第2章消费者最优选择和需求分析课件

1、01 十月 2022第2章消费者最优选择和需求分析24 九月 2022第2章消费者最优选择和需求分析2.1 消费者的最优选择：效用极大化问题效用最大问题与马歇尔需求函数间接效用函数及其性质马歇尔需求函数与间接效用函数的关系：罗伊恒等式 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.1 消费者的最优选择：效用极大化问题效用最大问题与马歇尔2.1.1 效用最大问题与马歇尔需求函数效用最大化问题的基本形式效用最大化问题的均衡解马歇尔需求函数10/1/2022 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.

2、1.1 效用最大问题与马歇尔需求函数效用最大化问题的基本A、效用极大化问题的基本形式 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUA、效用极大化问题的基本形式 All CopyrighB、均衡解与马歇尔需求函数瓦尔拉斯法则：最优解总是把钱化光，即p*x=m 这与x*是最优解矛盾均衡解的充要条件：如果u(x)具有良好性质，即u(x)可导，则根据拉格朗日函数：一个例子（见：例2.1）（马歇尔需求函数） All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUB、均衡解与马歇尔需求函数瓦尔拉斯法则：最优解总是把钱化光，2

3、.1.2 间接效用函数及其性质间接效用函数的定义间接效用函数的性质 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.1.2 间接效用函数及其性质间接效用函数的定义 AlA、间接效用函数的定义效用最大化问题的目标函数 直接表明了效用与消费量之间的关系，因此又被称为直接效用函数，根据直接效用函数和预算约束所得到的最优解 反映了在不同价格和收入水平下消费者对商品的需求，将效用最大化的最优解带入直接效用函数所得到的函数被定义为间接效用函数，记为： ，即： All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUA、间接效用

4、函数的定义效用最大化问题的目标函数 B、间接效用函数的性质如果直接效用函数在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数就一定具有以下几个性质： 性质1： 在 上是连续的1； 性质2： 是关于 的零次齐次函数； 性质3： 是关于m的严格递增函数； 性质4： 是关于p的严格递减函数 性质5： 对价格p是拟凸 性质6： 满足罗伊恒等式（Roys identity） 1 表示预算集的定义域，其中：表示价格的定义域，下标“”是指严格为正，没有一维价格为0，n表示有n维价格； 表示收入的定义域，收入可以为0。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUB、间接效

5、用函数的性质如果直接效用函数在上是连续且严格递增的证明性质1：性质1是说，当收入与价格发生微量的变化时，极大化了的效用也会发生微量的变化。这是很自然的，因为如果u(x)是连续的，那么其极大化了的值也是连续的。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU证明性质1：性质1是说，当收入与价格发生微量的变化时，极大化证明性质2：性2质是说，当价格和收入同比率变动时，效用不会发生变动。为此需要证明对于所有t0，有: 由于: ，它显然等价于： 即： 性质2得证。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU证明

6、性质2：性2质是说，当价格和收入同比率变动时，效用不会发证明性质3：即要证明 。由于, ，这里 中的x是效用极大化时的x，即x=x*(p,m)它是关于参数p和m的函数。按照包络定理 (envelope theorem，详细内容见附录2.1) ，对v=v(p,m)关于m的偏导，只要对 的拉格朗日函数 求关于m的导数即可：由于 （i=1,2,n），又由于 ， ,则必有 ,因此： 即性质3得证。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU证明性质3：即要证明 。由证明性质4：即要证明 。用与证明性质3相同的方法，可得：由于： ， ，因此： 即性质4得证

7、 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU证明性质4：即要证明 。用与证明性质性质5的证明：即要证明，对于所有的a， 是一个凸集假设p1和p2满足 定义预算集： 可以断言： ，若不然，存在某个x： 这意味着： 但： ，这显然不可能 因此： All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU性质5的证明：即要证明，对于所有的a， 2.1.3 罗伊恒等式（Roys identity）罗伊恒等式是说：若间接效用函数v(p,m)已知，且连续可导，则根据其可以直接推导出马歇尔需求函数x(p,m)， 即：上式即为罗伊

8、恒等式，罗伊恒等式刻画了马歇尔需求函数和间接效用函数之间的关系。罗伊恒等式的证明：将等式(2.4)除以等式(2.3)可得证。一个例子：见例题2.2 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.1.3 罗伊恒等式（Roys identity）罗伊恒Roy恒等式的其它证明方法：以上我们利用包络定理证明了Roy恒等式，但还有其它方法可以证明，试按下面的方法证明之：直接从间接效用函数的定义出发，使用效用最大化的一阶条件（FOC） All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNURoy恒等式的其它证明方法：以上我

