化工系统工程-化工系统工程-02-第3讲-数学模型课件

1、化工系统工程第二章 数学模型授课教师：杜可杰化学化工学院 化工系统工程第二章 数学模型2 第二章 数学模型 p11本章内容概念、定义与分类 过程系统模型及其自由度机理模型 经验模型及其建模方法 流程结构模型流程模拟基本模型*过程单元模型*关于数学模型预测性检验的探讨*2 第二章 数学模型 p化工过程模拟 -化工系统工程的重要手段 化工过程系统A化工过程系统B特性相似复杂，无法求解或预知效果简单，容易试验或求解利用一个方便、经济而性能相似的系统B来模仿复杂系统A，称为仿真（simulation），B称为A的模型。化工过程模拟化工过程系统A化工过程系统B特性相似复杂，无法求2.1 概念、定义与分类

2、 模型：可描述、表现原型某种特性的替代物 物理模型 physical model 实物模型 concrete model 分类： 概念模型 conceptual model 数学模型 mathematical model ？数学模型是建模的最高境界，是对原型认识深刻、研究透彻的体现。（p11王教授语） 什么是数学模型？2.1.1 模型 （model） 描述的是目标系统 “如何做”“如何实现”的物理过程 依靠物质的基本形态所做的模仿 基于概念开发的模型。是关于某种系统一系列在构想、概念上的描述，叙述其如何作用。2.1 概念、定义与分类 模型：可描述、表现原型某种特性A model is anyt

3、hing used in any way to represent anything else They are used to help us know and understand the subject matter they represent. A model is anything used in an化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-数学模型化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-数学模型Case 1：y = 2*x 是数学模型；y = x2 是数学模型；Case 2：y 1= 2*x y2 = x2 方程组， 是数学模型；Case 3：y 1= 2*x 1 + 5x2

4、2y2 = x12 + 3*x 2 方程组，也是数学模型；如何表述？热力学方程?数学模型Case 1：热力学方程?数学模型数学模型：变量之间的约束关系 数学模型是一套数学关系式或数学符号，这些关系式或符号描述了系统的各种因素、特征、变量之间的数量关系或逻辑关系，是原型特性的数学描述。比如状态方程就是流体PVT关系的数学模型（f( p, T, V ) = 0 或 P=P(T,V)。数学模型：变量之间的约束关系 数学模型是一套数学关系式数学模型 的分类流程模拟系统设计角度：物性模型、过程单元模型、建模的方式和信息依据：机理模型、经验模型(?)对象的概率特性：确定模型、随机模型（变量之间的关系是否以

5、统计值的形式给出）对象的时变特性:定态（稳态）模型、动态模型对象的空间特性：集中参数模型、分布参数模型 （参数是否与空间位置有关）实际使用目的：操作型模型、设计型模型 系统结构模型等数学模型的分类（p11）流程模拟系统设计角度：物性模型、过程单元模型、建模的方式和信2.1.3 运用模型方法的实例（P12）例2-1 如图2-1，在边长为2的正方形中内接一个圆。在正方形面积内随机地打上N个点，其中有n个点落在内接圆中。如N足够大，可认为n与N之比近似等于圆形与正方形面积之比。即 图2-1 Monte Carlo Method蒙特卡罗方法计算圆周率 与概率方法无关的问题可以用概率的方法来解决!故当N

6、足够大时，有蒙特卡罗(?)方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数,有特定的程序）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2.1.3 运用模型方法的实例（P12）例2-1 如图物性模型：是流程模拟中的最基本的模型。其作用主要是解决被加工物料的状态计算问题。通常包括焓、逸度、密度、压力、温度、相态、组成等计算。方法或理论来源自化工（学）热力学、物理化学。单元模型：是为了解决基本单元过程与设备的计算问题，方法或理论来源有化工原理、反应

7、工程、分离工程、传递过程等。 结构模型：是描述整套装置中各个单元过程之间联系方式的模型。经济模型:经济分析控制模型:动态模拟用户接口：自编模型流程模拟系统中的模型2.1.4 流程模拟系统中的模型物性模型：是流程模拟中的最基本的模型。其作用主要是解决被加工2.1.5 评价模型的标准 适用、简单、预测性好是评价模型的根本标准。模型的好坏与是否使用了复杂的方法、是否使用了前沿的成果、是否使用了时髦的理论完全无关。（ 王教授语 ）2.1.5 评价模型的标准 适用、简单、预测性好是评设：所需求解的问题有 m 个未知变量，可列出的独立方程数有 n 个，m 与 n 的关系有以下三种情况： m = n ，即独

8、立方程数与未知变量数正好相等，方程组有唯一解。 m n ，即独立方程数多于未知变量数 ，方程组有多余的方程，不同方程 之间出现矛盾，称为矛盾方程组，方程组无解。 m n ，未知变量数多于独立方程数，方程组有无穷多组解，称为不定方 程组。 2.2化工过程系统模型及其自由度只有将多余的f =m-n 个未知变量值事先给定，使得真正的未知数减少 f 个 ，未知变量数等于独立方程数，方程组才有唯一解。自由度 f = m - n过程模拟的本质：用适当的方法求解不同类型、不同规模的方程组。设：所需求解的问题有 m 个未知变量，可列出的独立方程数有 化工过程的自由度该如何确定？能否直接用经典的自由度法则“相律

