定积分及其应用

1、关于定积分及其应用第1页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第一节 定积分的概念重点：定积分的概念和性质难点：定积分概念的理解第2页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三abxyo实例1 （求曲边梯形的面 积）一、两个实例第3页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小

2、.由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小， 第4页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第5页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三曲边梯形如图所示，第6页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第7页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三实例二、求变速直线运动的路程思路：把整

3、段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。第8页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第9页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三二、定积分的定义定义第10页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第11页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三注意：第12页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三定理

4、1定理2三、存在定理第13页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三四、定积分的几何意义第14页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三几何意义：ab第15页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积第16页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第17页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三解：根据定积分的几何意义，解题如下：第18页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第19页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三对定积分的补充规定:

5、说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小五 定积分的性质第20页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三证性质1第21页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三证性质2第22页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三例 若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第23页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三证性质4第24页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三证由闭区间上连续函数的介值定理知性质5（定积分中值定理）积分中值公式第25页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期

6、三使即积分中值公式的几何解释：第26页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 第二节 微积分基本公式重点：牛顿莱布尼兹公式难点： 积分上限的函数第27页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出第28页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数第29页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三积分上限函数的性质证第30页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三由积分中值定理得第

7、31页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第32页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第33页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第34页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 （2）第35页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第36页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三分母的导数为所以有第37页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三定理 3（微积分基本公式）证三、牛顿莱布尼茨公式第38页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三令令牛顿莱布尼茨

8、公式第39页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第40页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三例计算下列定积分（1）(2)(3)(4)(5)第41页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第42页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第43页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第44页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 第三节 积分的换元法 重点与难点： 掌握定积分的换元积分公式 牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函

9、数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法. 第45页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第46页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第47页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 解法2要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这一步。 一般的，定积分的换元法可表述为：第48页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三定积分的换元法有两个特点：换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量的积分限.即所谓的“换元必换限.”（）求出的一个原函数后，不必象不定积分那

10、样再把原变量回代，而直接代入新变量的上下限，然后相减就把原变量（1）用可以了。第49页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第50页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第51页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第52页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第53页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第54页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第55页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 第四节 定积分的分部积分法重点与难点： 熟练掌握定积分的分部积分公式第5

11、6页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三把不定积分的分部积分公式添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：第57页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第58页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第59页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第60页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第61页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 例 求 解：由例4的结果知当时，当时，第62页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第63页，共113页，2022年，5月20日，2

12、2点2分，星期三第64页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第65页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三令则当时，当时代入到中得：第66页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 第五节 无穷区间上的广义积分 重点与难点： 广义积分的概念与计算第67页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第68页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第69页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三显然，当在内变化时，曲边体形的面积也随着b的变化而变化 时，这个曲边梯形面积的极限就应该是“开口曲边梯形”

13、的面积，即当第70页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第71页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三二、 广义积分的定义第72页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第73页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第74页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第75页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第76页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三为了书写方便起见，我们规定：记为写为第77页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第78页，共113页

14、，2022年，5月20日，22点2分，星期三第六节 定积分应用举例重点与难点：正确理解定积分的元素法；熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋转体的体积；会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的平均值。 第79页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo第80页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三（3）求和 得A的近似值 面积表示为定积分的步骤是：第81页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三abxyo（4） 求极限 得A的精确值提示面积元素第82页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星

15、期三第83页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三微元法的一般步骤：第84页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三这个方法通常叫做微元法应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等第85页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三曲边梯形的面积平面图形的面积二、平面图形的面积第86页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三解 两曲线的交点为面积元素选 为积分变量第87页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第88页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第89页，共

16、113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第90页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第91页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积第92页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三xyo旋转体的体积为第93页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三解直线 方程为第94页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第95页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第96页，共113页，2

17、022年，5月20日，22点2分，星期三第97页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第98页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三弧长元素弧长 四、平面曲线的弧长第99页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三解所求弧长为第100页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第101页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三如图所示第102页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第103页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三点击图片任意处播放暂停解建立坐标系如图第104页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三这一薄层水的重力为功元素为(千焦)第105页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三第106页，共113页，2022年，5月20日，22点2分，星期三等份，每个小区间的长度为由于连续，所以当足够大时，我们可把在区间上看作常数，先把区间用分点第107页，共113页，202