微积分第2版-朱文莉第10章 微分方程与差分方程习题详解(1-3节)

1、 PAGE PAGE 24习题 10.1(A)指出下列微分方程的阶数.(1) x(y)2 2yy x 0；(2) y(4) y5y sin2x；d2SdS(3) (7x6y)dx(x y)dy 0；dt S 0.dt解(1)1；(2)4；(3)1；(4)2阶.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？xdy 2y ，y Cx2 （C；dx(2) 2 y y 0 ， y x 2 e x ；(3) y 2 y 2y 0，y C xC x2 （C ，；xx1212(4) xdx ydy 0，x2 y2 R2 （R为任意常数）. 解(1) 通解；(2)；(3) 通解；(4)

2、 解.121y (C C x)ex （C C121y 2 y y 0的通解，并求满足初始条件yx04，yx02的特.解由已知得y Cex C xex ，yC ex Cex C xex .12212由yx0 4 ，yx02得 2 ，所以特解为 y (4 2x)e x .已知曲线上任一点(xy所满足的微分方程.解曲线所满足的微分方程是dy xy dx习题 10.1(B)写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程.曲线上点(xy处的切线斜率等于该点横坐标的平方；P(xyx轴的交点为QPQy轴平分.解(1) 根据题意，曲线y y(x)所满足的微分方程是dy x2 .dx(2) 设曲线 y y(x) ，它在

3、点 P(x, y) 处的切线斜率为 y ，故该点的法线斜率为 1 ，y依题意，线段 PQ 被 y 轴平分，故Q 点的坐标为(x,0) ，于是有即微分方程为 xy2x0.y01，x(x)y若已知QCekt满足微分方程那么C 和 K 取值情况如何？dQ 0.003Q dtdQ CKe KtktktdQ 0.003Q解因为QCe ，所以dt，有因为dt，得到：CKe Kt 0.003Ce Kt . 故C 为任意非零常数， K 0.003 .xP的函数，如果要使该商品在价格变化的情况下保持销售收入不变，则销售量x P的函数关系满足什么样的微分方程？在这种情况下，该商P的弹性是多少？解依题意，要使该商品

4、在价格变化的情况下保持销售收入不变，设销售收入为常数C ，有px C .即 x dx 0 ，为所求微分方程.根据需求价格弹性定义dpdx pEp =1.dp x习题 10.2(A)求下列微分方程的通解.ytanx y；(2) xy y y 0 ；(3)x 1 y2dx y 1x2dy 0；(4) tanxsin2 ydxcos2 xcotydy 0；(5) xdy dx ey dx；(6) y 1ey23x 0.y解（1）分离变量得dy cos x dx ，ysinx两端积分得ln | y | ln | sin x | C1 .故原方程的通解为y Csinx.分离变量得dy dx ，yln y

5、x两端积分得ln | ln y | ln | x | C1 .故原方程通解为 y eCx .分离变量得xdx1 x21 1 x21 y2d(1 x2 )2 12 1 x2d (1 y2 )2 1 y2 1 y2两端积分得1 x21 y21 x21 y2 C.1 y21 x2tan 1 y21 x2cos2 xsin2 ydcosxd siny即有 cos3 x sin3 y ，两端积分得2121 C .cos2 xsin2 y1故原方程的通解为 csc2 x sec2 y C .分离变量得dyeydyd(1ey)dx两端积分得ey 1 x ，1 e y x ，1ey x ，ln(1 e y )

6、 ln x C .故原方程通解为分离变量得1ey Cx.ydye3xdx，e y2两端积分得 1 e y2 1 e3x C .231故原方程通解为 2e3 x 3e y2 C .求下列微分方程满足所给初始条件的特解.y e2xy ，yx00；(2) ysin x y y ，yx2 e ；(3) ex )yyex ，y 1. （1e y dy e2 x dx ，两端积分得由初始条件 yx0ey 1e2x C.20得C 1，故原方程特解为2y ln 1 (e2 x 1) .分离变量得2dy dx ，y ln ysin x两端积分得ln ln y ln tan x C .2由初始条件 yx2 e ，

