线性空间综述

1、线性空间相关定义简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集 合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是 任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。域的概念：设F是一个非空集合，在F中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算 对F来说是封闭的，也就是说，对F中的任意两个元素a，b，a+b和ab仍 属于F，如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称 F对所规定的加法和 乘法运算作成一个域：（加法交换律）对F中任意两个元素a，b，有a+b=b+a（加法结合律）对F中任意三个元素a，b， c，有（a+b）+c=a+（b+c）（存在0元）F中存在一个元素，我

2、们把它记作0，使得对F中的任 意元素a，有a+0=a（存在负元）对F中的任意元素a，在F中存在一个元素，我们把它 记作-a，有a+（-a）=0（乘法交换律）对F中任意两个元素a，b，有ab=ba（乘法结合律）对F中任意三个元素a，b，c，有（ab）c=a（bc）（存在单位元）F中存在一个乏0的元素，我们把它记作e，使得对F 中的任意元素a，有ae=a（存在逆元）对F中任意乏0的元素a，在F中存在一个元素，我们 把它记作a（因为这里显示不了 a的负一次方，所以用a代替），有aa=e（乘法对加法的分配律）对F中任意三个元素a，b，c，有 a（b+c）=ab+ac常见的域有：复数域C、实数域R、有理

3、数域Q，但是自然数集N和整数 集Z都不是域。线性空间定义：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代 数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于 V中任意两个元素x 和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为 z=x+y .在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法； 这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一 个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法 还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间.V对加法成Abel群，即满足：(交换律)x+y=y+x ；(2 )(结合律)(x+

4、y ) +z=x+ ( y+z )(3 )(零元素)在V中有-兀素0, 对于V中任- 元素 x 都有 x+0= x；(4 )(负元素)对于V中每一个元素x,都有V中的元素y,使得x+y=0 ；数量乘法满足：1x=x ；k(lx) = (kl)x ；数量乘法和加法满足：(k+l) x=kx+lx ；(8 ) k (x+y) =kx+ky .其中x, y, z为V中任意元素，k, l为数域F中的任意元素，1是F的 乘法单位元。数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量(scalar ) , V中元素称为向量(vector )。当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，

5、V称为 复线性空间。编辑本段简单性质V中零元素(或称0向量)是唯一的。V中任一向量x的负元素(或称负向量)是唯一的。kx=0 (其中k是域F中元素，x是V中元素)当且仅当k=0或x=0。(-k)x=-(kx)=k(-x)。编辑本段例子域F上mXn矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。复数域C是实数域R上的线性空间。域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。首先说说空间（sp皿功 这个概念是现代数学的偷根子之一，从拓扑空间开始， 步步往上加定义.可以形成很多空间.线形空间M实还是比较初坡的.如果在里 面定义了范数，

6、就成了赋范线性空间.吼范级性空间褊足完备性，说成了巴那赫 空间；唏范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内相空间再满足完备性就 得到希尔伯特空间.克之，空间有很多神。你耍是去看某种空何的数学定义，大致都是“存在一个集 合，在这个集介上定义某某.概念.然后满足某些性质七就可以皴称为空间，这 未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，咒 实这是很有道魁的，我们一般人最熟悉的空间，亳无疑同就是我们生活在其中的（按照牛顿的始对时 生观）的三维生PL从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那 么务 先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点，仔细想想我们就 会

7、知道，这个三维的空间m L由很多（实际上是无穷多个）位置点泪成；2.这 些点Z间存在相对的关系 3.可以在空间中定义长度、角度，4.运个空间可以 容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到为一个点的移动（变换），而不是 微积分意义上的懂埃叫生的运动，上面的这些性质中，炭最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算 是空间特有的性瓜 凡是讨论数学问题，都得有一个集侣 大务数还得在这个集 合上定义一些站构（关系），并不是说有了这些就算是空间&而第3条太特殊，11： 他的空间不需要具备，更不是关键的性质.，只有第4条是空间的本质，也就是说, 容纳运动是空间的本质特征。认识到了这些，我们就可以把

8、我们关丁三舞空间的认识扩展到JE他的空间原事实 上，不管是什么空匝 都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。 你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空拓 冲交跖 线性空间中有线性变换仿射空间中有仙射变换,M实这些变换都只 不过是对成空间中允许的运动形式而已&因此只要知道，“空间分是容纳运动的一个对彖集而变换则规定了对应空间的 运动弓Tm-Mi来看看线性空间，纹性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承 认线性空间是个空间,那么有两个最基本的问砸必须首先得到解决，那诫是：空而是一个对泉集合，线性空间也是空间，所以也是一个对窸集合。那么线 性空间是什么样的对象的集

