中科院研究生院-现代数字信号处理课件Chapter-4

1、第四章 功 率 谱 估 计 4.1 引言 4.2 经典谱估计 4.3 现代谱估计中的参数建模 4.4 AR模型谱估计方法 4.5 其他谱估计方法4.1 引 言功率谱定义估计质量评价功率谱估计的方法功率谱估计的应用本章讨论的主要内容1、功率谱的定义信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里叶变换关系 对于平稳随机信号，服从各态历经定理，集合平均可以用时间平均代替令l=n+m, 那么 2、估计质量评价无偏性：一致性：3、功率谱估计的方法经典谱估计方法间接方法：BT法直接方法：周期图法现代谱估计方法参数法：ARMA模型法AR模型、MA模型、ARMA模型非参数法：谐波分解法、多分量法1、经典谱估计方法BT

2、法：先按照有限个观测数据估计自相关函数，再计算功率谱；周期图法：直接对观测数据进行处理，计算功率谱。经典谱估计方法的特点：都采用傅立叶变换方法，物理概念比较清楚；频率分辨率低；估计量的方差和分辨率是一对矛盾。2、现代谱估计方法以信号模型为根底，估计功率谱的问题转化成由观测数据估计信号模型参数的问题。现代谱估计方法的特点：频率分辨率较经典法高；缺乏如何选择信号模型的理论指导。4、功率谱估计的应用在信号处理的许多场所，要求预先知道信号的功率谱密度(或自相关函数)；常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计；从宽带噪声中检测窄带信号。 5、本章讨论的主要内容主要内容：BT法、周期图法、改进的周期图法

3、、AR模型法、最大熵谱估计法、基于矩阵特征分解的方法。分析方法：介绍各种估计方法的原理，根据估计质量评价准那么，分析讨论其估计性能。4.2 经 典 谱 估 计BT法周期图法改进的周期图法4.2.1 BT法BT法是先估计自相关函数, 然后进行傅里叶变换得到功率谱。有偏自相关函数估计的误差相对较小，是一种渐近一致估计： BT法的加权协方差谱估计式中 -(M-1)m(M-1) 其它 , MN 窗函数w(m)的傅里叶变换必须是非负的。4.2.2 周期图法 周期图法的定义如下: 1. 周期图与BT法的等价关系 令 m=k-n, 即k=m+n，那么 利用有偏自相关函数的BT法和周期图法是等价的。 2. 周

4、期图法谱估计质量分析 1) 周期图的偏移 式中 上式在频域表示为： 式中 周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当N时，wB(m)1，三角谱窗函数趋近于函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。 2) 周期图的方差 为分析简单起见， 假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是x2，即功率谱是常数x2 ，其周期图用IN()表示，N表示观测数据的长度。 周期图的均值式中 这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏估计的结果。利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有 周期图的均方值将上式代入周期图的均方值公式中， 得到 将=1=

5、2代入上式，得到 信号的功率谱真值是2x,说明周期图的方差很大，周期图的均方误差也是非常大。 用这种方法估计的功率谱在2x附近起伏很大，故周期图是非一致估计，是一种很差的功率谱估计方法。 图 4.2.2 白噪声的周期图 4.2.3 经典谱估计方法改进Bartlett平均周期图法窗口处理法平均周期图Welch法修正的周期图求平均法存在问题：BT法和周期图法估计功率谱都不是一致估计，频率分辨率低。解决方法：对周期图进行修正，使其满足一致估计条件。可以采用平滑处理的方法，使其方差减小。1. Bartlett平均周期图法 主要思想：对序列x(n)进行L次独立观测或将其分成L段，计算每组观测数据的周期图

6、，再将L个周期图加和后求平均。 假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0nM-1，共进行了L次独立观测，得到L组记录数据，每一组记录数据用xi(n), i=1, 2, 3, ,L表示； 或对长为N的数据x(n)分成L段，每段有M个数据，N=LM，第i段数据表示为xi(n)= x(n+iM-M)。 第i组的周期图用下式表示： 估计方法： 将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下： 偏移分析： 估计效果分析： 平均周期图仍然是有偏估计，偏移和每一段的数据个数M有关； 偏移的大小反映分辨率的上下。 方差分析： 平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L，L越大方差越小，功

