高等代数下课外习题-线性变换

1、第七章线性变换判断题 TOC o 1-5 h z ，一、 、一3，一 一 一3、1、在向重仝间R中，(x1,x2,x3) (2x1, x2, x2 x3),则 是R的一个线性变换.().2、 是向量空间V的线性变换，向量组1, 2,L , m线性相关，那么(1), ( 2),L , ( m)也线性相关.()._ _ _ . . _ . . . . 3在向量空间Rnx中，则微商(f(x) f(x)是一个线性变换.().4、线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的().5、相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵().6、向量空间V的线性变换的象与核都是的不变子空间.().7、属于线性变换同一特征

2、根0的特征向量的线性组合仍是的特征向量.().8、在一个基下可以对角化，则在任何基下可以对角化.().9、设 为n维线性空间V的一个线性变换，则由 的秩+ 的零度=n ,有1V (V)(0).()10、n阶方阵a至少有一特征值为零的充分必要条件是|A| 0 .().最小多项式是特征多项式的因式.()12、相似的矩阵有相同的特征多项式()13、设A Pnn, A的特征多项式有n个单根，则存在可逆矩阵T Pn n，使T 1AT具有对角形。()14、若 是数域P n维线性空间的线性变换，的特征值为1, 2, ，则 可对角化特征子空间的维数之和等于n。()是n维线性空间V的一个线性变换，则 V V。(

3、F)二、填空题a11 a2 a131、在V3的基 1, 2, 3下 的矩阵是Aa21 a22 a23a31 a32 a33那么 关于基 3, 12,2 1的矩阵是 .2、在F3中的线性变换(Xi,X2,X3) (2Xi x2,x2 X3,Xi)，那么 关于基1(1,0,0), 2(0,1,0), 3 (0,0,1)的矩阵是 3、( 0l A)X 0的 都是A的属于0的特征向量4、设V是数域F上的n维向量空间，L(V),的不同的特征根是1, 2,L , t,则可对角化的充要条件是 .3275、矩阵024的特征根是.0056、复矩阵A(aij )n n的全体特征值的和等于 ,而全体特征值的积等于

4、7、数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为 维线性空间, 它与 同构.8、设n阶矩阵A的全体特征值为1, 2,L , n , f(x)为任一多项式，则f(A)的全体特征9、设A9、设A 1 3 ,则向量1是A的属于特征值 的特征向量2 2111 0110、若 A 1 0 0 与 B 1 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 001011、n阶方阵A满足A2A,则k 001相似，贝U k =k 1A的特征值为12、设A是有限维空间V的线性变换，f (入)是A的特征多项式，那么 f (A尸113、已知三阶实对称矩阵A的特征值为1,2

5、 , 3,则A 的特征值为。A 014、A,A2的最小多项式分别是g1(x),g2(x),则矩阵 0 A2的最小多项式是 O1111 115、设四阶矩阵 A与B相似，矩阵 A的特征值为 一,一，一，一，则行列式 B 1 E三、单选题:1、“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。A充分B.必要 C.充分必要 D.以上都不对2、若线性变换与是（），则 的象与核都是的不变子空间。A互逆的B.可交换的C.不等白D.不可换的 TOC o 1-5 h z 3、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）合同的；相似的；相等的；正交的。4、设三阶方阵 A有特征彳1为1 1, 21, 32,其对应的特征向量

6、分别是 Xi,X2,X3,1设 Px3,x2,x1 ,则 P AP=（）1001 0 020 02 0 0A. 010 B. 010 C. 010 D. 0 1000200 20010 015、设A为可逆方阵，则 A的特征值（）A .全部为零B.不全部为零C.全部非零D.全为正数6、设A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征值，A为A的伴随矩阵，则A的特征值之一（）A. 1 An B. 1 A C. A D . An7、设A、B为n阶方阵，且A与B相似，E为n阶单位阵，则（）。（A）E A E B（B） A与B有相同的特征值和特征向量（C） A与B相似于一个对角矩阵（D）对任意常数t, tE A与tE

7、 B相似8、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是（）。（A） A的n个特征值互不相同（B） A可逆（C） A无零特征值（D） A有n个线性无关的特征向量 2、 1 ,*,一,9、设可逆矩阵 A有一个特征值为2,则（-A ）有一个特征值为（）。3,1,1,4,3（A）（B）（C）（D）一243410、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的（）（A）充要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分亦非必要条件四、计算题1112 0 01、设A242与80 2 01、设A3 3a00b32、 F3中，线性变换(1)求a, b的值； (2)求可逆矩阵，使 32、 F3

8、中，线性变换关于基 1(1,1,1),2(1,0,1),3(0,1,1)的矩阵为(1)求关于标准基(1)求关于标准基1, 2, 3的矩阵;(6、已知矩阵A= 00)设 1623，123,求()，()关于基 1 , 2 6、已知矩阵A= 00标.33、设 是 R 的线性变换，(x1，X2,X3) (X1 2x2 X3,X2 X3 ,X1 X2 2x3)(1)求Im()的一个基和维数；(2)求Ker()的一个基和维数.4、判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T,使成对角形.1 3 3A 3 1 33315、在线性空间5、在线性空间Pn中定义变换u(Xi，X2，, xn)(0, X2,

9、 xn)(1)证明：(T是Pn的线性变换(2)求(Pn)与 1(o).000相似，求x和y的值，并求A的特征向量。1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 0020 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 01与 B=0y HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 1x00求232对应的特征向量；求矩阵Ao19、设3阶对称矩阵 A的特征值为6, 3, 3,与特征值6对应的特征向量为 11 ，求A。110、设3阶方阵A (a。)的每行元素

10、之和为3,且满足AB O,其中 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 12B 0120判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T,使成对角形.o五、证明题1、证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。2、Fx的两个线性变换为：对任意 f (x) Fx, (f (x) f (x), (f (x) xf(x)证明：3、证明：若( ),g() ，则d() ，其中d(x)是Fx中多项式f(x)与g(x)的最大公因式。 3 ,4、令(x1,x2,x3)是R中任息向重，是线性变换：()(x x2,x2,x3 x2)试证可逆。5、设V的两个线性变换与 是可变换的。试证 的象Im()与核Ker()都是 的不变子空间。6、若A是一个n阶矩阵，且A2=A,则A的特征值只能是0和1.设A是n阶矩阵，且有r(A