2011年全国高中数学联赛试题及答案

1、学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社一 试一、填空题每题 864设集合 Aa a a a A 中全部三元子集的三个元素之和组成的集合为1234x21 x21函数f (x) 的值域为x12设ab1 1 22ab(ab2 4(ab3 ，则logab 4假设cos5 sin5 7(sin3 cos3 ) ，0,2) ，那么 的取值范围是现安排7 名同学去参与5 个运开工程，要求甲、乙两同学不能参与同一个工程，每个工程都有人参与，每人只参与一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为用数字作答在四周体ABCD中，ADBBDCCDA60，AD BD3

2、，CD2，则四周体ABCD的外接球的半径为 AB两点，C 为抛物线上的一点，ACB90，则点C 的坐标为 1 n2a23 6200n (n 1,2,95a中整数项的个数为n200n二、解答题本大题共 356 f (x) |lg(x1| ab(a b) f(a) f (f(10a6b214lg2，求ab的值b1) ，b21020分数列a满足：a t3tR 且t )，n1(2tn1 3)a 2(t1)tn 1an(nN* )n1求数列a 的通项公式；na 2tn 1n假设t 0，试比较aan1的大小1本小题总分值20 分作斜率为1 的直线l 与椭圆C ：x2 y21交于,B两点如3364yPOBA

3、图所示，且P(32,2)在直线lyPOBAPAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；假设APB60，求PAB 的面积x解 答13,0,2,6 . A 的全部三元子集中，每个元素均消灭了3 次，所以3(a a a a ) (1)358 15，1234故a a a a 5，于是集合A 的四个元素分别为516，532，550，1234583A3026(1,).2(,(1,).x tan, ，且 ，则22241f (x) cos112tan 1sin cos2)4设u sin( )，则u 1，且u 0，所以 f (x) 1 (,2224u22223-1. 1 1 22ab，得a b 22ab 又ab(ab

4、)3(a b)2 4ab (a b)2 4ab 4(ab)3 42ab(ab)3即ab 22ab 于是ab 22ab 再由不等式中等号成立的条件，得ab 1与联立解得a ,a 22或22或22故log b 122ab b 1,4 5 . 提示：不等式 44 cos5 sin5 7(sin3 cos3 )等价于sin3 1 sin5 cos3 1 cos5 .77f (x) x3 1 x5 是(,) 上的增函数，所以sin cos ，故72k 4 2k 5 (k Z)4由于 0,2) ，所以 的取值范围是,5 44 515000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：13 人参与，共

5、有C3 5!C1 5!3600种方案；7522 1 (C2 C2 5!C2 5!11400 种方案；2755所以满足题设要求的方案数为360011400 1500036. ABCD的外接球球心为O ，则OABD N 且垂直3ABD ABD N ABD PM 分ABCDN DP 上，且ON DPOM CD23CDACDBADB60 CD ABD 233cos 3,sin 33在DMN中，DM 1CD 1,DN 2DP 23C33MOMONP由余弦定理得MN MN2 12 (3)2 213 2 ，321DB321DMON 的外接圆的直径222233OD MN 3sin3故球O的半径R 37 (1,

6、2) (9,6) A(x , y11),B(x , y2C(t2 ,2t) x2y10, 得y2 4x,y2 8y40y y128，y y12 4 x 2y11, x2 2y21，所以x x122(y1 y )218，2x x124y y12(y1 y )112由于ACB90，所以CACB 0，即有(t2 x1即)(t2 x2)(2t y1)(2t y2) 0，t4 (x1即x )t2 x x214t2 2(y1y )t y y210，t4 14t2 16t30，即(t2 4t 3)(t2 4t 1) 0明显t2 4t 1 0 t2 22t 1 0C x2y10C AB 重合所以t2 4t 3

7、0，解得t1 2 3故所求点C 的坐标为(1,2) 或(9,6)815. anCn200200n34005n要使an(1 n 95)200n , 4005n 均为整数，从而6|n4 36n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 200n34005n6均为非负整数，所a 14 个nn 86a86C86 338 25 ，在C86200200!200!2 的个数为86!114!200200200200200200200 197， 2 22 23 24 25 26 27 同理可计算得86!2 82，114!2 110C862002 的个数为197821105，

8、故a86是整数n 92a92C92 336 210 C92200200!中，同样可求得92!2 的个数为92!108!88,1082 105,C862002 的个数为19788105 4，故a92不是整数因此，整数项的个数为141159f (a) f ( b1，所以b2|lg(a1)|lg( b1 1)|lg(b2b2所以a1b2或(a1)(b2) 1，又由于a b，所以a1 b2，所以(a1)(b2) 1f (a|lg(a1|有意义知0a1，从而0a1b1b2，于是0a11b2所以2)101b2从而 10 10b2b210又 所以故6(b2)10 2)10 4lg2，b216解得b 1 或b

9、 1舍去b23把b 1 代入(a1)(b2) 1解得a 2 35所以 a 2 b 1 5310由原式变形得2(tn1 1)(a 1)an1，n1则a 2tn 1n2(a1)an112(an1)ntn 1ntn1 1annn1an12n，则b2b a 11tn 12t 2 2 tn 1n1b 2n1t 1t 1又 11 1, 1 1 ，从而有bn1b2bn11 1 (n1) 1 n ，n故 a 12n，于是有bb22n12(tn 1)t n 1 na1nnan1 2(tn1 1) 2(tn 1)n1n 2(t 1) n(1t tn1 tn )(n1)(1t tn1 )n(n1) 2(t 1) n