7、得C 0 .故原方程特解为ytan x，即 y 2分离变量得tan x2 .ex两端积分得ydy 1 ex dx，y2 2ln(1 ex ) 2C .由初始条件yx1 1，得2C 1e)，故原方程特解为 e ex 1 2 lne e1 求解下列微分方程.yy(1) (x y)ydxx2dy 0；(2) y e xx ， y 0 ；) xdy y 2 y（x 0；) ydxy x ，yyx1 2 ；(5) 2x tan y y dx xdy；(6) (y2 3x2)dy3xydx 0，y 1.xxy y 2x0解(1) 原方程化dx x x 令u y 代入原方程化简，x分离变量得u2 du dx

8、 1 x C y ln x C .u2x原方程通解为令u y 代入原方程化简得xyex Cx1x1du xueu udu x eu .分离变量得dxdx1y1eu du，eu lnC，e x ln C.xxx由yx1 0得，C 1，原方程通解为y1e原方程化为edyyx ln1ln.xxyx2yxdxx令u y ，代入原方程化简得xdudx2( u 2( u u)x即 u ) x C 11x C x，C 1xyx 1yx1原方程通解为y 1(C x)2 .x令u y ，代入原方程化简得x22 udu dx ，1 u2 x C .x2由yx1 2，得C 2，原方程通解为4 x4 x2x 2lnx

9、4，即y x.x2ydy，xxdx令u y ，代入原方程化简得x2 dx du，2ln x ln sin u C ，x2 sin u .xtanu12原方程通解为sin y Cx2.xy 3 x 3 dx ，xydy令u x 代入原方程化简得ydy 3udu .y2即 y3 x22yC.由yx0 1，得 C 0，原方程通解为3 x 22 y .y .dy y ex ；(2) y ytanxcosx；dx(3) (xyny ex (xn1；(4) (x2 y2xy 4x2；(5) y 2xy xex2 ；(6) xy x x y.解(1) y e1dx(Cexe1dxdx) e x (C e x

10、ex dx) e x (C x).y etanxdx(Ccosxetanxdxdx)1(C cos2 cosx1(Cx1sin2x)x24 C sec x x sec x 1 sin x .22原方程化为 yny ex (x1)n(x 1)y n dx( x1) (C ex (x 1)n n(dxdx) (1 x)n (C ex dx) (1 x)n (C ex ) .2x4x2原方程化为 y2y 2(x 1)(x 2 x x2 x dx4 242ye (x2(C (x2 e(x2dx)1x2 11(C 4x2 (C 4 x3 ) .x2 13y e2xdx(Cxex2e2xdxdx)ex2

11、Cex2ex2 x) e x2 (C 1 x2 ) .2y 1 ysinx，xy 1x(Csin1xdx) 1 (C sin x xdx)x 1 (C sin x x cos x) .x习题 10.2(B)求下列微分方程的通解.1y21x2(1) ydx (x 2 4x)dy 1y21x2(3) (xa)y3y (xa)5 ；(4) (xcosx)y y(xxcosx)1.解 (1)分离变量得1 1 dx 4dy ， x4 xy两端积分得故原方程通解为ln | x | ln | 4 x | 4ln y C1 .x4 xx4 x1 x2 0(2) 当1y的时候，分离变量得 01 y211 y21

12、 x2两端积分得arcsin y arcsin x C .1 x2 0当1y的时候，分离变量得 0y2 y2 1x2 1.两端积分得1|yy2 1|xx2 1 | C，1即yy2 1 C(xx2 1).原方程化为y3y (x a)4x a 3 3 y e xa(C(xa)4e xadx) (x a)3 (C (x a)dx) (x a)3 (C 1 (x a)2 ) C(x a)3 1 (x a)5 .22原方程化为 y y(sinx 1)1cosxxxcos xy (sinx1)dx cos x x(C1(sinx1cos x xdx) x(C 1xdx)xcosxxxx x cos x (

13、C sin x ) C cos x sin x .xcosxxxxxyytanxsecx，ydy23x2x00；(2) y y sin x ，yxx 1；(3)dxx3y 1，y 0；(4) x2)y xy 1，y x0 1；解 (1) y e tan xdx (C sec xe tan xdx dx)111(Csecxxdx)(C x).xx由yx0 0得，C 0，所以特解为 1 dxxxy sin x 1 dxxxx x secxcos xy (Cxedx) 1 (C sin x xdx) 1 (C sin xxx 1 (C cos x) .x由yx 1，得C 1，所以特解为y 1 ( 1

