二次型与二次曲面

1、 X一1一11XI一A=一1X1一1=(X-1(X+3)一11X一11一1一1X所以A的特征值为九=1C重根)久=-3。12=1时，由C/A)x=0，求得三个线性无关的特征向量a=6,1,0,0,a=6,0,1,0,a=(1,0,0,1123用施密特正交化方法求得三个标准正交向量为：(112丫，,0，O(112丫，,0，O6小护丿T一,0,0，yM2T2丿(1一111丫(1一111丫(2222丿久=3时，求得一个单位特征向量为y-24取正交矩阵：11一11一1尹屈、12111v6J12102,/12300P=12121212则P%P=diag(1,1,1,-3)“作正交变换x=Py,得Q(a)

2、=xtAx=yrPrAPy=yrdiag(1,1,1,一3)y=y2+y2+y2一3y21234配方法：(适用于任意二次型)例：用配方法将二次型qG)=x2+2x2+5x2+2xx+2xx+8qG)123121323化为标准形。3(y)1y:2l打丿rx)1x:lx丿3)23(y)1y:2l打丿rx)1x:lx丿3)2-(x+x)223TOC o 1-5 h z112323+2x2+5x2+8xx2323(x+x+x)2+x2+4x2+6xx1232323(x+x+x)2+(x+3x)2-5x21232厂yx+x+x HYPERLINK l bookmark92 o Current Docum

3、ent i23yx+3x23yx33xy-y+2y123xy-3y23xyri1iri1irx1013x2l001丿lx3丿ri-12)01-3yl001丿ly=Pyi23丿作可逆线性替换x=Py,得Q(a)=xtAxyTPTAPyy2+y2一5y232r1iri2-i-1-3l2r1-3-1-5人例：用配方法将二次型Q)解：令rx)1x2IX丿3-y)+4(y2x=y+y112x=y-y即212x=y33则Q(a)=2(y+y)(y12121二2y2-2y2+4yy+4yy121323二2(y+y1-22-2yy+y2二2(J+y31310)-100仏+y2)y3ry)1y2丿223-y3r

4、r1rr0ri0-2(y2rry1)r1rry2Iy3丿二2z?-2z为所求的标准形。rr1rr1ri0rr1rr1ri0z=y+y113z=yy223z=y33则qG)rx)r1x=r2Ix丿3rz)r1rz2人Z3丿11-1020)0Jiy30-21y1)1y二2丿)rz)1-10所作的坐标变换为rz)r1rzr2丿匕3丿0)r1010-1)10r1rzr2丿1Z3丿定理：任意一个二次型都可以通过可逆线性替换化成标准形矩阵的初等变换法定理：对每个实对称矩阵A,存在初等矩阵P1，P2，P使得PtPtPtAPPP=diag(d,d，,d)s2112s12n方法：先将二次型的对应矩阵A写出，然后

5、将单位矩阵写在A的下面，构成一个)xn阶矩阵，当列进行初等变换后，对行向量也进行相同的初等变换，则当A变成对角阵时，I就成了所作的变换矩阵。例：用初等变换法将下列二次型Qa丿=x2+2x2+5x2+2xx+2xx+8xx123121323化为标准形r111r100、r100、124113013JT-fra145(2)-(1)134034解：Ti丿100(3)-(1)1-1-11-1-1010010010001丿001丿001丿r1001r1001010010(3)-3(2)03-500-5T1-12T1-1201-301-3001J1001J厂1-12、令P=01-3,当作坐标变换x=Py后，

6、得到001丿QG)=y：+y25y;即为标准形。例：用初等变换法将下列二次型Q（a）=xt厂o21、211J11丿化为标准形。解：（o21、（2o1、121、2111212o1111（2）/）111111T1ooo1oo1oo1o1oo1oo0o1j0o1j0o1j（A丿厂o121ooGoo丿例：用初等变换法将下列二次型Q（a）=xt化为标准形。解：（o12、112、212、1oo1001002oo（2）+G200200TT1oo100100o1o1101100o1j001j001j（A丿惯性定理和二次型的规范形设Q6)为复二次型，它的秩为八其标准形为dy2+dy2+dy21122rr其中dg

7、C,d丰0,i=12r，令iiyiyii=yiyii=1,2,r=z,i=r+1,n,i=z2+z2+12规范形定理：任意一个复系数二次型总可以经过一个适当的可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的。定义：称形如z2+z2+z2一z2一12pp1r的二次型为实二次型的规范形。称p为二次型的正惯性指数,r-p为负惯性指数，正、负惯性指数的差p-(r-p)=2p-r叫符合差。定理(惯性定理)任意一个实系数的二次型，总可以经过一个适当的可逆线性替换，化成规范形，且规范形是唯一的，即正、负惯性指数由二次型唯一确定。证明：只证p的唯一性。设QG)为实二次型。QG)x=Pgp2P+2z-2z-一(1丄TO

