正方形的判定和性质

1、18.2.3正方形知识与技能I知识与技能I理解并运用正方形的定义计算和证明.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.过歼与方法I经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.重点】正方形性质和判定定理的应用.重点】正方形性质和判定定理的应用.难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.教师准备】学生准备】教学中出示的教学插图、问题和例题.复习平行四边形、矩形、菱形的定

2、义、性质和判定.教师准备】学生准备】教学中出示的教学插图、问题和例题.复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.匡1教学过程1新课导入导入一:过渡语前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，现在请同学们回忆学过的内容，回答下面的问题.(1)教具(几何画板)演示:如图所示，改变ZB(1)教具(几何画板)演示:如图所示，改变ZB的大小，平行四边形ABCD的形状随之发生变化.当ZB为直角时，这时的图形是形;我们平移边CD，改变BC的大小，矩形ABCD的形状随之发生变化.当BC=CD时，图形是形.(2)如图所示，我们平移边CD，改变BC的大小，平行四边形ABCD的形状随之发生变化.当

3、学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识,回答上面的问题.学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识,回答上面的问题.设计意图正方形是学生熟悉的几何图形,小学已经学过,这里让学生从动态的角度出导入二:八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让她看另一组对角是否对齐,她还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让她检验,她终于买下这块纱巾,你认为她买的这块纱巾是正方形的吗?当时采用什么方法可以检验出来?学了这节后,你就会做出准确的判断了.设计意图将数学问题融入生活情境,拉近了

4、学生与数学之间的距离,激发学生研究正方形的积极性.图形是矩形？图形是菱形？图形是正方形?什学生讨论,回答.在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形图形是矩形？图形是菱形？图形是正方形?什学生讨论,回答.在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形.正方形的认识思路一过渡语结合上面的演示,请同学们回答下面的问题:什么样的图形是平行四边形？什么样的什么样的么样的过渡语前面我们形,请同学们回答下面的学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定，小学认识过了正方问题.正方形与矩形有怎彳过渡语前面我们形,请同学们回答

5、下面的学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定，小学认识过了正方问题.正方形与矩形有怎彳正方形与菱形有怎正方形、平行四边样的关系？样的关系?形、矩形、菱形有怎样的关系?感受特殊与一般的关系.思路二学生观察、思考、交流.生1:正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形.生2:正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形.教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图.总结:正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系,解释下面的问题吗?追问:正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢?学生思考,回答:正方形既是矩形,又是菱形.设计意图结合图形

6、的演示,让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义,理解正方形的定义,体会它们之间的联系与区别,把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢?学生动手折叠、思考、交流.(1)由折叠得所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等.有三个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,所以裁出的纸片是正方形.(2)要使裁出的四边形是最大的正方形,只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即可.教师总结:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.设计意图结合图形的折叠,让学生归纳得出有

7、一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系,感受特殊与一般的关系.正方形的性质过渡语上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.思路一正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):平行四边形有哪些性质?图形对边对角图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形，有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分，每条对角线平分一殂对

8、角轴对称图形，有两条对称轴正方形平行、四条边都相等四个角都是直角互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一纟R对角轴对称图形，有四条对称轴分小区船晋驟整理所学的性质:设计意图让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质在此基础上理解正方形的性质,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.思路二正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来,并与同桌交流.学生梳理总结得:正方形设计意图让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质,体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质,有助于这些知识的正确运用.正

9、方形的判定思路一提问:怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来.学生自由发言.教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法:定义法:有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形.矩形法:有一组邻边相等的矩形是正方形.菱形法:有一个角是直角的菱形是正方形.思路二既然正方形是特殊的图形,那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑:满足什么条件的矩形是正方形?你有哪些方法?类似地,如何通过菱形和平行四边形来判定正方形?教师深入学生中,督促学生积极探索交流,了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.派学生代表走向讲台进行总结发言,并鼓励其他学生大胆提问.师进一步归纳正方形的

10、判定方法.知识?拓展(1)平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表：图形定义判定平行四边形两组对边分别平行的四边形两组对两组对3对角线4.一组对边分别相等的角分别相等的互相平分的匹边平行且相等J四边形J四边形边形；的四边形矩形有一个角是直角的平行四边形1对角线相等的平行匹2有三个角是直角的匹边形边形菱形有一组邻边相等的平行四边形1对角线2.四条边互相垂直的平相等的四边形:行四边形正方形有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形1有一个有一组有一个四边形角是直角的菱形邻边相等的矩形角是直角，有一组邻边相等的平行42例对讲互相垂直平分且相等的四边形是正方形过渡语上面我们研究了正方形的定

