平面向量知识点

1、1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模._(2)零向量：长度为 0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等手 1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向里和的运算上z交换律：a+ b= b+ a; 结合律：（a+b） + c= a + （b+ c）a三箱形法则 方 平打四边膨法刷减法求a与b的相反向量b的和的运算二 &三柏脖法则a b= a+

2、（ b）数乘求实数入与向量a的 积的运算|启|= 12UaJ,当Q0时，入a与a 的方向相同;当 K0时，入a与 a的方向相反:当自0时，a a =0入（aM =（入）a（狂 Ra= 2a+ 阳;入（a+ b） = 2a F ?b3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数人 使得b= 2a.做一做.判断下列四个命题： TOC o 1-5 h z 若 a/b,则 a=b;若 |a|= |b|,则 a=b;若 |a|= |b|,则 a/b;若 a = b,则 |a| = |b|.其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A2.已知O, A, B是平面上的

3、三个点， 直线AB上有一点C,满足2 aC + CB = 0,则OC 等于（） L _A. 2 OA-OBB. -OA+2 OBC.2OA-1OBD. -1oA+fciB3333答案：A要点整合.辨明两个易误点作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点.(2)在向量共线的重要条件中易忽视“aw0”，否则 入可能不存在，也可能有无数个.三点共线的等价关系 ff .、. 一 , 一A, P, B 三点共线？ AP= ?AB（注 0）? OP=（1t） OA+tOB（O 为平面内异于 A, P, B 的任一点，te R）? OP=xOA+yOB（O为平面内异于 A, P, B的任一点，x

4、C R, yCR, x +y=1）.做一做 .一 f.若菱形ABCD的边长为2,则|AB CB + CD|=解析：AB-OB+(5D|=|;AB + IBC + (CD|=|yAD|=2.答案：2.已知a与一b是两个不共线向量，且向量a+不与一(b3a)共线，则入的值为解析：.a+不与一(b3a)共线，存在实数 丛使a+ ?b= M3ab),1 = 3W入=一的一 一 1答案：-Z3考点一 平面向量的有关概念 有向线段就是向量，向量就是有向线段;向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反;向量AB与向量CD共线，则A、 如果a / b, b/ c,那么a / c. 以上命题中正确的个数为 (

5、)A. 1C. 3B、B.D.C、D四点共线;解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b=0时，则a与c不一定平行.答案D规律方法对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐 标表不；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向 量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负

6、实数，故可以比盘大小.QEO 1.设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0;若a与a。平行，则a = |a|a。；若a与a。平行且|a|= 1,则a = a。.上述命题中，假命题的个数是()B. 1D. 3A. 0C. 2解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a=- |a|ao,故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.考点二平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点.常以选择题、填空题的形式出现

7、.高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求已知向量的和；(2)用已知向量表示未知向量；(3)求参数的值.卜(2014高考课标全国卷 I )设D, E, F分别为 ABC的三边BC, CA, AB的中点，则 Eb+fc = ()A. BCC.ADi - B-AD 2i -D.BC. 2 Eq i f i _解析如图，EB+FC = EC+CB+FB + BC= EC + FB = q(AC+AB) =万, 2AD = AD答案C规律方法(i)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基

8、本向量表示某个向量问题的基本技巧是：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.2.(i)(20i5 福建福州质量检测)在 4ABC 中，Ad=2 DC , BA = a, BD=b,BC=c,A.C.则下列等式成立的是c= 2b a3a bc=2()B.D.c= 2a b3b a c= 2 2(2)在 ABC中，已知D是AB边上一点，若Ad=2 DB, Cb = iCA+ CB,入等于()32A3- iC.-3iB.3-2D.-3解析：(i)选 d.因为在 abc 中，BC = Bb + bC = Bb +2Ab = Bb +：(而一BA) =|bD -2BA,所以

9、 c=|b-aD分别作AC, BC的平行线，分别交 BC, AC于点F,巳(2)选A.如图所示，过点,.CD = CE + CF. ad=2 DB,CI/cA, Cf=|cb,故Cd=1cA+3cB,入=争考点三.平面向量共线定理的应用已知非零向量ei, e2不共线.(1)如果AB=ei + e2, BC=2e+8e2, CD = 3(ei-e2),求证：A、B、D 三点共线;(2)欲使kei + e2和ei+ke2共线，试确定实数 k的值.解(i)证明：AB = ei + e2,f a .。 -BD = BC + CD = 2ei + 8e2 + 3ei 3e2= 5(ei + e2)= 5