8、C o 1-5 h z12pp1rQ(a)x=T1p2p*+2u2u(212qp1r假设p主q,不妨设p()方程组有非零解，设为x0=冲),x20),xn0丰0，则,znz=P-1x=(0,0,znu=T-ixu=T-ix=(u,u,0,0f丰0001q分别代入和，有Q(x0)J0和Q(x)0,矛盾.推论对任意的实对称矩阵4,存在可逆矩阵Q使得QtA3d(ag-I,p-rp注：可逆矩阵Q不唯一，但pr由A唯一确定。注：两个实对称阵4,B合同当且仅当有相同的正、负惯性指数。实二次型的正定性定义：如果对于任意非零向量x=(x1,x2，x)t，恒有12nQ(x,x,x)=xtAx012n则称实二次型

9、xtAx为正定二次型；称矩阵A为正定矩阵。例1二次型Q(叫，x，x)=x2+x2+x2是正定二次TOC o 1-5 h z12n12n型；但二次型Q(X,X，x)=x2+x2+X2(rVn)不是12n12r正定二次型(单位矩阵是正定矩阵)。例2设A,B均为n阶正定矩阵，k,l为正数，证明kA+lB为正定矩阵。例3设V是欧氏空间,2例3设V是欧氏空间,2a1a2,1(a(aQ是V的一组基，定义221n2aa(a,a)(a,a)(a,a)n1n2nn则G是正定矩阵。性质：二次型经过可逆线性替换，其正定性不变；或者说，若矩阵A与B合同，则A正定当且仅当B正定。证明：设Q(a)=xTAx,令x=Py,

10、贝Ijx主0当且仅当y主0,且Q(a)=xTAx=()PTy(A)P=yT(Ty)PAPy所以xta正定当且仅当T(pLip定y定理若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价:(1)xTAx是正定二次型(或A是正定矩阵)；(2)A的正惯性指数为n(或二次型的正惯性指数为n);A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵C,使得CrAC=h存在可逆矩阵，使得A=BTB;A的n个特征值九，九，,九都大于零。12n证明：(1)=(2)设二次型的正惯性指数卩n，则经过可逆线性替换兀=O线性替换兀=O，二次型化为Q()=xtAx=取y0=0,1型矛盾。+y2y2一y2pp+1r）-0与XTAx是正定二次n显然成立。n(4

11、)由于CTAC=I，所以A=Ct)iC-i=BtB,其中B=C-i.(4)n设九是A的一个特征值，兀是属于九的特征向量，则x主0，Ax=，由于A=BTB，B逆，所以xtAx=AxtxnxtBtBx=Axtxn（BX）tBx=Axtx即有（fix,Bx）=A（x,x）因为xh0，B可逆，所以（Bx，Bx）0,Gx）0，因此（Bx,Bx）A=（）0Vx,x）。(5)n(1)对实对称矩阵A，存在正交矩阵P，使得PtAP=diag(,A，,A)12n做可逆线性替换兀=Py，得Q(a)=y2+2y2hf2y21122nn由已知，20(i=1,2，,n)，则对任意y丰0，有Q(a)=xtAx=2y2+2y

12、2ff2y201122nn所以Q(a)=xtAx正定。结论：与正定矩阵合同的矩阵只能是正定矩阵。例1证明：若A是正定矩阵，则A-1也是正定矩阵。定理2若二次型xtAx正定，则A的主对角线元素aoC=12，n)；iiA的行列式|A|o。证明：取xi=G，0，0,即可(2)IAI=久久久CZMij，子式IA1=ka11a21aCZMij，子式IA1=ka11a21a12a22a1ka2k,k=1,2，nak1ak2akk称为矩阵A的k阶顺序主子式。定理3n元二次型xTAx正定当且仅当A的n个顺序主子式大于0。,xk，则证明：（必要性）取X=（x1,x2,x，0）T丰0记x=（yT,0）T,y=（x

13、,x,xk，则kk120 xtAx00。k（充分性）对n归纳。n=1时，因为咕0，所以xTAx-aux2（vx主0），因此xTAx正定。假设充分性对n-1元二次型成立。因为1A11n111n1l0因为1A11n111n1l0C-1Aa、n1、ata丿nn0，所以An1可逆，取n1rIn1IaTA-1,其中at-(a,a,n1n2,a)nn1CTAC-11A-1an11丿,则CT1n一1latA1n10aatA1a丿nnn10YAn1aTrA-n1Il0因为IAI0,IAl0，所以Q0。n1ran1Il0a丿lnn0n一10ATn11丿由归纳假设A正定，即存在可逆矩阵P,使得PtAP-In1n1

