集合、三角函数知识点及习题

1、第一讲一、要求：回归“课本”回归“基础”回归“高考题”二、主要内容1、集合（1）基本知识点1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：.元素的确定性；.元素的互异性；.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了

2、确定性和整体性。3、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例：x|x2=54、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋大西洋印度洋北冰洋1.用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员B=123452集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性

3、描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是x?R|x-32或x|x-32二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA2.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。3“相等”关系(55，且55，则5=5)实例：设A=x|x2-1=0B=-11“元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合

4、B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。A?A真子集:如果A?B且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果A?BB?C那么A?C如果A?B同时B?A那么A=B三、集合的运算1、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作：AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB2交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB3、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），

5、由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作：CSA即CSA=x?x?S且x?A（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（3）性质：CU(CUA)=A(CUA)A=(CUA)A=U4、交集与并集的性质：AA=AA=AB=BA，AA=AA=AAB=BA.（2）题海捞金1若x|x2a，aR，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，x2a有解，故a0.答案：a02已知集合Ay|yx22x1，xR，集合Bx|2x5，集合Bx|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：命题“xA

6、”是命题“xB” 的充分不必要条件，AB，a5.答案：a0，Bx|x1，则AUB_.解析：UBx|x1，AUBx|0 x1答案：x|0 x16(2012年高考全国卷改编)设集合A4,5,7,9，B3,4,7,8,9，全集UAB，则集合U(AB)中的元素共有_个解析：AB4,7,9，AB3,4,5,7,8,9，U(AB)3,5,8答案：37已知集合M0,1,2，Nx|x2a，aM，则集合MN_.解析：由题意知，N0,2,4，故MN0,2答案：0,28(原创题)设A，B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB，已知Ax|0 x2，By|y0，则AB_.解析：AB0，)，AB0,2，所以AB(2，)答

7、案：(2，)9(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30 x=3，喜爱篮球运动但10已知函数f(x) eq r(f(6,x1)1)的定义域为集合A，函数g(x)lg(x22xm)的定义域为集合B.(1)当m3时，求A(RB)；(2)若ABx|1x4，求实数m的值解：Ax|1x5(1)当m3时，Bx|1x3，则RBx|x1或x3，A(RB)x|3x5(2)Ax|1x5，ABx|1x4，有4224m0，解得

8、m8，此时Bx|2x4，符合题意2、基本初等函数（三角函数）、三角恒等变换（1）基本知识1、角的概念的推广与弧度制2、正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式3、正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式4、函数f(x)Asin(x)的图像（2）题海捞金1点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21顺时针方向运动eq f(,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为_解析：由于点P从(1,0)出发，顺时针方向运动eq f(,3)弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(coseq f(2,3)，sineq f(2,3)，即Q(eq f(1,2)，eq f(r(3),2)答案：(eq f(1,2)，eq f(r(3),2)2设

9、为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是_taneq f(,2)sineq f(,2)coseq f(,2)cos2解析：为第四象限角，则eq f(,2)为第二、四象限角，因此taneq f(,2)0恒成立，应填，其余三个符号可正可负答案：3(2008年高考全国卷改编)若sin0，则是第_象限的角答案：三4若coseq f(3,5)，(eq f(,2)，)，则tan_.解析：coseq f(3,5)，(eq f(,2)，)，所以sineq f(4,5)，taneq f(sin,cos)eq f(4,3).答案：eq f(4,3)5(2009年高考北京卷)若sineq f(4,5)，tan0，则

10、cos_.解析：由sineq f(4,5)0知，是第三象限角，故coseq f(3,5).答案：eq f(3,5)6若sin(eq f(,6)eq f(3,5)，则cos(eq f(,3)_.解析：cos(eq f(,3)coseq f(,2)(eq f(,6)sin(eq f(,6)eq f(3,5).答案：eq f(3,5)7(2009年高考广东卷改编)函数y2cos2(xeq f(,4)1是_最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为eq f(,2)的奇函数最小正周期为eq f(,2)的偶函数解析：y2cos2(xeq f(,4)1cos(2xeq f(,2)sin2x，T，且

11、为奇函数答案：8(2009年高考江西卷改编)若函数f(x)(1eq r(3)tanx)cosx，0 xeq f(,2)，则f(x)的最大值为_解析：f(x)(1eq r(3)eq f(sinx,cosx)cosxcosxeq r(3)sinx2sin(xeq f(,6)，0 xeq f(,2)，eq f(,6)xeq f(,6)eq f(2,3)，当xeq f(,6)eq f(,2)时，f(x)取得最大值2.答案：29已知函数f(x)asin2xcos2x(aR)图象的一条对称轴方程为xeq f(,12)，则a的值为_解析：xeq f(,12)是对称轴，f(0)f(eq f(,6)，即cos0