11、义、性质和判定，下面我们举例说明它们的应用.角形.（教材例5）求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:如图，四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:AABO,BCO,CDO,DAO是全等的等腰直角三角形.师生分析:利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.学生独立完成解题过程.一生板书:证明：J四边形ABCD是正方形，.AC=BD,AC丄BD,AO=BO=CO=DO.ABO,BCO,CDO,DAO都是等腰直角三角形，并且ABOABCOACDOADAO.（1）求证AOD今EOC；

12、（2）连接AC,DE,当ZB=ZAEB=。时，四边形ACED是正方形请说明理由.师生共同分析：（1）根据题意可得ZADC=ZOCE,ZDAO=ZOEC,OC=OD,所以AODEOC.当ZB=ZAEB=45时,根据AODEOC,先证明四边形ACED是平行四边形，再根据ZCOE=ZBAE=90。，得到平行四边形ACED是菱形,AB=AE,AB=CD,故AE=CD,从而可知菱形ACED是正方形.学生独立写出过程后,教师重点指导第（2）问的解答过程.证明：（1）T四边形ABCD是平行四边形，.ADBC.ZADC=ZOCE,ZDAO=ZOEC.又TO是CD的中点，.OC=OD.AODAEOC.解：（2）

13、如图，当ZB=ZAEB=45。时，四边形ACED是正方形.理由如下：/AODEOC,.OA=OE.又-OC=OD,四边形ACED是平行四边形.VZB=ZAEB=45,.AB=AE,ZBAE=90.四边形ABCD是平行四边形，.ABCD,AB=CD.ZC0E=ZBAE=90.平行四边形ACED是菱形.AB=AE,AB=CD,.AE=CD.从而可知菱形ACED是正方形.解题策略探索条件类问题,先看题中的已知条件，根据正方形的判定方法，缺什么就补什么条件,一般从“矩形+一组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.设计意图运用正方形的性质、判定解决有关的问题,培养运用所学知识解题的意识,提高解题能

14、力.陋课堂小结师生共同归纳小结.本节课，我们学习了正方形的性质和判定，弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:AD4检测反馈下列命题是真命题的是()矩形的对角线互相垂直菱形的对角线相等正方形的对角线相等且互相垂直四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等，可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直，可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等，可判断选项C正确；四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.在四边形ABCD中,O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是()AC=BD,ABCD,AB=CDADBC,ZA=ZCAO=BO=CO=DO,AC丄BDAO=CO,BO

15、=DO,AB=BC解析:根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形;根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补，两直线平行”可判定选项B是平行四边形；根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形故选C.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF丄BD于点F,EG丄AC于点G,若AB=10cm,则四边形EFOG的周长是解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形，进而可知矩形EFOG的周长为OD的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5cm.故填10cm.J5板书设计18.2.3正

16、方形正方形的认识正方形的性质正方形的判定4.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第59页练习第1,2,3题;教材第61页习题18.2第7,8题.【选做题】教材第61页习题18.2第12题.二、课后作业【基础巩固】矩形、正方形、菱形的共同性质是()对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分每一条对角线平分一组对角(2015日照中考)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题,从下列四个条件:AB=BC,ZABC=90,AC=BD,AC丄BD中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是()A.B.C.D.3如图，正方形ABCD中，CE丄MN,ZMCE=3

17、5，那么ZANM是（）A.45B.55C.65D.754.如图所示，在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是.5.如图，正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则ZE=【能力提升】6.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,ZOCF=ZOBE.试猜想OE与OF的大小关系，并说明理由.如图，在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ZABC,P是BD上一点，过点P作PM丄AD,PN丄CD,垂足分别为M,N.求证zAdB=zcDb；(2)若ZADC=9

18、0，求证四边形MPND是正方形.【拓展探究】如图，在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分ZBAC,试猜想AB,AC,BE之间的关系,并证明你的猜想.【答案与解析】C（解析:根据图形的性质进行判别即可对角线相等是矩形的特性，对角线互相垂直、每一条对角线平分一组对角是菱形的特性,故选项A,B,D错，故选C.）B（解析:A项，四边形ABCD是平行四边形，.当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当ZABC=90。时，菱形ABCD是正方形，故A选项错误;B项，四边形ABCD是平行四边形，.当ZABC=90。时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，无法得出四边形ABCD是正方形，故B选项正确;C项，四边形ABCD是平行四边形，.当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故C选项错误;D项，四边形ABCD是平行四边形，.当ZABC=90时，平行四边形ABCD是矩形，当AC丄BD时，矩形ABC