ds=fff(x,y,z1说明(1)2设z=z(x,y)为单值函数Dxyxy(x,y).1+z2+z2dxdy*xy(2)若E：x=x(y,z)或y=y(x,z)可得到相应的计算公式。(3)若E为平面里与坐标面平行或重合

9、时fff(x,y,z)ds=ff计算曲面积分J1f(x,y,0)dxdyDy(x2+y2+z2)dS，其中S是球面：x2+y2+z2=2。S由被积函数与曲面的对称性，所求积分等于两倍上半球面If(x2+y2+z2)dS=2Sff(x2+y2+z2)dS。SiS1上的积分，即S1的方程为z=aa2x2-y2，从而3z3x-xJa2-x2-y2所以dS=1+、2十(&、2dxdy=曲面S1在xOy平面的投影区域D为：x2+y2a2,由公式得ffS,a(x2+y2+z2)dS=ff(x2+y2+a2-x2-y2)；一daa2-x2=ffa3dxdy=f2冗d0fa:a3rdrdJa2-x2-y200

10、aa2-r2=-2a3ya2-r2a=2a4,0故有ff(x2+y2+z2)dS=4兀a4。S然而，如果我们利用曲面的方程先将被积函数化简，并运用球面的面积公式，立即可得上面积分的值：JI(x2+y2+z2)dS-a2ffdS=4a4.SS例计算半径为R的均匀球壳绕对称轴的转动惯量。解设面密度0=1,取球心为坐标原点，则球面S的方程是x2+y2+z2=R2,易证所求转动惯量为I=JJ(x2+y2)dS。S由上例知，球面的面积元素dS=Rdxdy，Jr2-x2-y2代入上面的积分，并利用对称性得I=2ffR(x2+y2)dxdy=2R卜dofRRdR2-x2-y200Jr2r2.r3dr打一=4

11、RjrrRsin14R4f2sin31dt0Rr2r208=-R4。3因为球壳质量M=4R2.0=4R2,所以I=24R2.R2=2MR233课外自主学习设计学习资源教学反思(手写)课次20周次11教学时数2授课课题10.5对坐标的曲面积分的概念授课方式讲授教学目标1掌握有向曲面的概念2理解对坐标的曲面积分的概念及其性质教学重点难点重点是对坐标的曲面积分的概念难点是对坐标的曲线积分的性质授课方法和手段讲练结合法教学内容与教学过程设计一、有向曲面的概念侧心设曲面z（x，），若取法向量朝上（n与z轴正向的夹角为锐角），则曲面取定上侧，否则为下侧；对曲面x=x（丁，z），若n的方向与x正向夹角为锐角

12、，取定曲面的前侧，否则为后侧，对曲面=（x，z），n的方向与正向夹角为锐角取定曲面为右侧，否则为左侧；若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外，则此时取定曲面的外侧，否则为内侧，取定了法向量即选定了曲面的侧，这种曲面称为有向曲面设Z是有向曲面，在z上取一小块曲面AS，把AS投影到xj面上，得一投影域Ao（表示区域，又表示面积），假定AS上任点的法向量与z轴夹角角的余弦同号，xj产xjcosY0!则规定投影AS为AS=-Aocosy0实质将投影面积附以定的符号，同理可xjxjxj0cosy=0以定义AS在jz面，zx面上的投影AS，ASjzZx二、引例设稳定流动的不可压缩的流体(设密度为1)的速度场

13、为V(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,Z为其中一片有向曲面，P,Q,R在Z上连续，求单位时间内流向Z指定侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量V，又设n为该平面的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一底面积为A，斜高为V|的斜柱体，斜柱体体积为A|v|.cosO=A.Vn(n/v)=63时，流量为负22值称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均称为A.v.n。解但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速V也不是常向量，故采用元素法。把Z分成n小块AS，设Z光滑，且P,Q,R连续，当AS很小时，流过AS的体积iii近似值为以AS为底，以V化

14、用工)为斜高的柱体，任化,n工)eAS，n为化E工)iiiiiiiiiiii处的单位法向量n.=化,n工，故流量-V&,n工)n,AS，1.iiiiiiii-XvnAS=ZPcosa+QcosP+RcosyAS又cosa-AS-ASiiiiiiiiiizyi-1i-1cosP-AS-AS，cosy-AS-ASiiizxiiixy.,-ZPAS+QAS+RASiyzizxixyi-1-limZPAS+QAS+RAS，其中入为最大曲面直径。X0.iyzizxixyi-1三、对坐标的曲面积分的概念1.定义定义1设为光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在上有界，把任意分成块小曲面Si,Si同时又表示第

15、i块小曲面的面积，Si在xOy面上的投影为(Si),(i,i,i)是Si上任意取定的一点，如果当各小块曲面的直径的最大值0时，limER&,n二)(AS)0iiiixyi=1总存在，则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的曲面积分，记作11R(x,y,z)dxdy，即11R(x,y,z)dxdy=limEr(,n0,所以又因(又因(i,i,i)是上的一点Si)xy=(i)xyi=z(i,i).从而有zr化,n工)(As)=Zr化e,z(,n)(Ao)iiiixyiiiiixyi=1i=1令0取上式两端的极限，就得到JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z(x,y)dx