10、AB,AB与bd共线，且有公共点b,A、B、D三点共线.（2） kei+ e2 与 ei+ ke2 共线，存在 % 使 ke + e2= Xei + ke2）,则（k ei =（入b 1）e2.由于ei与e2不共线,只能有k-入=0,入 k i=0,k= .规律方法(i)证明三点共线问题，可用向量共线解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数比 入2,使为a+尬b=0成立，若 a+尬b=0,当且仅当入i=?2=0时成立，否则向量 a、b不共线.3.已知向量 a=2e1 3e2, b= 2ei + 3e2

11、,其中 ei、e2不共线，向量 c=2ei 9e2.问是否存在这样的实数入(1,使向量d=后+位与c共线？解：.d= X2ei-3e2)+ M2ei + 3e2)=(2 2 力 ei + ( 33 p)e2,要使d与c共线，则应有实数 k,使d= kc,即（2 计 2 6ei + （3 计 3p）e2=2kei-9ke2,2入+ 2尸2 k,即一一 3 ZH- 3 心=9k,故存在这样的实数 卜的只要入=-2,就能使d与c共线.名师讲坛素养提升;拓版升华触美豪通，学生用书P79)考题溯源平面向量的线性运算(20i4高考福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四 边形abcd所在平

12、面内任意一点，则 OA+OB + OC + OD等于() A.OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM解析因为点M为平行四边形 ABCD对角线的交点，所以点 M是AC和BD的中点， 由平行四边形法则知 Oa+(5c = 2(5m, Ob+Od = 2(5m,故OA+oC + OB + oD=4oM.答案D考题?源本考题是由教材人教 A必修4 P92第ii题“已知？ABCD的对角线AC和 BD相交于O,且oA=a, OB = b,用向量a、b分别表示向量Oo, OD, DC, BC.”改编而h i.(20i3高考四川卷改编)在平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD交于点 TOC o 1-5 h

13、 z o, ab+Ad= AO,则入=()A. iB. 2C. 4D. 6解析：选b.由向量加法的平行四边形法则，得 Ab+Ad = Ac.又 O 是 AC 的中点，AC=2AO, AC = 2Ao,. AB+AD = 2AO.一 一 一 一又AB+ AD = AO , ,入=2.一 ，一 ， i 一 ,，一 一一，一 .一一 一P是 ABC内的一点，AP=0(AB+AC),则 ABC的面积与 ABP的面积之比为()3 TOC o 1-5 h z A. 2B. 33C，2D. 6解析：选 b.由ap=3(aB+ac),得 3AP=AB+A6,，r -AP +(AP-AB)+ (AP -AC)=

14、0.所以m+PC+PA= 0, P是4ABC的重心.所以ABC的面积与4ABP的面积之比为3.以竦促学总技提能f知能训练-轻松闯关).给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；* = 0(函实数)，则入必为零；(4)入为实数，若 ？a= pb,则a与b共线. TOC o 1-5 h z 其中错误的命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选C.(1)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；(2)正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数,故可以比较大小；(3)错误，当a= 0时，不

15、论(4)错误，当入=尸0时，入2. (2015福建四地六校联考点，且 2 Op=2 Oa+Ba,则(入为何值，入a= 0;a= pb= 0,此时, )已知点O, A,a与b可以是任意向量.B不在同一条直线上，点 P为该平面上一A.点B.点 C.点D.点解析： 线上，故选P在线段AB上P在线段AB的反向延长线上P在线段AB的延长线上P不在直线AB上选B.因为2 OP = 2 OA+Ba,所以2 B.AP = BA,所以点P在线段AB的反向延长.一 . . 二 一3.如图，已知 AB=a, AC=b, BD = 3 DC,用a, b表示AD,则AD = ()A. a+3b 4C.1a + 1b44

