课标版高考文科数学总复习专题2.1 函数的概念及表示（讲解练）教学讲练

1、专题二函数2.1函数的概念及表示高考文数考点一函数的概念及表示方法考点清单考向基础1.函数与映射概念的比较 函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f:AB如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),xA对应f:AB由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A

2、、B必须是非空数集.2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.3.函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.4.求函数值域常用的方法(1)分离常数法形如y=(a0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解.(2)配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,求形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c(a0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解中要注意f(x)整体的取值范围.(3)换元法代数换元.形如y=ax+b(a,b,c,d为常数,ac0)的函数,可设=t(t0),

3、转化为二次函数求值域.若有单调性,则用单调性更简捷,如y=x+.三角换元.如y=x+,可令x=cos ,0,则y=cos +sin =sin,0,.用换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响.(4)判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,即判别式0,求得原函数的值域,形如y=(a1,a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解. 用判别式法求值域的注意事项:函数的定义域为R;分子、分母没有公因式.(5)有界性法形如sin =f(y),x2=g(y),ax=h(y)等的函数,由|sin |1,x20,ax0可解出y的范围,从而求出其值域.(6)数形结合法若函数解析

4、式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合的方法求解值域.(7)基本不等式法利用基本不等式:a+b2(a0,b0)求函数的值域.用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”,如:利用a+b2求某些函数的值域时,应满足三个条件:a0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号的条件是a=b.三个条件缺一不可.(8)单调性法若y=f(x)在a,b上单调递增,则ymin=f(a),ymax=f(b);若y=f(x)在a,b上单调递减,则ymin=f(b),ymax=f(a).5.相等函数若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.6.函数的表示方法表示函数的常用方法

5、:解析式法、图象法、列表法.考向求函数定义域考向突破例1函数y=+log2(tan x-1)的定义域为.解析要使函数y=+log2(tan x-1)有意义,需1-x20,tan x-10,且xk+(kZ),-1x1且+kxk+,kZ,1的x的取值范围是.解析当x0时,x-1-1,f(x)+f(x-1)=x+1+(x-1)+1=2x+11,即x0,此时无解.当020=1,此时f(x)+f(x-1)1恒成立.当x1时,x-10,f(x)+f(x-1)=2x+2x-1=32x-1,2x-120=1,此时f(x)+f(x-1)1恒成立.综上所述,满足f(x)+f(x-1)1的x的取值范围是(0,+).

6、答案(0,+)方法1函数定义域的求法1.求具体函数y=f(x)的定义域方法技巧2.求抽象函数的定义域(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数f(g(x)的定义域由ag(x)b求出.(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.例1(1)(2019山东安丘质量检测,3)已知函数f(x)的定义域为0,2,则函数g(x)=f+的定义域为()A.0,3B.0,2 C.1,2D.1,3(2)(2019湖北黄冈元月调研,2)已知函数f(x+1)的定义域为(-2,0),则f(2x-1)的定义域为()A.(-1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D. 解

7、析(1)由题意可知x满足解得0 x3,故函数g(x)的定义域为0,3,故选A.(2)函数f(x+1)的定义域为(-2,0),即-2x0,-1x+11,则f(x)的定义域为(-1,1),由-12x-11,得0 x1,f(2x-1)的定义域为(0,1).故选C.答案(1)A(2)C方法2求函数解析式的常用方法1.配凑法.已知f(h(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.2.待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列出方程组

8、,解出待定系数即可.3.换元法.已知f(h(x)=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,便可求解.4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).5.赋值法. f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).例2(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=4x+3,则f(x)的解析式为;(2)已知f(+1)=x+2,则f(x)的解析式为;(3)已知函数f(x)满足f(x)=2f+x,则f(x)的解析式为;(4)已知f(0

9、)=1,对任意的实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的解析式为.(1)已知函数类型,用待定系数法求解.(2)用换元法求解,注意新元的范围或用配凑法求解.(3)联立方程可解.(4)用赋值法可解.解题导引解析(1)由题意可设f(x)=ax+b(a0),则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,解得或故所求解析式为f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1.(2)解法一:设t=+1(t1),则x=(t-1)2,f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,f(x)=x2-1(x1).解法二:x+2=()

10、2+2+1-1=(+1)2-1,f(+1)=(+1)2-1,f(x)=x2-1(x1).(3)由f(x)=2f+x,得f=2f(x)+,联立得+2得f(x)=x+4f(x)+,则f(x)=-x.(4)令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y2-y,f(y)=y2+y+1,f(x)=x2+x+1.答案(1)f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1(2)f(x)=x2-1(x1)(3)f(x)=-x(4)f(x)=x2+x+1方法3分段函数问题的解题策略1.求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层向外计算.2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小得到最值.3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解.4.求参数.“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程.例3(2019皖南八校第三次联考,11)已知函数f(x)=则满足f(2x+1)f(3x-2)的实数x的取值范围是()A.(-,0B.(3,+)C.1,3)