三角(4)两角和与差二倍角公式(二)

1、三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值” ：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（ 2）“给值求值” ：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解（ 3）“给值求角” ：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。（ 4）“给式求值” ：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的

2、变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】例 1、计算 sin 400 (tan10 03) 的值。【分析】将切函数化成弦函数，3 转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。解：原式 = sin 40 0 ( sin10 0sin 600 ) = sin 400sin 500cos100cos600cos10 0 cos60 0sin 8001=2cos10 0 cos600点评 “给角求值”观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系注意特殊值象1、3 等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。练习 :（全国高考）t

3、an20 +4sin20 解： tan20+4sin20 = sin 2002sin 40 0=2sin 300 cos100sin 400= sin 800sin 400cos20 0cos 20 0cos 20 02 sin 600 cos200=3cos20 0例 2、 (上海高考 )已知 tan(45+ )=3, 求 sin2 -2cos 2 的值解：法一：由已知 1tan3,tan11tan2sin2 -2cos2= sin2- 2cos2= 2 tan24sin 2cos21tan 25法二： sin2 -2cos 2 =sin2 -cos2 -1=-cos(2 )-sin(2 )

4、-1221tan2 ()2 tan()4=441tan2 (tan2 (51)14)4点评 “给值求值”法一 ,由 tan 的值，利用齐次式求值。法二，由角度之间关系求解练习 :已知 tan1,求 sin()226解：（利用万能公式）43310例 3、已知 sin(x)=5， 0 x，求cos2x的值。4134cos(x)4【解法 1】 (x)(4x)， cos(4+x)=sin(-x)424又 cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x)2444cos2x=2 cos(-x)=2(12)24cos(4x)13134【解法 2】 cos2xcos2xsin 2

5、x(cosxsin )(cossinx)xx2 sin( x) cos( x)44cos2x2 sin(x) cos(x4cos(x)cos(x)44下同解法 1。点评 ：分析 :角之间的关系： (x) (44便可求之。)4= 2sin(x)4x)及2x2(x)，利用余角间的三角函数的关系224练习：设 cos()=1， sin(2)=2, 且，求 cos( + )2932,02解： cos(2)=cos()-(2) =75227 cos( + )=2 cos21=239对角的范围要讨论2729例 4、（书上一题在假期作业中有）若 ,(0, ) ， cos7, tan1，求 +2 。503解：

6、 ,( 0, )， cos750 tan1(3 ,0), tan1(3 ,0),7333 ,( 5 , ) ， +2 ( 5 ,3 ) ,62又 tan2 =2 tan3 , tan(2)tantan 21,1tan 241 tantan 2 +2 =114点评 “给值求角” ：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。练习 :已知 ， 为锐角， tan =1/7sin =10 , 求 2 + 的值10解：由已知 02 + 3, 求得 cos( 2 + )=222或 tan( 2

7、+ )=1. 得 2 + =4例 5、已知 sin()1 , sin()1，求 tan :tan 的值。23解：由已知，sin cos +cos sin =1/2 (1),sin cos -cos sin =1/3 (2)12 得 tan :tan =5:112点评 “给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。练习 : 已知 sin +sin = m 已知 cos +cos = n(mn 0).求 cos( - ); sin( + ); tan( + )解：两式平方相加得：2+2(cos cos +sin sin )=m2+n2cos()m2n221 .sinsin2sin2cos2

8、tanmcos.cos2 coscos2n22m22m n由万能公式： sin(+ )=n1m2n2m 2nm22mn tan( + )=nm2n2m21n【课堂小结】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值” ：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（ 2）“给值求值” ：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解（ 3）“给值求角” ：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。（ 4）“给式求值” ：给