16、13Bqa +4b31Da +4b解析：选 b. . CB=AB AC=ab,又BD = 3 DC,.cd=4c B = 4(a-b),. AD = AC + CD = b+4(a_b)=1a+4b.4.若A, B, C, D是平面内任意四点，给出下列式子：f Y一 一AB+CD = BC + DA;AC+BD= BC+AD;ACBD = DC + AB.其中正确的个数是()A. 0 C. 21D. 3解析：选c.式的等价式是aB-bc=dA-（cd,左边=ab+cb,右边=da+dc,不定相等； 式的等价式是 Ac-Bc=AD-BD, AC+CB = AD+DB=AB成立；式的等价式是ACD

17、C = AB+BD, AD=AD成立.5.如图，在 ABC 中，ZA=60, 一一 .、，,、 一一，一 4 一心 1Y,Z A的平分线交 BC于点D,若AB=4,且AD = AC+ ?AB（代R）,则AD的长为（）A. 2v34 J3解析：选B.因为B, D, C三点共线，所以有13 . 一，4十卜1,斛得甘-,如图，过点D分别作AC, AB的平行线交 AB, AC 于点 M, N,则AN = 1AC, AM = 3AB,经计算得 AN=AM = 3, AD =373. 44.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量 OA, OB, OC, OD满足等式OA +（5c=QB+ob,则四边

18、形 ABCD的形状为 .解析：. OA + Oc=OB+ob,.OA-OB =（5b-Oc, .1. Ba=cd, ba触 cd,四边形ABCD为平行四边形.答案：平行四边形.在？ABCD 中，AB=a, Ab=b, AN = 3NC, M 为 BC 的中点，则 MN =(用 a, b表不).解析：由AN=3 NC,得 4AN=3AC=3(a+b),Am = a+b, TOC o 1-5 h z 111所以 MN = (a+b) a+2b =- 4a + b.答案：一%十%4. (2013高考江苏卷)设D, E分别是 ABC的边 AB, BC上的点，AD=%B, BE = |bC. 若是=众B

19、+ MC ( 为,入2为实数),则出+尬的值为.解析：由题意 DE=BE Bb=2BC1bA=2(ACAB)+1AB= aB+AC, 323263所以4=一6，入2=3, 皿、i 故加+尬=3答案:.在4ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且 GB=2GE, 设届=a, AC=b,试用a, b表示旗)，AG. TOC o 1-5 h z f 1 11解：AD = -(AB +AC)= -a+-b.AG= AB + BG= AB+ -BE= AB + (BA+ BC) 3321 -=AB + (AC-AB)Wm+3品11=酸+/10.设两个非零向量 ei和及不共线.(1)

20、如果BC=3ei+2e2, CD = - 8ei-2e2,求证：A、C、D 三点共线；(2)如果毡=3 + 62, BC=2ei-3e2, CD = 2ei-ke2,且 A、C、D 三点共线，求 k 的值.解：证明：:丽=e1 e2, BC=3ei + 2e2,CD= - 8ei 2e2,AC= AB + BC= 4ei + Q21 -=-(-8ei-2e2)=-2CD，. 品与共线.又AC与CD有公共点 C,.A、C、D三点共线.(2)AC = AB + BC=(ei+e2)+ (2ei- 3e2)= 3ei- 2oz, .A、C、D三点共线，京与无共线，从而存在实数 入使得 品=X3D,即

21、 3ei- 2e2= ei - ke2),第2讲平面向量基本定理及坐标表示薪新后氤云安由，学生用书P80)谍h：及故追根求理知识梳理.平面向量基本定理有且如果ei、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,只有一对实数 N,入2,使a=舱+尬。2.其中，不共线的向量 ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设 a=(xi, yi), b=(x2, y2),则a + b = (xi + x2, yi+y2), a b= (xi X2, yi y,入 a =(入轧入 yi), |a|= /x2+ y2.(2

22、)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(xi , yi), B(x2, y2), 贝UaB = (x2 x，yzy1),|AB|=弋 (x2 xi) 2+ (y2yi) 2.平面向量共线的坐标表示设 a=(xi, yi), b=(x2, y2),其中 bw 0, a / b? xyg x2vi= 0.做一做i,若向量 BA=(2, 3), CA=(4, 7),则 BC=()(-2, - 4)C. (6, i0) 答案：A(2, 4)D. (-6, i0)2.已知 a=(5, 2), b=(-4, 3),若 a-2b+ 3c=0,则 c 等于(8A. i -3