7、率谱越平滑；相应的，M越小，偏移越大，分辨率越低；估计的均方误差也减少； 以分辨率的降低换取了估计方差的减少，估计量的方差和分辨率是一对矛盾。图 4.2.3 平均周期图法 2、窗口处理法平均周期图主要思想：用一适当的功率谱窗函数W(ej)与周期图进行卷积，来到达使周期图平滑的目的的。 式中 -(M-1)nM-1 估计方法：那么 周期图的窗函数法就是前面提到的BT法的加权协方差谱估计。又 偏移分析： 估计效果分析：可得 周期图的窗函数法仍然是有偏估计, 其偏移和wB(m)、w(m)两个窗函数有关。 如果w(m)窗的宽度比较窄，M比N小得多，这样|m|p 4.4 AR谱估计的方法AR谱估计方法可归

8、结为求解AR模型系数或线性预测器系数的问题。AR模型参数估计方法：信号预测误差最小原那么或预测误差功率最小自相关法Levison递推法Burg法协方差法修正协方差法前后向线性预测最小二乘法最大熵原那么最大熵谱估计方法1、 自相关法列文森Levinson递推 估计方法：自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测误差功率最小；采用Levison-Durbin递推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型参数。 预测误差功率为 假设信号x(n)的数据区间在0nN-1范围，有P个预测系数，N个数据经过冲激响应为api(i=0,1, 2, , P)的滤波器， 输出预测误差e(n)的长度为N+P， 因

9、此应用下式计算: 预测误差功率最小，得到 采用Levinson-Durbin递推法求解Yule-Walker方程： 由k=1开始递推，递推到k=p，依次得到a11,21，a21,a22, 22，ap1,ap2,app,2p。 AR模型的各个系数以及模型输入白噪声方差求出后， 信号功率谱用下式计算： 图 4.5.1 利用列文森递推法计算功率谱的流程图 性能分析：该方法需要基于有限的观测数据估计自相关序列，当数据长度较短时，估计误差会比较大，AR参数的计算就会引入很大的误差。从而导致功率谱估计出现谱线分裂与谱峰频率偏移等现象。2、 伯格Burg递推法 估计方法：直接由时间序列计算AR模型参数的方法

10、，求前、后向预测误差平均功率最小时的反射系数kp，进而求AR模型参数ak和2w。 设信号x(n)观测数据区间为：0nN-1，前向、后向预测误差功率分别用p,e和p,b表示，预测误差平均功率用p为 其中，前向、后向预测误差公式分别为 求预测误差平均功率p最小时的反射系数kp，令 基于反射系数kp，由Levinson-Durbin递推关系求AR模型参数ak和2w，进而求得功率谱Pxx图 4.5.2 伯格递推法流程图 性能分析：该方法防止了采用有限数据估计自相关函数的计算，适合短序列参数估计，克服了L-D递推中的某些缺点，计算量小。但对正弦信号的谱估计，仍存在某些谱线分裂与频率偏移现象。3、 协方差

11、法与修正协方差法1. 协方差法 估计方法：利用使预测误差功率最小的方法求模型参数 该公式中使用的观测数据均已得到，不需要在数据两端补充零点， 因此比较自相关法去掉了加窗处理的不合理假设。式中 即通过求解以下方程组求apk 性能分析：适用于非平稳信号；一些实验结果说明它的分辨率优于自相关法，另外对于纯粹弦信号数据，可以有效地估计正弦信号的频率。 2. 修正协方差法前后向线性预测最小二乘法： 估计方法：修正协方差法使用前向和后向预测误差平均值最小的方法， 估计AR模型的参数，进而估计信号的功率谱。 前向和后向预测误差功率pe、pb分别用下式表示： 预测误差平均功率最小经过简化，得到 令 将上式写成