14、n1rP0、rPT0取C-c1,则CT-C-12022II0l加yP丿厂P0(A0厂P0、0丿n-10a丿0丿nCTCTACC2112所以，A与单位矩阵合同，因此A正定。定理4n元二次型xtAx正定当且仅当A的所有主子式全大于0。例1判断二次型QG)二x2+x2+x2一xX+xx1231223是否是正定二次型。例2t为何值时下列二次型是正定的？Q(a)=2x2+x2+x2+2xx+txxo1231223例3A是mxn的实矩阵，B=XI+AtA，证明九0时，B正定。例4设A是实对称正定矩阵，B是mxn的实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.例5设A,B都是n阶正定矩阵，且AB=

15、BA,证明：AB为正定矩阵。例6设A是实对称矩阵，证明:A是正定矩阵的充要条件是,对任意正整数加，存在正定矩阵B,使得A=B例7设A是n阶可逆实矩阵，试证明:ATA是正定矩阵；A可分解为一个正交矩阵和一个正定矩阵的乘积，即A=QS，其中Q是正交矩阵，S是正定矩阵。例8设A,B都是n阶实对称矩阵，其中A正定，证明：当实数t充分大时，tA+B也是正定矩阵。其它有定二次型定义：设Q）是实二次型，若对任意非零向量（1）恒有Q%0，且存在叫，使得Q（）=0，则称实二次型Q）是半正定的；（2）恒有Q）0(i-1,2，,n),则Q(a)正定；0(i-1,2,n)且存在i,使得-0,则Q(a)半正定;d0(i

16、-1,2,n),则Q(a)负定；d0(i-1,2,n)且存在i,使得d-0,则Q(a)半负定。Q(a)-x2+2x2-x2，则Q(a)是不定的。123结论：A正定（半正定）当且仅当-A负定（半负定）。定理：设Q（a）-xTAx是实二次型，以下命题等价。（1）Q（a）是半正定二次型，或A是半正定矩阵；（2）Q（a）的正惯性指数p=rn，其中r是A的秩;3)A相合于diag(Ir,0)，rn；r存在非满秩n阶方阵C,使得A=CTC；A的所有特征值非负，且至少有一个特征值为0；6)A的所有主子式均大于等于零，且至少有一个为0。n/n/丿x2例1：判断二次型nxii=1呵是否是有定二次型。i=1例2：

17、设B是n阶实矩阵，r(B)0,转面方程为则以曲线r为母线，)轴为旋转轴的旋fxf(x,y)=0,y0,转面方程为Uo)Uo)证明：在旋转面上任选一点P(x,y,z),P是由r上的点P0S0)绕x轴旋转而得，则P和P0点坐标之间满足x=x0何丐=y0/因为P0在曲线r上,所以有f；)=0，即即f,Jy2+z2)=0.反之，若一点P(x,y,z)满足/X*y2+z2=0，则Oxy坐标面上的点P(x,y,0)满足方程f,y0)=0，其中00000 x0=x,y0=Jy2+z2，因此点P0在曲线r上，而点p恰是由X绕x轴旋转而得，于是P(x,y,z)在该旋转面上，所以亍云力0为所求旋转面的方程。Ix2

18、+y2=r2例：球面由|z=0绕x轴旋转而得，所以球面方程为(r-)X2+.；y2+z2=r2nx2+y2+z2=r2Iy=r例圆柱面由直线1x=0绕Z轴旋转而成，所以圆柱面方程为Jy2+x2=rnx2+y2=r2Iy=x2例：K=0分别绕x轴和y轴的旋转面方程分别为x轴：Jy2+z2=x2ny2+z2=x4y轴：y=x2+z2ny=x2+z2空间曲线方程(x,y),=z0,g(x,y),=z0二次曲面的分类二次曲面：二次代数方程ax2+by2+cz2+d=0所代表的曲面。椭球面T+兰+匚=1(abc0)a2b2c2若a=b=c时，是半径为a的球面。平面截割法：用一系列平行于坐标轴的平面去截割方程的图形，得到一些截线，通过研究这些截线去想象空间的图形。x2y2z2.+二+=1c时，平面z=z0不切割椭球面；当lz0l=c时，平面z=z0与椭球面交于一点;当lz0lc时，得截线为椭圆。一般二次型方程的化简三元二次方程的一般形式为ax2+ay2+az2+2axy+2axz+11223312132ayz+bx+by+bz+c=023123令aaa、fbrxiii213iA=aaa，其中a=a,b=b,X=y2i2223ijji2.a3ia32a)33(bJ3y(z丿则有XTAX+bX+c=0因为A是对称矩阵，所以存在正交替换X=PY