14、 cos x) .x(3) y e23x2dxx3(Cdx23x2x3 dx dx) x3ex2 C1ex2 ).2由y0，得C 1e1，所以特解为x1211x2 2y x3 1 e x2 .2原方程可化为yxy 1(1x2)(1x2)x dxx dx1ye x211(C (1x21e (1 x2 ) 1dx)x2)2 (Cx2(1 x2 ) 2 dx)11 x2(1x2)21 x2x) x.1 x2由yx0 1，得C 1 x21 x2y 1 x2求一曲线方程，该曲线通过原点并且它在点(xy处的切线的斜率等于2x y.解由于曲线通过原点，所以当x0时，y 0.由在点(x,y)处的切线的斜率等于

15、2x y ，可导出方程：利用通解公式有dy 2x y dxy e1dx (C 2xe1dx dx) ex (C 2xe x dx) ex C 2(xe x e x ) Cex 2(x 1) .由x 0 y 0 ，得C 2 y 2(ex x 1) .4 * . 求解下列微分方程.dy(1)1；dyy xy 2 ；dxx sinydxx(3) dy (x y)2 ；(4) dy tan x y a；dxdx(5) y 3xy xy 2 0 ，y x04；(6) x 2 dy y xy ，y2dxx2 1.解(1)原方程可写为dx xsiny，利用通解公式有dyx e1dy (C sin ye1dy

16、 dy) ey (C sin ye y dy) ey C 1 e y ( sin y cos y)2 Ce y 1 (sin y cos y) .2令z 1dz 1z x，利用通解公式有ydxxz e1x1 dx(C xe x dx) x(C dx所以y 1.x(C x)令z x ydz 1 z2，利用分离变量法有dxdz dx，1 z2即x y) xC，y tan( x C) x .dy1原方程可写为ay ，利用通解公式有dxtanxtanxy e 1 tan x(Caetan x1 dxtan xdx)sinx(Ca ) C sin x a .sin x令z 1dz 3xz x，ydx利用

17、通解公式有z e3 xdx (C xe3 xdx dx) 3 x23 x2 3 x21 3 x2 e 2 (C xe2 dx) e 2(Ce2 ).313x21 3 x2即 e 2 (Ce2 ).y3由yx0 4 得C 7 12173x21e 2.y123利用分离变量法有dy (1 x)dx ，yx2ln y 1 ln x C ，x1 1xy Ce x .由yx2 1得C e2，所以特解为2121y e x .2xf(x)满足条件f(x) 3x ft dt e2xf(x). 0 3 解令u t ，则f(x)3x f e2x ，再关于x求导得30f (x) 3 f (x) 2e2 x .利用通解

18、公式得f (x) Ce3 x 2e2 x .当x 0 时， f (0) 1 ，所以1 Ce30 2e20 ，即C 3.所以f (x) 3e3 x 2e2 x .设某产品的需求量QPP31200（即当P0时，Q1200，求需求量QP解 设所求函数关系为Q Q(P) ，由题意知，它应满足关系式P dQ P 3，Q dP分离变量，得dQ ln 3dP ，Q两边同时积分，得ln Q P ln 3 ln C ，即QC3P .由初始条件 P 0 ， Q 1200 ，得 C 1200 .故需求量Q 对价格 P 的函数关系为Q 1200 3 P .cosxy2习题 10.3(A) sin 2 y 0 .解 直

19、接代入验证即可.方程通解为y C1 cos x C2 sin x .求下列微分方程的通解.(1) 7y12y 0；(2) 12y36y 0；(3) y y 0；(4) 0（为实数）.解（1）特征方程为r2 7r120.特征根为3， 4.故所求通解y C e3 x C e4 x .12（2）特征方程为r2 12r0.特征根为 6.故原方程通解为y (C1C x)e6 x .2（3）特征方程为r 2 r 1 0 .213i13i,r13 i.1 2 故原方程通解为2y 2 2 1x2 (C1 cos233x C2 sinx).3322（4）特征方程为r2 0，即 r2 .当 0时，特征根为i, i

