压轴题命题区间(六) 增分点 直线与圆专练

1、增分点7直线与圆专练一、选择题1与直线x+y2=0和曲线x2+y212x1勿+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A(x+2)2+(y2)2=2B(x2)2+(y+2)2=2C(x+2)2+(y+2)2=2D(x2)2+(y2)2=2解析：选D由题意知，曲线方程为(x6)2+(y6)2=18,过圆心(6,6)作直线x+y2=0的垂线，垂线所在直线方程为y=x,则所求的最小圆的圆心必在直线y=x上.又(6,6)到直线x+y-2=0的距离=16+6221=5；2，故最小圆的半径为“J2,圆心坐标为(2,2),所以半径最小的圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.已知直线Z：x+与一1

2、=0(aGR)是圆Czx2+y24x2y+1=0的对称轴.过点A(4,a)作圆C的一条切线，切点为，则ABI=()A.2B.4)2C.6D.2,10解析：选C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,因此2+a-1=0,a=-1,即A(-4,-1),ABI=：AC|2-r2=p(2+4)2+(1+1)2-4=6若曲线y=1+J4x2与直线kxy2k+4=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()1212故实数k的取值解析：选C注意到yM1,曲线y=1+；4x2是圆x2+(y-1)2=4在直线y=1的上方部分的半圆.又直线kx-y-2k+4=0y-4=k(

3、x-2)知恒过定点A(2,4).如图，由B(-2,1),413知kAB=2-(-2)=4,当直线与圆相切时,范围是023_X+yW4,4.已知点P的坐标(x,y)满足y：x,过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交xN1,于A,B两点，则ABI的最小值是()A.26B.4C/6D.2解析：选B根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示.471_-71设点P到圆心的距离为d,求ABI的最小值等价于求d的最大值，易知dmax=寸12+32=；10,所以ABIu2寸14一10=45.已知P是过三点0(0,0),A(1,1),B(42)的圆M上一点，圆M与x轴、y轴的交点(非原点)分别为S,T,则IP

4、SMP71的最大值为()A.25B.50C.75D.100解析：选B设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).F=o,贝D+E+F+2=0,、4D+2E+F+20=0,解得D=8,E=6,F=0所以圆M的方程为x2+y28x+6y=0,即(x4)2+(y+3)2=25令y=0,得x28x=0,解得x=0或x=8令x=0,得y2+6y=0,解得y=0或y=6所以S(8,0),T(0,6).而圆心(4,一3)在直线ST上,所以PS丄PT即IPSI2+PT|2=(2r)2=100.所以IPSIIPTI1(IPS|2+IPT|2)=50.所以(PSIIPTI)=50.max6

5、.(2018合肥质检)设圆兀2+y2_2r_2y_2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点，若IABI=2；3，则直线l的方程为()3x+4y_12=0或4x_3y+9=03x+4y_12=0或兀=04x_3y+9=0或兀=03r_4y+12=0或4r+3y+9=0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,计算出弦长为2：3,符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2”J3可知，圆心到该直线的距离为1,从而有到该直线的距离为1,从而有Ik+2I2+1=1,解得k=4，所以直线l的方程为3x+4y-12=0综上，直线l的方程为x=0或

6、3x+4y-12=0.7.若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2+y2+2r4y_7=0相交于两点A,B,且ZACB=60(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A.4x_3y_5=0B.x=2或4x_3y_5=0C.4x_3y+5=0D.x=2或4x_3y+5=0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(-1,2)，半径为2.3因为ZACB=60。，所以ABC为正三角形，边长为2竹，所以圆心C到直线l的距离为3若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3,满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设ll的斜率存在，不妨设l:y-1=k(x-2)，则圆心C到直线l的距离d

7、=I3k+1IXk2+1=3，解得k4=3,所以此时直线l的方程为4x-3y-5=0.8已知直线x+y_k=0(k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点，且有IOA+OBIMIilF|，那么k的取值范围是()A.&3,+8)B.五，+8)C.h-2,2-J2)D.h3,2边)解析：选C当IOA+OBBI=33|Ag|时，O,A,B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA=OB,NAOB=120。，从而圆心O到直线x+y-k=0(k0)的距离为1,此时k=远.当无)2时，idf+OBl33|J|又直线与圆兀2+护=4有两个不同的交点，故无2远，综上,k的取值范围为V2,2/2).9