9、们利用包络定理证明了Roy2.2 消费者最优选择：支出最小化问题 上一节讨论的是消费者在既定的收入约束下如何选择商品，以使自己获得最大的效用。消费者的这种最优选择问题也可以从另一个角度考虑，即为了获得既定的效用水平，消费者如何选择商品，以使自己的支出最小，这就是所谓的支出最小化问题。 支出最小化问题与希克斯需求函数支出函数及其性质希克斯需求函数与支出函数的关系：谢泼德引理 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.2 消费者最优选择：支出最小化问题 上一节讨2.2.1 支出最小化问题与希克斯需求函数支出最小化问题的基本形式支出最小化问题的均衡

10、解希克斯需求函数 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.2.1 支出最小化问题与希克斯需求函数支出最小化问题的基A、支出最小化问题的形式 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUA、支出最小化问题的形式 All Copyrights B、均衡解与希克斯函数构建支出最小化问题的拉格朗日函数根据支出最小化一阶条件：根据（2.8）和（2.9）可得： （希克斯需求函数）希克斯需求函数是一个关于价格和效用水平的函数，它刻画了在既定价格和效用水平下，消费者实现支出最小化时对商品的需求量。 All Co

11、pyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUB、均衡解与希克斯函数构建支出最小化问题的拉格朗日函数 2.2.2 支出函数及其性质支出函数的定义支出函数的性质 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.2.2 支出函数及其性质支出函数的定义 All CoA、支出函数的定义将支出最小化问题的解代如其目标函数而得到的函数即为支出函数，记为e(p,u): All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUA、支出函数的定义将支出最小化问题的解代如其目标函数而得到的B、支出函数的

12、性质 如果直接效用函数u(x)在上是连续且严格递增的，那么支出效用函数e(p,u)就一定具有以下几个性质： 性质1：e(p,u) 在 上连续 ； 性质2：e(p,u) 是关于p的一阶齐次函数； 性质3：e(p,u)是关于p的非递减函数； 性质4：e(p,u)是关于u的严格递增函数性质5： e(p,u)是关于p的凹函数 上述性质的证明方法与间接效用函数性质的证明方法类似，因此这里我们不给出以上性质的的证明过程，留做习题。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUB、支出函数的性质 如果直接效用函数u(x)在上是2.2.2 谢泼德引理 (Sheph

13、ard)谢泼德引理是说：若支出函数e(p,u)已知，且连续可导，则根据支出函数可以直接推导出希克斯需求函数 即：也就是说，给定支出函数，我们只需对其求关于p的导数便可得到消费者的希克斯函数，这一结论就是所谓的谢泼德引理，它刻画了支出函数与希克斯需求函数之间的关系。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.2.2 谢泼德引理 (Shephard)谢泼德引理是说：谢泼德引理的证明由支出函数 可知， 中的x是最优消费束，即 ，而x*又是关于参数p和u的函数。根据包络定理，对e(p,u)求 的导数，只要对支出函数 的拉格朗日函数求关于 的导数即可：

14、一个例子：见例2.3 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU谢泼德引理的证明由支出函数 2.3 对偶原理 消费者的效用极大化问题和支出最小化问题是一对对偶问题，因为两者的行为原则是一致的，只是目标函数和约束条件正好相反。本节我们将给出与这一对偶问题相关的几个重要的恒等式，以便将间接效用函数、支出效用函数、马歇尔需求函数和希克斯需求函数有机地联系起来。几个重要恒等式对偶原理的图示 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.3 对偶原理 消费者的效用极大化问题和支出最小2.3.1 几个重要恒等式

15、 如果效用函数是严格单调和连续的，且消费者效用极大化和支出最小化问题均有解，则我们可以发现下面四个恒等关系式：恒等式1：恒等式2：恒等式3：恒等式4： 马歇尔需求函数与希克斯需求函数的对偶关系间接效用函数与支出函数的对偶关系 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.3.1 几个重要恒等式 如果效用函数是严格单调A、恒等式1：恒等式1说的是，价格为p、收入m为时的马歇尔需求函数恰好等于价格为p、效用水平为v(p,m)（即在价格为p且收入为m情况下所获得的最大效用）时的希克斯需求函数。证明恒等式1：见附录2.2 All Copyrights R

16、eserved by Liu Jianghui, SHNUA、恒等式1：恒等式1说的是，价格为p、收入m为时的马歇尔需B、恒等式2：恒等式2说得是，价格为p、效用水平为u时的希克斯需求函数恰好等于价格为p、收入为e(p,u)（即在价格为p且效用为u情况下的最小支出）时的马歇尔需求函数。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUB、恒等式2：恒等式2说得是，价格为p、效用水平为u时的希克B、恒等式2：恒等式2说得是，价格为p、效用水平为u时的希克斯需求函数恰好等于价格为p、收入为e(p,u)（即在价格为p且效用为u情况下的最小支出）时的马歇尔需求