12、矩阵形式求apk ： 性能分析：该方法去掉了Burg法所用的Levinson的约束条件，估计得到的谱在谱线分裂和频率偏移时较Burg法有较大改善；该方法也适用于非平稳信号。 几种方法的比较：自相关法可以用Levinson递推算法，运算量小，但分辨率受窗长度的限制；协方差法，去除了自相关法加窗处理的不合理假设，分辨率高，运算量较大；修正协方差法，分辨率高，在谱线分裂和偏移上较Burg法有较大改善，运算量大；Burg算法，可用改进的Levinson递推算法，分辨率高，但对正弦信号存在谱线分裂和偏移现象。 例 信号的四个观察数据为x(n)=x(0), x(1), x(2), x(3)=2, 4, 1

13、, 3， 分别用自相关法和协方差法估计AR1模型参数。 解1 自相关法： (2) 协方差法: 图 4.5.3 AR模型阶次太小时的平滑作用4、 关于AR模型阶次的选择 如果是纯P阶AR信号，应选择模型阶次k P。 如果选择模型阶次kP时，将产生对谱的平滑作用，降低谱的分辨率。如果选择kP，且假定观测的数据没有误差没有干扰，估计的参数应是： 对于白噪中的AR信号，其阶次的选择应折衷考虑。如选择AR模型，其阶次应加大，较低的阶次会使谱估计产生偏移， 降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈严重，愈需要高的阶次， 因此信噪比低应选高的阶次。阶次愈高，分辨率愈高；但阶次太高，会使估计误差加大，谱峰分裂。最终

14、预测误差FPE准那么 阿凯克信息论准那么自回归传递函数准那么CAT 4.5 其他谱估计方法估计思想：采用最大熵原那么，外推自相关函数方法估计信号功率谱。它基于将的有限长度自相关序列以外的数据用外推的方法求得，而不是把它们当作是零。 4.5.1 最大熵谱估计 1. 利用最大熵的原那么外推自相关函数 按照Shannon对熵的定义， 当随机变量X取离散值时，熵的定义为 式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为 式中, p(x)是X的概率密度函数， 假设x(n)是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为 式中 先讨论一维高斯分布的信号的熵，然后推广到N维。 同理可求得N维

15、高斯分布信号的熵为式中det(Rxx(N)表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式说明为使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。 用最大熵方法外推rxx(N+1)： 设rxx(N+1)是信号自相关函数的第N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为 为选择rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解以下方程： 用数学归纳法，得到 上式是rxx(N+1)的一次函数，可以解出rxx(N+1)。以此类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而不必假设它们为零， 这就是最大熵谱估计的根本思想。2. 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性 AR模型信号自相关函数与模型参数服从Yule

16、-Walker方程m1 m=0 将m1的情况写成： 如果从N个线性方程中解得的N个AR参数a1, a2, aN值，代入上式并将其整理成行列式的形式，即可得 这就证明了信号为高斯分布时，AR模型功率谱估计和最大熵谱估计的等价性。 通过解Yule-Walker方程，解出模型参数，最大熵谱估计用下式计算信号功率谱： 4.5.2 特征分解法谱估计该方法特别适用于对多正弦加白噪声序列进行谱分析，可以得到比AR模型法更高的分辨率和更准确的频率估计，尤其在信噪比低时更有效。估计思想：将白噪声加正弦波作为一特殊的ARMA模型，用特征方程求它的参数，计算出正弦波的频率。1 正弦波用退化AR模型表示 设P个实正弦

17、波组成的信号用下式表示： 式中，初相位i是在区间-，均匀分布的随机变量，令x(n)=sin(n+), 那么上式变为 这样上式的特征多项式为 由下面三角恒等式：- Z变换 两个根分别是:z1=ej,z2=e-j,它们共轭成对，且模为1，由这两个根可以确定正弦波的频率。 比照AR模型的系统函数， 可以把正弦波信号用一个特殊的AR2模型表示。该AR模型的鼓励白噪声方差趋于0，极点趋于单位圆。通常称为退化的AR模型。x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=w(n) 对于P个实正弦波, 特征多项式是 上式是z-1的2P阶多项式，可以表示为 考虑到根共轭成对，也可表示为 P个正弦波组合的模型用2P阶差分方程描述 2 白噪声中正弦波组合用一特殊