16、dy这就是把对坐标的曲面积分化为二重积分的公式.公式(10-5-1)表明，计算曲面积分JJR(x,y,z)dxdy时，只要把其中变量z换为表示的函数z(x,y)，然后在的投影区域Dxy上计算二重积分就成了.说明：(1)将z用z=z(x,y)代替，将Z投影到xy面上，再定向，则JJRdxdy=JJRx,y,z(x,y)dxdyDxy(2)若Z:z=z(x,y)取下侧，则cosy0)在第一卦限的例1计算JJxdydz+ydzd为平面x+y+z=a(a0)在第一卦限的解为了方便，首先计算JJzdxdy.易知的法向量与Z轴正向的夹角为锐角，故二重积分取正号，在xOy面上的投影为三角形区域AOB，其中D

17、xy0ya-x,0 xa。所以JJzdxdy=JJ（a一x一y）dxdy=JadxJax（a一x一y）dy=a3。Dxy006由于在此曲面积分中，x,y,z是对称的，从而有JJxdydz=JJydzdx=-a3。6什31所以得到JJxdydz+ydzdx+zdxdy二a3=a3。62例2计算曲面积分JJxyzdxdy，其中是球面x2+y2+z2=1外侧在x0,y0的部分.解把分为1和2两部分，如图所不，的方程为z1=-1-x2-y2,2的方程为z2=11-x2-y2,所以JJxyzdxdy=JJxyzdxdy+JJxyzdxdy21上式右端的第一个积分曲面2取上侧，第一个积分曲面取下侧，因此应

18、用公式就有JJxyzdxdy=JJxyj-x2y2dxdy-JJxy（-J1x2y2）dxdyDDFxyr=2JJxy71-x2-y2dxdyDy=2JJr2sin0cos0J1-r2rdrd0D孙=Jnsin20d0J1r3J1-r2dr00_12_21.1515课外自主学习设计学习资源教学反思（手写）课次21周次11教学时数2授课课题10.6高斯公式与斯托克斯公式授课方式讲授教学目标1掌握高斯公式及其应用2掌握斯托克斯公式及其应用3理解空间曲线积分与路径无关的条件教学重点难点重点是高嘶公式与斯托克斯公式难点是对高嘶公式与斯托克斯公式的应用授课方法和手段讲练结合法教学内容与教学过程设计一、高

19、斯公式格林公式揭示了平面闭区域上的二重积分与围成该区域的闭曲线上的第二类曲线积分之间的关系，而这里所提出的高斯(Gauss)公式，则揭示了空间闭区域上的三重积分与围成该区域的边界闭曲面上的第二类曲面积分之间的联系，可以认为高斯公式是格林公式在三维空间的一个推广.定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在及上具有关于x,y,z的连续偏导数，则有用+dxdydz=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy,虱。xByd.z)这里是整个边界曲面的外侧.公式(10-6-1)称为高斯公式.证首先证明如下情形，任一平行于坐标轴的直线和边界曲面至多只

20、有两个交点，这时可分成下部1，上部2，侧面3三部分，|其中1和2分别由z=zi(x，y)和z=z2(x,y)给定.这里z1(x,yRz2(x,y),3是以Dxy的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面上的一部分，取其外侧。由三重积分的计算法有JJJdv=JJJz2(x,y)空dzdxdy=JJr(x,y,z(x,y)-R(x,y,z(x,y)dxdyQBzDLz(x,y)BzD2，1xy1xy根据曲面积分的计算法，有JJR(x,y,z)dxdy=-JJR(x,y,z(x,y)dxdy，Dxy1JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z(x,y)dxdy。2Dxy2因为3上任意一块曲面在xO

21、y面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知11R(x,y,z)dxdy=0把以上三式相加，得r(x,y,z(x,y)-R(x,r(x,y,z(x,y)-R(x,y,z(x,y)dxdyTOC o 1-5 h zDxy于是同理可证: HYPERLINK l bookmark166 111迫dv=JJPdydz1门丝dv=11Qdzdx.qd.x轲y以上三式相加，即得高斯公式。u若曲面与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两,点可以用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使围成每个小区域的闭曲面与平行于坐标轴的直线的交点最多两个.要做到这点，我们只需在曲面的基础上，利增加若干个曲面块

22、，增加的曲面块我们称之为辅助曲面块，这些辅助曲面有一个共同的特点：即曲面的每一侧既是某个区域的内侧又是另一个区域的外侧.注意到沿辅助曲面的相反两侧的两个曲面积分的和为零，因此高斯公式仍然是成立的。为球面x2+y2+z2=R2的外例1利用高斯公式计算11xdydz+ydzd为球面x2+y2+z2=R2的外侧。解由高斯公式八11xdydz+ydzddx+zdxdy=111(1+1+1)dxdydz=4R3。Vx2+y2+z20围成表面的外侧。八)aPdQd.RX(yiz),Q=zx,R=xy,贝一十十一=yzaxay&u原式-JJJ(yzd=于d口rdrJ(rsin0z)dz=一。00001r2二、斯托克斯公式高斯公式揭示了沿闭曲面第二类曲面积分与该曲面所围成的闭区域上的三重积分之间的内在联系，可以认为是格林公式在三维空间的推广而格林公式还可以从