9、”来确定？相律：对于一个多组分、多相的平衡系统，自由度=？实际化工过程工程的研究对象和关注点（PSE的特点之一）：？化工单元或流程的独立变量数 m 无非由两种变量构成：一种是流股的独立变量；一种是单元的设备参数如分流器的分流比；换热器的热负荷；塔板数 泵与压缩机的压力降P；反应器的反应程度等。“对于一个已知每个组分的初始质量的封闭系统，其平衡态完全取决于两个变量而不论有多少相，多少组分或多少化学反应。”这两个独立变量就是温度与压力。实际化工过程工程的研究对象和关注点（PSE的特点之一）：？“Remarks：相律只适用于强度变量即独立于系统大小的那些变量，如 T、P、化学位、浓度等，对于流程模拟

10、中要涉及到的流率、体积等广度变量即与系统大小密切相关的变量并不适用。Remarks：2.2.1 流股的独立变量数（自由度） 流股的独立变量数，就是流股所需指定的最少变量数。 （直观分析）若指定了 T、P 及各组分流量，则在相平衡、化学平衡条件下这一流股便被完全确定了。 （理论依据）根据著名的杜亥姆定律（Duhams Theorem）来证明这一直观认识。其定律内容为：“对于一个已知每个组分的初始质量的封闭系统，其平衡态完全取决于两个变量而不论有多少相，多少组分或多少化学反应。”这两个独立变量就是温度与压力。（再考虑物质的量） 流股自由度 = c + 2 化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-

11、数学模型 对于一个由 c 个组分构成的流股： 流股自由度 = c + 2 （c + 2）个独立变量数通常是指流股的温度 T、压力 P、各组分流量Fi （i=1，2，c）。 各组分流量 Fi 也可以用总流量 F 和（c-1）个组分的含量来代替。 在此需注意一点：由于在利用杜亥姆定律求流股自由度的过程中，方程用到了流股的摩尔分数加和方程 ，所以在此后的化工单元及流程的自由度分析中，该方程不再作为独立方程列出，已隐含在流股（c+2）个独立变量数的信息之中。 对于一个由 c 个组分构成的流股：2.2.2 过程单元自由度（Degree of freedom) U设备参数、操作参数G输入流股m1输出流股m

12、2总独立变量数m=（m1+m2)(c+2）+m3+ m4独立方程数 n通用单元模型 之有关变量与外界的能量交换或功m3m4解决单元过程模拟时由哪些变量去求解另一些变量的问题。F=m-n2.2.2 过程单元自由度（Degree of freedo （1）列出有关变量确定单元过程输入/输出流股变量中的独立变量数（依据杜亥姆(Duhem)定理）：(m1+m2)（C+2） 确定与过程有关的设备特性参数和操作参数（例如：反应器有效容积、换热器的面积、传热系数、精馏塔的理论板数和回流比等）;m3确定过程从外界得到(或向外界放出)的热量和功,m4 总变量数m= (m1+m2)(C+2) +m3+m4（2）列

13、出表示各物流之间有关变量约束关系的全部独立方程（或经过推演） （物料平衡、能量平衡、动量平衡，压力平衡、化学平衡、动力学、传热（质）速率、流动阻力等方程） n (3)2.2.3过程系统自由度计算 Fmn （1）列出有关变量2.2.3过程系统自由度计算 Fmn2.2.4 过程系统模型及其自由度有关的几个问题p14-181）实际系统自由度和数学模型自由度 “自由度”隐含了实际系统自由度和模型自由度两个概念。实际系统的自由度:客观上存在的影响系统状态的实际独立影响因素数目，不随模型而变。 数学模型的自由度：由具体数学模型而定，与实际建模时模型本身是否合理以及建模假设、建模思路有关。一般而言：实际系统

14、自由度大于或等于数学模型自由度。2.2.4 过程系统模型及其自由度有关的几个问题p14-18 2）自由度分析的目的与主要内容 寻找描述实际系统状态的各个变量，分析变量之间的联系。从整体上对各变量之间相互影响的物理规律进行研究，发现及区分独立影响因素、可人为控制因素和不可人为控制因素，即研究系统的实际自由度。根据实际需要，进行适当简化假设，忽略次要因素，选择主要因素作为模型变量或模型参数。用数学语言描述系统的物理规律，确定模型自由度。根据实际需要，区分模型变量中的输入变量或设计变量、输出变量或状态变量。目的：建模和模拟工作的重要内容之一，其重要目的是要解决究竟由哪些变量去求解哪些变量的问题。分析