23、i3 4C.不 33答案：Di.辨明三个易误点B.D.i3 83 3i3 4要点整令(i)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的.(2)注意运用两个向量 a, b共线坐标表示的充要条件应为xiy2-x2yi = 0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同, 向量坐标中既有方向也有大小的信息.有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.做一做.已知ei, e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是()A . a= 0, b= ei +

24、 e2a=3ei + 3e2, b=ei + e2a = ei 2e2, b=ei + e2a= ei 2e2, b = 2ei 4e2答案：C4.已知向量 a= (i , m), b=(m, 2),若a/b,则实数 m等于()A.-取 B巾C./或V2D. 0答案：C羸融而;号苗突蕨)，学生用书 P80P81)考点一平面向量基本定理及其应用 33k如图，以向量OA=a,能为邻边作？OADB, BM=；bC, CN=cd,用a, 33. f 一. -Y.b 表小 OM, ON, MN. 一f 士. ZT.解-.- BA=OA-OB = a- b,BM = 1BA =6a-1b,. oM= OB

25、+ BM =1a+6b.,.OD=a+b,.1.On=(Oc +1 1 71 产= 2OD + 60D2一 22=3OD = a+ 3b,-1- MN = ON - OM = a+ b- 3a gb= a 4b 3a 36a 62a 6综上，6M =1a+6b, ON = ；a+2b, MN=2a 6b.规律方法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运 算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平 面几何的一些性质定理.设e1、e2是平面内一组基向量，且a=e1 + 2e2,

26、b = e1 + e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量 a、b的线性组合，即 e + e2=a+b.解析：由题意，设e+e2=ma+nb.因为 a=eI + 2e2, b=e1+e2,所以 e1+e2= m(e1+2e2)+n(e1+e2)=(m- n)e + (2m+ n)e2.由平面向量基本定理，得m n= 1,2m+ n= 1,所以答案:1 n 3.考点二平面向量的坐标运算已知 A(-2, 4), B(3, - 1), C(-3, -4).设AB= a, BC=b, CA = c,且CM= 3c, 0N=- 2b.(1)求 3a+b-3c；(2)求满足a=mb + nc的实数 m

27、, n;(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标.解由已知得 a=(5, 5), b=(-6, 3), c= (1, 8). (1)3a+b-3c= 3(5, 5)+(6, - 3)-3(1, 8) = (15-6-3, - 15-3-24)=(6, -42).3m+ 8n),m= 1,n= 1.2) mb+ nc= ( 6m+ n,6m + n= 5,C ,CL解得3m + 8n = - 5,(3)设O为坐标原点，,CM= OM - O0= 3c,.(5m= 3c+OC = (3, 24)+(3, 4) = (0, 20).一 ， 一 一一M(0, 20),又. CN=ON OC = 2b,.O

28、N=- 2b+O0 = (12, 6) + (-3, -4) = (9, 2),N(9, 2). Mn = (9, - 18).规律方法平面向量坐标运算的技巧若已知有(组)来进行求解,A(1, 1), 0(2, 3),(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的, 向线段防端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程 并注意方程思想的应用.b2.已知O为坐标原点，点 C是线段AB上一点，且|BC|=2|A0|,则向量OB的坐标是 .解析：由点C是线段AB上一点，|B0|=2|A0|,彳#B0=-2A0.设点B为(x,

29、y),则(2x,2x= 2,x= 4,一3-y) = -2(1 , 2),即解得所以向量OB的坐标是(4, 7).3-y=-4,y=7.答案：(4, 7)考点三平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题.高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题. TOC o 1-5 h z (1lSS (1)已知向量 a= 8, 5 , b=(x, 1),其中 x0,若(a 2b)/(2a+b),则 x 的 值为()A. 4B.