17、函数。恒等式2的证明： 设 是最小支出问题 的解，即 将这样定义的支出水平置换到最大效用问题的约束条件中，只需证明 仍然是最大效用问题 的解即可。假定上述效用最大化的解为 且，因此 ,由于u是连续严格递增函数，因此必然有一个x满足 ，因此有： （1）意味着消费束x 属于支出最小化问题的可行集；（2）意味着购买x的支出要小于购买x的支出，这意味着 不是支出最小化问题的解的结论，这与假设矛盾，因此恒等式2得证。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUB、恒等式2：恒等式2说得是，价格为p、效用水平为u时的希克C、恒等式3 ：恒等式3说的是，价格为

18、p、效用水平为v(p,m)（即在价格为p且收入为m情况下所获得的最大效用）时的最小支出恰好等于m；证明：根据恒等式1： ，这说明 和 属于同一个消费束，因此它们对应的收入（支出）水平是相同的。 对应的收入水平是m，而 所 对应的收入水平就是 。所以一定有： All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUC、恒等式3 ：恒等式3说的是，价格D、恒等式4 ：恒等式4说的是，价格为p、收入为e(p,u)（即在价格为p且效用为u情况下所支付的最小支出）时的最大效用恰好等于u。证明：根据恒等式2： ，这说明 和 属于同一个消费束，因此它们对应的效用水平是相同的

19、。 对应的效用水平是u，而 所对应的效用水平就是 。所以一定有： 一个例题：见例2.4 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUD、恒等式4 ：恒等式4说的是，价格为图2-1：几个恒等式的说明 x1p1x1(p,m)=x1h p,v(p,m)：恒等式1x1h(p,u)=x1p,e(p,u)：恒等式2x1*=x1h(p,u)= x1hp,v(p,m)=x1(p,m) p1*u=v(p,m)=vp,e(p,u)：恒等式4m/p2x2x1x2*Ex1*=x1(p,m) = x1hp,v(p,m) All Copyrights Reserved by

20、Liu Jianghui, SHNU图2-1：几个恒等式的说明 x1p1x1(p,m)=x1h 2.3.2 对偶原理的图示图23 对偶原理的流程图 解出反函数u马歇尔需求函数x(p,m)希克斯需求函数代入目标函数罗伊恒等式代入目标函数谢泼德引理支出函数e(p,u)解出反函数m间接效用函数v(p,m)代入m=e(p,u)代入u=v(p,m) All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.3.2 对偶原理的图示图23 对偶原理的流程图 解出反2.4 消费者行为的比较静态分析 以上我们分析消费者的最优选择行为时，一直都假设价格和收入都是不变的，即把和作

21、为参数处理，本节我们将取消这一假设，考察当p和m发生变化时，消费者的最优消费束会发生什么变化。对这一问题的分析即为消费者行为的比较静态分析，它刻画了消费者的最优消费束随着价格和收入变动而变动的轨迹。价格消费曲线、需求曲线；收入消费曲线、恩格尔曲线价格变动的替代效应和收入效应斯卢茨基方程 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.4 消费者行为的比较静态分析 以上我们分析2.4.1 价格消费曲线(PCC)和需求曲线(DC) 收入消费曲线(ICC)和恩格尔曲线(EC)x2x1DCx1P图2-3 一般品的PCC和DCPCCx2x1ECx1m图2-3

22、 正常品的ICC和ECICC All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.4.1 价格消费曲线(PCC)和需求曲线(DC) 几个特殊偏好的PCC、DC、ICC和EC完全替代偏好（ ）的PCC、DC和ICC、EC完全互补偏好（ ）的PCC、DC和和ICC、ECC-D偏好（ ）的PCC、DC和ICC、EC位似偏好的PCC、DC和ICC、EC拟线性偏好（ ） 的PCC、DC和ICC、EC All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU几个特殊偏好的PCC、DC、ICC和EC完全替代偏好（ （1）完全替代偏好

23、的PCC、DC、ICC和EC All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU（1）完全替代偏好的PCC、DC、ICC和EC All （2）完全互补偏好的PCC、DC、ICC和EC All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU（2）完全互补偏好的PCC、DC、ICC和EC All （3）C-D偏好的PCC、DC、ICC和EC All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU（3）C-D偏好的PCC、DC、ICC和EC All C（4）位似偏好的PCC、DC、ICC和