12、asineq f(,3)coseq f(,3)，aeq f(r(3),3).答案：eq f(r(3),3)10(2009年高考湖南卷改编)将函数ysinx的图象向左平移(00)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为_解析：因为f(x)eq r(3)sinxcosx2sin(xeq f(,6)，f(x)的图象向右平移个单位所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为eq f(5,6).答案：eq f(5,6)12如图是函数f(x)Asin(x)(A0，0，)，xR的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为_函数f(x)的最小正周期为eq f(,2)；函数f(x)的振幅为2eq r(3)；函

13、数f(x)的一条对称轴方程为xeq f(7,12)；函数f(x)的单调递增区间为eq f(,12)，eq f(7,12)；函数的解析式为f(x)eq r(3)sin(2xeq f(2,3)解析：据图象可得：Aeq r(3)，eq f(T,2)eq f(5,6)eq f(,3)T，故2，又由f(eq f(7,12)eq r(3)sin(2eq f(7,12)1，解得2keq f(2,3)(kZ)，又，故eq f(2,3)，故f(x)eq r(3)sin(2xeq f(2,3)，依次判断各选项，易知是错误的，由图象易知xeq f(7,12)是函数图象的一条对称轴，故正确，函数的单调递增区间有无穷多

14、个，区间eq f(,12)，eq f(7,12)只是函数的一个单调递增区间，由上述推导易知正确答案：13设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，eq r(3)sin2xm)(1)求函数f(x)的最小正周期和在0，上的单调递增区间；(2)当x0，eq f(,6)时，f(x)的最大值为4，求m的值解：(1)f(x)ab2cos2xeq r(3)sin2xm2sin(2xeq f(,6)m1，函数f(x)的最小正周期Teq f(2,2).在0，上的单调递增区间为0，eq f(,6)，eq f(2,3)，(2)当x0，eq f(,6)时，f(x)单调递增，当xeq f(,6)时

15、，f(x)取得最大值为m3，即m34，解之得m1，m的值为1.三、实战演习1集合A3，log2a，Ba，b，若AB2，则AB_.解析：由AB2得log2a2，a4，从而b2，AB2,3,4答案：2,3,42(2009年高考江西卷改编)已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为_解析：UAB中有m个元素，(UA)(UB)U(AB)中有n个元素，AB中有mn个元素答案：mn3(2009年高考重庆卷)设Un|n是小于9的正整数，AnU|n是奇数，BnU|n是3的倍数，则U(AB)_.解析：U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B3,6，AB1

16、,3,5,6,7，得U(AB)2,4,8答案：2,4,84定义ABz|zxyeq f(x,y)，xA，yB设集合A0,2，B1,2，C1，则集合(AB)C的所有元素之和为_解析：由题意可求(AB)中所含的元素有0,4,5，则(AB)C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：185(2009年高考全国卷改编)若eq f(,4)xeq f(,2)，则函数ytan2xtan3x的最大值为_解析：eq f(,4)x1，令tan2x1t0，则ytan2xtan3xeq f(2tan4x,1tan2x)eq f(2(t1)2,t)2(teq f(1,t)2)8，故填8.答案：86(2010

17、年烟台质检)函数f(x)sin2x2cosx在区间eq f(2,3)，上的最大值为1，则的值是_解析：因为f(x)sin2x2cosxcos2x2cosx1(cosx1)22，又其在区间eq f(2,3)，上的最大值为1，可知只能取eq f(,2). 答案：eq f(,2)7已知sinx2cosx，则sin2x1_.解析：由已知，得tanx2，所以sin2x12sin2xcos2xeq f(2sin2xcos2x,sin2xcos2x)eq f(2tan2x1,tan2x1)eq f(9,5).答案：eq f(9,5)8(2010年南京调研)coseq f(10,3)_.解析：coseq f(10,3)coseq f(4,3)coseq f(,3)eq f(1,2).答案：eq f(1,2)9(2010年西安调研)已知sineq f(3,5)，且(eq f(,2)，)，那么eq f(sin2,cos2)的值等于_解析：coseq r(1sin2)eq f(4,5)， eq f(sin2,cos2)eq f(2sincos,cos2)e