30、80. 0D. 2(2)已知点A(4, 0), B(4, 4), 0(2, 6),则AC与OB的交点P的坐标为 .1解析(1)a-2b= 8-2x, 2x-2 , 2a+b=(16 + x, x+1),由已知(a-2b) / (2a+ b),显然 2a+b0,1故有 8-2x, 2x-2 = X (16-x, x+ 1), ICR,8-2x=入(16+x)1?x=4(x0).一2=入(x+ 1)(2)法一：由 O, P, B 三点共线，可设 oP= XDB=(4X, 4入),则第=OPOA=(4L 4, 4入).又 AC=OC OA = ( 2, 6),由 AP 与 AC 共线，得(4 入一4

31、)X64 入X (-2)=0,解得 壮 3,4所以OP=3OB=(3, 3),所以P点的坐标为(3, 3).4法二：设点P(x, y),则OP=(x, y),因为Ofe=(4, 4),且OP与OB共线，所以=岂，即4 4x=y.又Ap=(x 4, y), AC = ( 2, 6),且AP与AC共线，所以(x4)X6yx( 2)=0,解得 x=y= 3,所以P点的坐标为(3, 3).答案(1)A (2)(3, 3)规律方法(1)向量共线的两种表示形式设 a=(xi, y)，b=(x2, y2),a/b? a= ?b(bw0);a/b? xy2x2y1=0,至于使用 哪种形式，应视题目的具体条件而

32、定，一般情况涉及坐标的应用.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值.通若趣蛆，3.(1)已知向量 OA=(1, -3), Ob=(2, -1), Oo=(k+1, k- 2),若 A、B、C三点不能构成三角形，则实数 k应满足的条件是()1A . k= 2B. k= 2C. k= 1D. k= 1(2)(2015河北唐山模拟)设向量a, b满足|a|=2V5, b = (2, 1),且a与b的方向相反，则a的小标为.(3)(2014 高考陕西卷)设 0V 0一-1)-(1, 3)=(1,

33、 2), AC = OC-OA=(k+ 1, k2)(1, - 3)=(k, k+1),1 x (k+1)-2k=0,解得 k= 1.(2)b=(2, 1),且a与b的方向相反,.设 a=(2% 入)(0).,|a|=2相4 入2+先= 20,入 2=4,入=一2.a=(-4, 2).(3)因为 all b,所以 sin 2 9= cos2 0 , 2sin e cos e=cos2 0.一，兀 ,因为 0V 00,得 2sin 0 = cos 0 , tan 8=2一 一1答案：(1)C (2)(4, -2) (3)12名师讲坛素养提升)，学生用书P82)方法思想求向量中的范围、最值问题(解

34、析法)O 给定两个长度为i的平面向量5A和OB,它们的夹角为23-.如图所示，点c在以o为圆心的AB上运动.若OC=xOA + y(OB,其中x, yCR,求x+y的最大值.解以O为坐标原点,则 A(1, Q), B -2,李OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示,设/AOC= a a Q,由 OC=xOA + yOB,1cos a =x 2y得sin a =所以 x= cos a +33sin a ,y=sin a ,所以 x+y = cos a +73sin2 一 _27r 兀一.a =2sin a+石-,又 aC q, -3-,所以当 a= 3-时，x+y取得最大值2.名师点评

35、本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函 数的知识求出x+ y的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法 解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.AM型金 已知|a|=|b|=2, a,b,若向量c满足|c ab|=2,求|c|的取值范围.解：因为 ab,不妨令 a= (Q, 2), b=(2, Q), c= (x, y),由 |c a-b|=2,得(x2)2+(y2产=4, |c|可看做(x, y)到原点的距离，而点(x, y)在以(2, 2)为圆心，2 为半径的圆上.如图所示，当点(x, y)在位置P时到原点

36、的距离最近，在位置 P时到原点的距离最远，而 PO=OA 2 = 2娘一2, P O=OA+2 = 2V2+2,所以 2小一2W |c|w 2返 + 2.以辘促学强技提能矢口融11康隹松鬲荚；且AB = a, AD=b,则BE=()1.如图，在平行四边形 ABCD中，E为DC边的中点，.1一 _ 1A. b2aB. b+2aC. a+2bD. a b解析：选 A.Bl = BA + AD+DE = a+b+：a=b %.(2015宁夏质检)如图，设O是平行四边形 ABCD两对角线的交点， 给出下列向量组： TOC o 1-5 h z AD与AB;DA与BC;CA与DC;OD与OB.其中可作为该