20、，此时原方程通解为y xC2 x.当 0 时，特征根为r1 r2 0 ，此时原方程通解为当 0 时，特征根为v1 y C2 x , , . 此时原方程通解为y C e x C e x .12求下列微分方程满足所给初始条件的特解.(1) y 4 y 3y 0 ， y(0) 6 ， y(0) 10 ；(2) 4 4 y y 0 ， y(0) 2 ， y(0) 0 ；(3) 25 y 0 ， y(0) 2 ， y(0) 5 ；(4) 2y10y 0，yx6 0, yx6 e 6 .11解（1）特征方程为r2 4r30.特征根为 111， 3.故原方程的通解为y(06y(010 y C e x C e

21、3 x .C1 C2 6 ，C1 3C2 .解得 4 ，C2 2 .故所求特解为y 4ex 2e3 x.特征方程为4r2 4r10.特征根为1,1.故原方程的通解为y (C1 C2 x)e12221x2 .将 y(0) 2, y(0) 0 代入得，求得 2 ，C2 1 .故所求特解为y (2 x)e1x2 .1特征方程为r2 250，特征根为15i, 5i .故原方程的通解为y C1 cos 5x C2 sin 5x .将 y(0) 2, y(0) 5代入得，求得C1 2 ，C2 1.故所求特解为y 2 cos5x sin 5x .1特征方程为 r2 2r100.特征根为11 1 3i .故原

22、方程的通解为1y e x (C cos 3x C sin 3x) 1将y() 0,y( ) e6 代入得66解之得C11,3C2 e 6 0，e 6 (C2 ) e 6 .2 0.y 1 ex cos3x.3yC ex C e2x 1 e5x （C ，C是任意常数） 3 y 2 y e5 x 的通解.121212yC cos3xC sin3x 1 (4xcosxsinx)（C ，C是任意常数）是方程123212y 9 y x cos x 的通解.解(1)y C ex e2 x 5 e5 x ，12y C ex e2 x 25e5 x ，12代入方程成立.由二阶常系数非齐次方程解的结构知是通解.

23、(2) y 3C sin 3x 3C cos3x 1 cos x 1 x( sin x) 1 cos x1288y 9C cos3x 9C sin 3x 1 sin x 1 sin x x cos x 1 sin x12888代入方程成立.由二阶常系数非齐次方程解的结构知是通解.求下列微分方程的通解.) 2y y y 2ex ；)ya2 y ex （a；(3) 9 y x2 4；(4) 5y6y xe2x .解(1) 特征方程为2r2 r10，特征根为r 1, r 1 .122x对应齐次方程通解为Y C e 2 C e x .120设特解为y b ex，0代入题方程解得1.x故原方程的通解为y

24、 C e 2 C e x ex .11特征方程为r2 a2 0，特征根为r12 ai, ai .对应齐次方程通解为 Y c1 cos ax c2 sin ax .0设特解为y b ex，0代入题方程解得1 1 a2 .ex故原方程的通解为y cosaxC2 sinax1a2 .1特征方程为r2 9r 0，特征根为r1 -9 .对应齐次方程通解为Y c e9 x .2设特解为y* (b x2 b x b )x，2012代入题设方程并比较两端同类项的系数，得方程组 27b0 1,6b18b 0,01b 1 1 ，326. 2b1 9b2 4,02781729x2x3261故原方程的通解为y 1 C

25、 e9x .27817291(4) 特征方程为r2 5r60， 特征根为 r1 2, 3 .对应齐次方程通解为Y c e2 x c e3 x.12设特解为 y*(b xb)xe2x ，代入题设方程解得b 1b 1.01021故通解为yCe2x C e3x x(1x1)e2x.122求下列微分方程满足已给初始条件的特解. (1) 3y2y 5y(01, y(02；(2) y 2x 0 ，y() 1, y( ) 1；(3) y 4xe x ， y(0) 0 , y(0) 1.1解（1）特征方程为r2 3r20，特征根为r1 2 .设特解为y b ，代入题设方程得b 5.002方程的通解为yCex