10、tn (1t tn1 ) 2(t 1) (tn 1)(tn t)(tn tn1 )n(n1)n(n1) 2(t 1)2n(n 1) 1)t(tn2 tn3 1)tn1 ，明显在t 0t 1时恒有aan10，故aa n11设直线l ：y 1 xm ，(x, y31),B(x , y )22 x2 y21中，化简整理得3362x2 6mx9m2 36 0学奥数，这里总有一本适合你！学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社x x12x x 9m2 36 ，ky 21x y 21x 321k 则yy22x 322y 2x 3y 2x 321y2x 322PAPB(y(y 12)(x 32) (y

11、2)(x 32)(x 32)(x 32)221上式中，分子 (1 x31m2)(x23 2)(1 x321m2)(x123 2) 2 x x31 (m22)(x1x )62(m2)2 2 9m2 36 (m22)(3m)62(m32 3m2 123m2 62m62m120 ，从而，kk0PAPBP 在直线l 的左上方，因此，APB y PAB 的2内切圆的圆心在直线x 3上2假设APB 60时，结合1的结论可知kPA3,k 3PB3PA y 3(x32x2 y2 1y 得2364214x2 96(13 3)x18(133 3) 0 x 和31，所以x 32222 3)x1所以3 3 2(133

12、 3)同理可求得| PB |所以|PA| 31)1(3)21| x 3|23 223 2(3 31)SPAB| PA| PB|sin6023 132(331)32(331)3117327721173.49华东师范大学出版社赛备考手册2022预赛试题集锦2022 年各省市预赛试题和优秀解答员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，表达课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有肯定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不行或缺的备考手册。图书推举：“奥数”联赛冲刺篇“奥数”IMO 终极篇学奥数，这里总有一本适合你学奥数，这里总有一本

13、适合你！华东师范大学出版社学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社加试40 分P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD AC, BD 的中点假设BPA DPA AQB CQB40证明：对任意整数n 4，存在一个n 次多项式f (x) xn axn1 a xan110具有如下性质：a a ,a均为正整数；01n1对任意正整数m ，及任意k (k 2个互不一样的正整数r r,r，均有f (m) f (r )f (r ) f (r )12k12k3.50分设a ,a ,a(n 4)是给定的正实数，a a a 对任意正实数r ，12n12na j aiaa r (1i j k n的三元数组(i,

14、jk) fn(r) kjfnn2 44.50设A 是一个39 的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数称A 中的一个mn1m ,1n )方格表为“好矩形10的倍数称A 中的一个11的小方格为“坏格A最大值解 答DP 与圆交于另一点E CPE DPABPAP AC的中点，故B E ，从而CDPBDA又ABDPCDABD PCD，于是DQPBECAB PCQPBECBDCD从而有ABCD 1ABCD PCBD.AFACBD AC(1 BD) ACBQ ，22AB BQ ACCD又ABQ ACD，所以ABQACD，所以QAB DAC 延长线段AQ与圆交于另一点F ，则CABDAF，故C F 又由于Q

15、BD 的中点，所以CQB DQF 又AQB DQF ，所以AQB CQB2. 令f (x) (x1)(x2)(xn)2，将的右边开放即知f (x)是一个首项系数为1 的正整数系数的n 次多项式下面证明f(x)满足性质对任意整数t ，由于n 4，故连续的n 个整数t 1t 2,t n4 的倍数，f(t 2(mod4因此，对任意k (k 2) 个正整数r r ,r ，有12kf(r1)f(r2) f(rk) 2k 0(mod4) 但对任意正整数m f (m) 2(mod4) ，故f(m) f(r1)f (r2) f (rk)(mod4)，f (m) f (r f (r ) f(r 12kf (x)

16、 符合题设要求j (1 j n，满足1i j k n，且aajiaak r的三元数组(i, jk) g(r) ji, j k i j ，即i j 1种选法，g (r j 1j同样地，假设 jk i k j k n j 种选法，故g (r n j 从而jg (r) minj 1,n jj因此，当n 为偶数时，设n 2m ，则有f (r)n1 gn(r)m1 j(r)m1j(r)jj2j2jmmj22 1mmjm1m(m1)m(m 1)m j) 22 m2 m m2n 为奇数时，设n 2m1，则有 n2 4f (r)n1 gn(r) jg (r)j2mg (r)jj2j2jm1 m 2m(2m 1 j)j2jm1 m2 n2 4首先证明A 25 个用反证法假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格对称性，不妨假设此时第1 A 第i 列从上到下填的数依次为ai,b ,ci, i 1,2,9记Skka ,Tik(b ci), k 0,1,2,9，这里ST0 00我们证明：三组数S0全剩余系,S ,S1；T ,T0,T S9T ,S0T ,S1T 10 的完9事实上，假设存在mn, 0m n 9Sm S (mod10) ，则nn a SS0(mod10)，inmim1即第1行的第m1至第n 列组成一个“好矩形1行都是