37、平面 内其他向量的基底的是()A.B.C.D.解析：选B.AD与AB不共线，CA与DC不共线，而DA与BC共线，OD与OB共线，由平面 向量基底的概念知 可作为该平面内其他向量的基底.已知向量a=(V3, 1), b=(0, -2).若实数k与向量c满足a+ 2b=kc,则c可以 是()A.(镉，-1)B. (-1, -/3)c. (-V3, - 1)d. (-1, V3)解析：选 D. .a=(V3, 1), b=(0, 2),-a+2b=(V3, - 3) = - 3(-1, V3),故向量c可以是(一1, ,3). TOC o 1-5 h z 4,已知点A(1 , 3), B(4, 1)

38、,则与向量AB同方向的单位向量为()3443A. 5， 5B. 5， 5八3 4c 4 35， 5D.5 5解析：选 A.AB=(41, 1 3)= (3, 4),则 |西|=32+ ( 4) 2 =5.与AB同方向的单位向量为 空=1(3, - 4)= I, - 4 .且点P在线段 AB上，|AP| :|AB| (2015长春模拟)设向量OA= eb OB = e2,若e1与e2不共线,|PB|=2,则 OP=()12A. e1 一专 335521B-ei + -e212C.-ei + -e23321ei-e2解析：选 c.由题意知茹=2PB,AB=AP+PB=3PB, (dp =(5B+

39、Bp=(5b-Jab=oB3一；(O B - O A)= ；ei +1e2. 333.若三点A(1, 5), B(a, 2), C(-2, 1)共线，则实数 a的值为.解析：AB=(a-1, 3), AC=(-3, 4),据题意 AB/AC,，4(a1)=3X(3),即 4a=- 5,a= 4.答案：54.在 ABC中，点P在BC上，且说=2无，点Q是AC的中点，若改=(4, 3), PQ =(1 , 5),则 BC=.解析：AQ=PQPA=(3, 2), . AC=2AQ= (-6, 4).PC= PA+ AC= ( 2, 7),Bc=3PC= (-6, 21).答案：(6, 21). (2

40、015 九江模拟)P=a|a=(1, 1)+m(1, 2), mCR, Q = b|b=(1, - 2)+n(2, 3), nCR是两个向量集合，则PAQ等于.解析：P 中，a=(- 1 + m, 1 + 2m), Q 中，b=(1 + 2n, - 2+3n).1 + m=1 + 2n, m=12,则得1+2m=2+3n.n=7.此时 a=b= (-13, 23).答案：( 13, 23).已知 a= (1, 0), b= (2, 1).(1)当k为何值时，ka b与a+2b共线？(2)若AB= 2a+3b, BC=a+mb且A、B、C三点共线，求 m的值.解：(1)ka-b=k(1, 0)(

41、2, 1)=(k-2, 1),a+2b=(1 , 0)+2(2, 1)= (5, 2). ka b 与 a + 2b 共线, 2(k 2)-(-1)X5=0,即 2k 4+5=0,得 k= - 2(2)法一：.A、B、C三点共线，.AB= ?Bc,即 2a+ 3b= ?(a+ mb),2=13 入，解得m =、法二：AB=2a+3b=2(1, 0)+3(2, 1)=(8, 3),BC=a+mb=(1, 0) + m(2, 1) = (2m+ 1, m).A、B、C三点共线，.AB/I BC 8m-3(2m+1)=0,即 2m 3=0, 3 m=2.10.(2015山东莱芜模拟)如图，已知 OC

42、B中，点C是以A为中点的点 B的对称点，D是将 茄分为2 ： 1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E, 设OA=a, OB= b.(1)用a和b表示向量 oC De；(2)若oE=1A,求实数入的值.解：(1)由题意知，A是BC的中点，且OD=2oB.3由平行四边形法则，得 OB+oC = 2OA. . . OC = 2OA OB = 2a b)dC= OC OD = (2a b)-|b= 2a-|b.(2)如题图，eC/DC.一 一一 一一 一一又. EC = OC OE = (2a b) 2a= (2 ?)a b,DC=2a 一入=5.2一入T丁=3第3讲平面向量的数量积及应用举例教材回