26、C e2x 5.122将初始条件 y(0) 1, y(0) 2 代入上式，解得 C17 C2 2.则所求特解为y5ex 7e2x 5.221特征方程为r2 101 i, i .故设特解为y Acos2xBsin2x.代入 y y sin 2x 0 ，得 A 0 , B 1 .3则题设方程的通解为ysinx1sin2x.3y(y(1代入上式，解得 1.3则所求特解为y cosx 1 sin x 1 sin 2x .331特征方程为 r2 10，特征根为r1 1 .故设特解为y* x(b x b )ex，10代入题设方程，得b1 1, b0 1 .则题设方程的通解为y C ex C e x x(x

27、 1)ex .12y(0 0 y(0 1代入上式，解得 1 C2 1 .则所求特解为求下列微分方程的通解.y ex e x x(x 1)ex .(1) x sinx；(2) xex ；(3) 1 (y)2 ；(4) y x；(5) y 0；(6) y31 0.解（1）y 1x2 xC ，则y1x3 sinxCxC .216121特征方程为r2 0，特征根为1 0 .设特解为y* (bxb )ex ，代入题设方程得：b b 2 .1010则所求通解为y x (x 2)ex .y p(xp(x1 p2 ，这个方程的通解为p tan( x C1 ) .再将 y p(x) 代入，得 y tan( x

28、C1 ) .故这个方程的通解为y ln | cos( x C1 ) | C2 .1特征方程为 r2 r 0，特征根为1 1 .y x(bxb ，代入题设方程得 1, 1.10则所求通解为12012y C ex C12y p(x，代入原来的方程得 1 x2 x .2p ，也就是x分离变量并积分得dpdx.pxdy C1 .dxxy C1 ln x C2 .p y dp p，代入原来的方程，得dypdp dy，则有p2 1 C，y3y21C y211即dyC y211dx1d(C y2 1 Cdx，C y2 1 C x C .2C y22C y211故原方程的通解为11C y2 1 (C x 11

29、)2 .习题 10.3(B)求下列微分方程的通解.(1) 6y9y 5(x1)e3x ；(2) 2y5y ex sin2x；(3) 4y xcosx；(4) y e x cos x.1解(1)特征方程为 r2 6r90，特征根为r1 3 .为Y c x)e3 x .2设特解为 y* (b x b )x2e3 x ，代入题设方程解得201b 5 , b 5.0612为y C C x 5 x2 5 x3 ) .12261特征方程为r2 2r50，特征根r112i, 1 2i .为Y cos2xsin 2x).设特解为 y* xe x ( A sin 2x B cos 2x) ，代入原来方程解得A

30、0, B 1 ,4为y 2xsin 2x) 1 xex cos 2x .41特征方程为r2 40，特征根1 2i, 2i .对应齐次方程通解为Y cos2xc2 sin2x.设特解为 y* ( Ax B)cos x (Cx D)sin x ，代入原来方程得故原方程的通解为A 1 , B 0 ，C 0 ，D 2 .39y2xsin 2x 1 x cos x 2 sin x .391特征方程为r2 10，根1 i, i .对应齐次方程通解为Y cos x C2 sin x. y ex 的特解.y*bex ，代入解得b 1.002 yx.y * AcosxBsinxA0 1.故原方程的通解为2yx2

31、sinx1ex 1xsinx.22求下列微分方程满足已给初始条件的特解.(1) a( y) 2 0 ，y(0) 0 ， y(0) 1；(2) e2 y ， y(0) 0 ， y(0) 0 ；(3) x 2 xy 1， 0 ， 1.解 (1) 令 y p(x) ，则 y p代入原方程得易得其通解为 1 ax C dp adx .p2p1y(0 1，得1.故 1 ax 1.p即 dy 1dx.积分得y1ln(ax1)C .由y(0)0，得C 0 .ax1a22故所求特解为(2) y py dp dyy 1 ln(ax 1) .a代入原方程得pdpe2ydy，1易得其通解为p2 e2 y C.1y(0 0 y(0 0 得 1 .e2 y 1即dy e2 y 1p e2 y 1 .