9、合？或者说.线性空间中的对象有什么共同点吗？线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问踱，回答这个问题的时候M实是不用拐弯抹角的可以直 楸了当的给出答案，线性空间中的任何一个时象.通过选取基利坐标的办怯，都 可以表达为向M的形式湖常的向址空间我就不说了 举两个不那么平凡的例子, LL最高次项不大丁,n次的多项式的全体枸成一个线性空何，也就是说，这个线 性空间中的旬一个对象是一个多项式c如果我们以x，x，为基，那么任何 一个这样的多项式都可以表达为一组ml雄向此 其中的每一个分址如其实就是 多项式中W项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那

10、一组基线性无关就可以这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下 而己缶L2.闭区间1句上的n阶建续可微函数的全体，鞫成一个线性空间。也就是说， 这个线性空间的每一个对象是一个连续函数访河丁M中任何一个连续函数，根据 观尔斯特拉斯定他一定可以找到最高沃项不大丁的多项式函数，使之与该连 续函数的差为0,也就是说J完全相等备这样就把间题归结为LIT.后而就不用 再至务了口所以说，向址是很厉击的，只要你找到介适的基，用向扯可以表示线性空间里任 何一个对象C这里头大有文章，困为向量表面上只是一列敖，但是M实由丁它的 有序性，所以除了这些数本身携带的信息Z外，还可以在何个数的对应位置上携 带信息。为

11、什么在程序设计中数组最简单.却又成力无窝呢？根本原因就在丁此。 这是另一个问厩了，这里就不说了。下面来回答第二个问踱J这个问厩的回答会涉及到绶性代数的一个最根本的何 鼠技性空间中的运动，被称为线性交换也就是说，你从线性空间中的一个点运动 到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，城性变换如何去 示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以川一个向械 来描述空间中的任何一个井家，而旦可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运 动（变换人而使某个对象度生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阳 乘以代表那个对每的向址3简而言Z,在统性空间中选定基之后.向M刻画对盆，矩阵到画肘

12、敬的运动J 用矩阵与向址的乘法施加运动是的，知阵的本质是近动的描述，如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以 响亮地&诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh说你呢！）可是多么有意思啊，向址本身不是也可以百成是心1知:阵吗？这实在是很奇妙, 一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示-皑说这是巧仆吗？加果 是巧介的话，那可真是幸运的巧企：可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均 与这个巧合有直接的关系凸接若理解矩阵，上一篇里说,知:阵是运动的描述七到现在为止.好像大家都还没什么意见，但是 我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在教学和物理 里是跟微租分联系在一起的“

13、我们学习微积分的时候区会有人照本宣料地古诉 你,初等数学是研究常址的数学，是研究珅态的笙学，高.等敖学是变量的数学 是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话.但是真知道这句 话说的是什么意思的人，好像也不多，简而言之，在我们人类的经您里，运动是 一个连续过程，从A点到日点，就算走得最快的光j也是需要一个时间来亟点 地经过AB之间的路札 这就带来了连续性的概家 而连续这个事情如果不定 义极限的框念，根本就鄙释不了。占希腊人的敖学非常强但就是缺乏极限.观念, 所以解释不了运动，被芝诺的那些菩名忡论（飞箭不动、飞毛腹阿喀琉斯雹不过 乌伯等四个悼论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分

14、的.所以我就不多 说了，有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的g重温微积分族我就是读了这 本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道班。不过在我这个理解矩阵的文章里.噬动”的;概念不是微积分中的连续性的运 动，而是瞬间发生的变化比如这个时刻在A点，经过一个,运动七一下子就览: 堂”到了 B点，业冲不需要经过A点与B点之间的任何一个点臼这样的,运动七 或者说“跃迁七是迎反我们日常的经验的。不过了解一点扯子物迎常识的人，就 会立刻指出,扯子（例如电子）在不回的能是缓孰道上跳既就是戚间发生的， 具有这样一种跃江行为所以说，白然界中并不是没有这种运动现象.只不过宏 观上我们规察不到。但