24、EC位似偏好：完全替代、完全互补和C-D偏好都是位似偏好齐次效用函数的边际技术替代率只与各投入要素的投入比例有关，而与投入规模t无关。将一次齐次效用函数做一个正的单调变换所得到的效用函数就是位似效用函数。即：如果f(x)=Fg(x)，且F()0， g(x)是一次齐次生产函数，则f(x)即为位似函数。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU（4）位似偏好的PCC、DC、ICC和EC位似偏好：齐次效用（5）拟线性偏好的PCC、DC、ICC和EC All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU（5）拟线性

25、偏好的PCC、DC、ICC和EC All C2.4.2 价格变动的替代效应与收入效应 商品价格的变动会导致消费者对商品需求量的变动(这是价格变动的总效应，total effect)，在这种变动中一部分是由价格变动的替代效应（substitution effect）引起的（即：某商品价格变动后，使得该商品相对于其替代品而言变得更贵或更便宜，由此所导致的消费者对该商品需求量的变动），一部分是由价格变动的收入效用（income effect）所引起的（即：某商品价格变动后，使得消费者实际收入或实际购买力发生变动，由此而导致的消费者对该商品需求量的变动）。那么在价格变动所导致的需求量总变动中，有多少是

26、由替代效用所导致的，又有多少是由收入效应所导致的呢？这便是本节所要解决的问题。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.4.2 价格变动的替代效应与收入效应 图2.4：（a）替代效应与收入效应 （b）马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线 AM(a)(b)TEx2E0E0p1x1x1SEIEu0u1BBNE1马歇尔需求 既包括了替代效应又包含了收入效应，希克斯需求 只包含替代效应，所以马歇尔需求曲线会比希克斯需求曲线更平坦一些，见图2.4（b）。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU图2.4：（

27、a）替代效应与收入效应 （b）马歇尔需求曲线与2.4.3 斯卢茨基方程（Slutsky Equation） 价格变化的总效应表现为马歇尔需求曲线上的需求量变化，而价格变动的替代效应表现为希克斯需求曲线上的需求量变化，因此我们可以利用马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线的这一关系来分解价格变化的替代效应和收入效应，斯卢茨基方程（Slutsky Equation）正是反映这一分解方法的数学工具。斯卢茨基方程及其证明关于斯卢茨基方程的几点说明 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU2.4.3 斯卢茨基方程（Slutsky Equation）A、斯卢茨基方

28、程及其证明令x(p,m)为消费者的马歇尔需求，u*为消费者在价格为p和收入m为时所达到的最大效用水平（即u*=v(p,m)），则斯卢茨基方程为：斯卢茨基方程右边的第一项是价格变动对商品需求量所产生替代效应，第二项则是价格变动对商品需求量所产生的收入效应。因此，斯卢茨基方程为替代效应和收入效应提供了一个简洁的分析表达式，并且揭示了可观察的马歇尔需求函数和不可观察的希克斯需求函数在面临价格变动时的相互关系。 斯卢茨基方程的证明：见附录2.3 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUA、斯卢茨基方程及其证明令x(p,m)为消费者的马歇尔需求，B、关于

29、斯卢茨基方程的几点说明自价格效应斯卢茨基方程对需求法则的修正 交叉价格效应及其对称性 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNUB、关于斯卢茨基方程的几点说明自价格效应 All Cop 自价格效应当ij，则等式（2.12）就变成： 上式便是商品关于自身价格变动的斯卢茨基方程，它反映了商品自身价格变化的替代效应和收入效应。商品自身价格变化的替代效应总是小于0的，即： 根据谢泼德引理有： ，并且对其再次求关于的微分，可得：因此要证明 ，只要证明 即可，而由于支出函数是关于价格的凹函数(祥见附录2.4) ，因此必有 All Copyrights Res

30、erved by Liu Jianghui, SHNU 自价格效应当ij，则等式（2.12）就变成： Al 斯卢茨基方程对需求法则的修正需求法则的古典命题（斯卢茨基方程的表述）：但是上式并不总是成立，这意味着需求法则并不是对所有的商品都成立。根据不等式（2.15）有： ，因此不等式（2.15）也即需求法则是否成立就与 的符号相关。如果i是正常商品, 则 ，（2.15）必然成立，也即需求法则成立。如果i是劣等商品，则 ，（2.15）是否成立取决于： 和 的大小。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 斯卢茨基方程对需求法则的修正需求法则的古典命题（斯卢茨基方 交叉价格效应及其对称性交叉价格效应：交叉价格替代效应的对称性等式（2.17）的证明：见附录2.5 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 交叉价格效应及其对称性交叉价格效应： All Copy2.5 需求弹性弹性（）是刻画因变量（Y）变化对自变量（X）变化反应程度的一种度量指标。一般有：若自变