8、.若圆(x3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1则半径r的取值范围是()A.(4,6)B.4,6C.(4,5)D.(4,5|m+2|解析：选A设直线4x-3y+rn=0与直线4x-3y-2=0间距等于1则有厂=1,m=3或m=-7.圆心(3,-5)到直线4x-3y+3=0的距离等于6,圆心(3,-5)到直线4x-3y-7=0的距离等于4,因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6).10.已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1),且被y轴分成两段弧，弧长之比为2：1,则圆的方程为()此罟)2此罟)2+护=3解析：选C法一：(排除法)由圆心在x轴上，可排除A、B

9、,又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1,排除D,选CyByB法二：(待定系数法)设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,圆C与y轴交于A(0,1),B(0,-1),*1TI1由弧长之比为2：1,易知ZOCA=1ZACB=1X120=60,则tan60=而=而，所以a=IOCa=IOCI=，即圆心坐标为(，0),r2=ACI2=12+4=3所以圆的方程为+y2=411.已知圆O：x2+y2=1,圆m：(xa)2+(ya+4)2=1若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,使得ZAPB=60,则实数a的取值范围为.解析：如图，圆O的半径为1,圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，

10、切点为A,B,使得ZAPB=60,则NAPO=30,在RtPAO中，IPOI=2,IPOI.=IMOI1,IPOI=IMOI+1,minmax|MOI=；a2+(a-4)2,由Ja2+(a-4)2-1W2W、Ja2+(a-4)2+1,解得2乎WaW2+#答案:I?，2+12.已知圆O：兀2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点，则当OPQ的面积最大时，直线l的方程为()兀一y3=0或7xy15=0 x+y+3=0或7x+y15=0 x+y3=0或7xy+15=0 x+y3=0或7x+y15=0解析：选D当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,5),(

11、2,-V5),所以S“pq=2X2X2、/5=275当直线l的斜率存在时，设l的方程为y-1=k(x八99-丿2=2，当且仅当9-d2=d2，即d2=2时，S,则圆心到直线PQ的距离d=2,又PQ八99-丿2=2，当且仅当9-d2=d2，即d2=2时，S=2x2丽五心=陌二d20W9-d2+d29l994k24k+19OPQ取得最大值2因为2诟2,所以SgpQ的最大值为2此时k2+1=9,解得k=-1或k=-7,此时直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0.二、填空题13.在平面直角坐标系xOy中，若圆(x2)2+(y2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=

12、0上，则实数k的最小值为.解析：法一：由题意，设M(2+cos0,2+sin0),则N(2+cos,-2-sin0),将N的坐标代入kx+y+3=0,可得sin0-kcos0=2k+1.因为sin0-kcos0=k2+1sin(0),其中tantp=k,所以I2k+1IW：k2+1，即3k2+4kW0,解得一fwkW。，故k的最小值为一43-法二：圆(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.问题转化为直线Ax+y+3=0与圆(x-2)2+(y+2)2=1有公共点N.12k2+31|所以2+1W1,即l2k+HWk2+l,4解得一gWkwo,4故k的最

13、小值为一3.答案：一414.(2016全国卷III)已知直线l：x-j3y+6=0与圆x2+y2=i2交于A,B两点，过A,B分别作B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则ICDl=.:k=，:ZBPD=30,AB3从而NBDP=60在RtABOD中，OBI=2V3,ODI=2取AB的中点H,连接OH,则OH丄AB,OH为直角梯形ABDC的中位线，OCI=ODI,ICDI=2IODI=2X2=4答案：415.已知A(2,0),B(0,2)，实数k是常数，M,N是圆x2+y2+kx=0上不同的两点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点，如果M,N关于直线xy1=0对称，则APAB面积的最大值是.解析：由题意知圆心(一20在直线xy1=0上，所以一1=0,解得k=2,得圆心的坐标为(1,0)，半径为1又知直线AB的方程为xy+2=0,所以圆心(1,0)到直线AB的距离为昭，所以AB的距离为昭，所以APAB面积的最大值为2x22X（1+32）=3+诂2.答案：3+远16.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切，已知直线