15、是不管怎么说卜，运动这个词用在这里，还是容易产生歧 义的，说得更确切些，应该是“跃正，因此这句话可以改成工，知阵是线性空间里跃江的描述，可是这样说又大物理？也就是说太具体.而不够数学，也就是说不够抽氛。因此 我们最后魏用一个止牌的数学术语一奁换,来描述这个事情，这样一说，大家 就应该明白了，所谓变孤 H实就是空间里从一个点(元素/时象)到另一个点 (元菊对象)的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一 个点的盼L再比如说，仿射交换，就是在仿射空间里从一个点到兄一个点的跃 迁。附带说一下，这个仿射空间跟向址空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都 知道，尽管描述一个三雄对象只需要三维向

16、址卜但所有的计算机图形学变换知阵 都是4x4的，说H源凯 很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就 是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际 上是在仿射空间而不是向量空间中讪行的想想看，在向扯空间里相一个向址平 行.移动以后仍是相同的那个向仙，而现实此界等长的两个平行我段当然不能被认 为同一个东西.所以计算机图形学的生存空间卖际上是仿射空间“而仿射变换的 矩阵表示根本就是4x4的.又扯远了，有兴趣的读者可以去看计算机图形学 几何I：具算法详解服一旦我们理浙了“交换”这个概念.矩阵的定义就变成，“矩阵是线性空间里的变换的描述右”到这里为止，我们鹿丁得到了一

17、个看上去比较旋学的定义，不过还耍多说几句。 教材上一般是这次说的，在一个线性空间V里的一个线性变换当选定 组基 乏后.就可以表示为矩阵闵此我们还要说清楚到底什么是线性交换,什么是基, 什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T,使得对丁城 性生间V中间任何两个不相同的时象x利y,以及任意实数和旗 有， T(ax4-by)-aT(x) + bT(y)f那么就称T为线性变换，定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理癖U线性变换究竟是一种什 么样的变换？我们刖才说了，变换是从空间的一个点跃江到刃一个点，而线性变 换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁列另一个线性空间W的、一个点

18、的 运动这句话里蕴含若一层意0就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间 中的另一个点，而旦可以变换到公一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么也 只耍变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换.也就一定可 以用一个让奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变虬一定是 一个线性变换c有的人可能要问，这里为什么要强调TF奇异矩阵？所谓桔奇异, 只对方阵有意* 那么廿方阵的情况冬么样？这个说起来就会比较冗长了，最后 要把线性变换作为一种映射，并旦讨论H：映射性质，以及线性变换的核与像等概 意才能彻辰讲清楚。我觉得这个不算是重点J如果确实有时间的话，以后写一点。 以下我们只探讨鼓常用

19、、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线 性变换。也就是说.下面所说的短阵，不作说明的话，荒是方阡，而且是非奇 异方阵山学习一门学问，最柬耍的是把握主干内容，迅速建立对T这门学问的 整体概念，不必一开始就考忠所有的细传末节和特殊情况，自乱阵脚, 接若往下说，什么是基呢？这个向题在后面还要大讲一番.这里只要把盅吾成是 线性空间里的坐标系就可以了注意是坐标茶 不是坐标值，这两者可是一个，对 立矛盾统一体飞这样一来，噫定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系.就这意思口好，最后我们把矩阵的定义完善如下：“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间+*,只娈我们选定 一组基，那么对

20、丁任何一个线性变换.都能第用一个确定的矩阵来加以描述。” 理解这句话的美洛 在丁把，哦性变换对与“线性变换的一个描述分区别开。一个 是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中.一 个井象可以有多个引用，何个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。 如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。比如有一头猪，你打算给它拍照片J只要你始照相机选定了一个镒头位置那么 就可以给这头猜拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一 个片面的的描述，1*1为换一个犒头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片， 也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描

21、 述，但是又都不是这头猪本身C同样的，对T一个缱性交换.只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来 描述这个线性变挨，换一组基，就得到一个不同的矩阵所有这些矩阵都是这 同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。但是这样的话，间题就来了如果你给说两张猪的照片，我怎么知道这两形照片上 的是同一头猪呢？ I司样的，你蛤我两个矩眸，我怎么如道这两个矩阵是描述的同 一个线性变换呢？如果是同一个殁性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟 了，见面不认诅，岂不成了笑话。好在，我们可以我到I可一个技性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：若矩阡A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为世 定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系h则一定能找到一个非奇异矩阵P, 使得A、B之间满是这样的关系AP丽线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错.所谓 相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵，按照这个定义,同一头猪的 不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明口。而在上简式子里那个矩阵P实就是A矩阵所基丁的基与B矩阵所基丁的