15、不当会造成无解或多解。主要内容： 2）自由度分析的目的与主要内容 目的：建模和模拟工作的重要对于流程模拟问题，通常考虑为独立影响因素的独立变量大多是可以测量、可以控制的宏观物理量，比如流量、压力、温度、组成等等。假如将模型中的难于观测和控制的变量（比如活度系数、熵、传递系数等等）作为独立的设计变量，则不仅违背了生产过程的因果逻辑、违背了过程的物理意义，而且在计算过程中也无法实施和操作。3）决策变量的选取 对于流程模拟问题，通常考虑为独立影响因素的独立变量大多是可以 2.2.5 独立化学反应数的问题 (不要求，反应工程内容） 独立化学反应数意义：化学反应模拟时，需要根据化学方程式计算收率、转化率

16、、平衡组成、反应热等数据。少利用了化学式，某些组分质量衡算将失去依据；多利用了化学反应式则往往按速率方程或指定转化率计算消耗量或生成量时将产生矛盾的结果。独立化学反应数：在m个同时发生的反应中，若每一个反应的计量方程都不能由其它反应的计量方程线性组合得到，则称这m个反应是独立的。 2.2.5 独立化学反应数的问题 (不要求，反应工程内容）2.2.5.1 原子系数矩阵法 p19-21（自学推导过程） 独立反应数=物质数-元素数1）确定体系中涉及的组分或物质（m）2）确定所有组分所涉及的元素或原子（n）3）计算独立反应数：f=m-n2.2.5.1 原子系数矩阵法 p19-21（自学推导过程） 2.

17、2.5.2化学计量系数矩阵法（不讲） 独立化学反应数：在m个同时发生的反应中，若每一个反应的计量方程都不能由其它反应的计量方程线性组合得到，则称这m个反应是独立的。质量守恒方程：反应消失的质量=反应生成的质量n种物质化学计量系数矩阵法案例 2.2.5.2化学计量系数矩阵法（不讲） 独立化学反应数：化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-数学模型化学计量系数矩阵法案例 独立反应数也就是化学计量系数矩阵中独立的行向量数，由线性代数的知识可知：矩阵中独立的行向量数（或列向量数）即为矩阵的秩。 化学计量系数矩阵法案例 独立反应数也就是化学计量系数矩阵中化工系统工程-化工系统工程-02_第3讲-数学模

18、型秩为3。即独立反应数为3，一组独立反应为：秩为3。即独立反应数为3，一组独立反应为：2.3 机理模型2.3.1 机理模型的特征 （1）机理模型的概念（p21） 对系统的各个组成部分及其相互联系方式进行研究，了解其各部分运行的物理规律，然后利用已知的、经过长期实践检验的公理，如质量守恒、能量守恒、万有引力定律等建立系统的数学模型。实质上就是将系统分解至已知公理可以解释的程度再进行相应的数学描述。 建模的方式和信息依据2.3 机理模型 （1）机理模型的概念（p21）建模的方2.3 机理模型 （2）机理模型的特征 在化工系统工程领域，对于流程模拟任务而言，所称机理模型一般应具有如下基本特征（或其中

19、部分特征）：确定的组分，统一、可靠的基础物性数据质量衡算方程能量衡算方程严格的相平衡计算化学反应动力学或化学平衡计算传递与流动计算 ？2.3 机理模型 （2）机理模型的特征 ？2.3.2 建模手段与实例 建模工作内容：系统（物理）分析、列出方程（组）、数学推演 （1)系统分析 工作的思路:选定研究对象，明确系统的功能及与环境的信息交换；进一步研究系统的物理规律，适当的简化、假设；分解系统，划分子系统及确定诸子系统间的联系，直至各子系统都可以运用所熟悉的原理或假设给予解释和描述为止。 在某些特殊情况下，尤其系统较为复杂、未知物理规律较多时，确实也可以首先建立系统的物理模型实验设备，为下一步总结物

20、理规律服务。 (数学模拟与科学实验相互补充、相互协同）2.3.2 建模手段与实例 建模工作内容：系统（物理）分析、2.3.2 建模手段与实例 （2)列出方程（组）或数学表达式 在系统分析的基础上写出各子系统的有关数学表达式及各子系统相互联系的表达式，形成系统数学模型的雏形或原始形式； （3）数学推演 根据模型求解与使用的需要对原始表达式进行推导、演算、整理、化简，得到表达清晰、便于理解和计算的数学模型。2.3.2 建模手段与实例 （2)列出方程（组）或数学表例2-7 无相变单程逆流换热器稳态模型（p23-24） dAdTdtT1T2t1t2符号说明： 热物流流率与比热， 冷物流流率与比热， 换热量， 总传热系数 建模过程简化假设：总传热系数K为常数；流体不可压缩；流体比热为常数；稳态流动；忽略设备的热容与传递滞后；与流动方向垂直的方向上无温差；焓衡算用显热衡算代替。本例中因认为流率与组成不变，进出口流率为同一变量，故不需要质量衡算关系式。无相变单程逆流换热过程的模型系统分析T1 WAT2 WAt2 WBt1 WBA0换热量与进出口温度、冷热物流流率、换热面积