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1、关于二次型化为标准型1第1页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 2一、正交变换化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形说明第2页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 3第3页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 4用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第4页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 5解1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例1第5页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 6从而得特征值2求特征向量3将特征向量

2、正交化得正交向量组第6页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 74将正交向量组单位化，得正交矩阵第7页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 8于是所求正交变换为第8页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 9二、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法第9页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 101.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然

3、后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.第10页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 11解例2含有平方项去掉配方后多出来的项第11页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 12第12页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 13所用变换矩阵为第13页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 14解例3由于所给二次型中无平方项，所以第14页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 15再配方，得第15页，共17页，2022年，5月20日，18点2分，星期四Page 16所用变换矩阵为第16页，共17页，2022年，

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