43、顾夯实基础j深率温被追根求淳，学生用书 P82P83)知识梳理.平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为 依把数量|a|b|cos_e叫做a和b的数量积(或内积)，记作 a_b.即 a b= |a|b|cos_9_,规定 0 a=0.向量丽积的运算律(1)a - b= b a.(2)(后)b= Xa b) = a ( 2).(3)(a + b) c= a c+ b c.平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a= (xi, yi), b = (X2, y2)性质几何表小坐标表小模|a|=/aa|a|=jx2+y2夹角八 a b cos 9 =|a|b|-1x2+

44、y1y2C0S 8xj+ y2 4x|+ y2a b的充要条件a b= 0 x1Xj+ yjy2= 0|a b|与|a|b|的关系|a b|0,反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有 ab0,反之不成立(因为夹角为兀时不成立).做一做.已知向量a, b和实数 N则下列选项中错误的是 ()A. |a|=V0aB. |a b|= |a| |b|C.入(a b)=右 bD. |a b| = 0,故 cosa, b =半，故所求夹角为路.(典例剖析考点突破)，学生用书 P83P85)考点一平面向量数量积的运算33 (1)(2015 沧州模拟)已知平面向量 a=(x1

45、，y1), b=(x2, y2),若 |a|= 2, |b|=3, ab=6,则率的值为()2 A.-35 C.6B.D.2356在平行四边形 ABCD中，已知AB=8, AD = 5, CP=3PD,(2)(2014高考江苏卷)如图, AP -m=2,则AB - AD的值是 TOC o 1-5 h z 解析(1)由已知得,向量 a= (X1, y1)与 b=(x2, y2)反向,3a+ 2b = 0,即 3(x1, y1) + 22_x1 y122(x2, y2)=(0, 0),得 x1 = 3x2, y1 = -3y2,故3.xx x2 y y2o. ztr1 -1 -1 (2)由CP=3

46、PD,得DP=4DC=4AB)AP= AD + DP = AD+AB , BP=AP AB=AD + 4AB 丽=aD 4AB.因为 Ap BP=2,所以 aD+4AB - AD - 4yAB = 2,即 aD 2；aD 丽 一看AB2=2.又因为 AD 2= 25, AB 2 = 64,所以 AB , AD = 22.答案(1)B (2)22规律方法向量数量积的两种运算方法：a b= |a|b|cosa, b.a = (x1, y1), b=(x2, y2),贝U a b =(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若X1X2+ y1y2

47、.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解. 1.(1)(2013 高考湖北卷)已知点 A(-1, 1), B(1, 2), 0(-2, 1), D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为(A.C.3,223.2一 2)d3J5B. 23 ,15D. -B. 2D. 1(2)(2015贵阳市适应性考试)如图，在矩形 ABCD中，AB = V2, BC = 2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若aB 昨=血，则AE 酢的值是()A. .,2C. 0(3)(2015广东梅州模拟)已知向量OA= (2, 2),丽=(4,1),在x轴上存在一点P使茹 BP 有最

48、小值，则P点的坐标是()A. (-3, 0)B, (2, 0)C. (3, 0)D, (4, 0)CD解析：(1)选A.由已知得AB=(2, 1), CD=(5, 5),因此AB在CD方向上的投影为 坦;一icD|153.2=5-2=.(2)选 A. AF = AD + DF , AB , AF = AB (AD + DF) = AB , AD + AB , DF = AB , DF =2|dF|=1 -今 -L+ AC)=1(AB + AC),3所以 |AB+AG+AC=4 (AB+AC)3167- Tc T= d(AB2+AC2+2AB , AC) 9 16 o - 0=(AB2+AC2-

49、4) 916 一一 16 、6419-(2|AB|AC|-4) = 19-X 化 X 4 4)=可 999当且仅当|AB|= |aC|时等号成立故|AB+AG+AC|的最小值为8. 32日小、8答案(1)C (2)寸(3)3 33规律方法1.利用数量积求解长度的处理方法：(1)|af = a2= a a;(2)|aib|2=a22a b+b2;(3)若 a=(x, y),则 |a|= yjx2+ y2.2.求两个非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角色小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹

50、角就是钝角.2.(1)(2015忻州市高三第一次联考)已知向量a (a+2b)=0, |a|=2, |b|=2,则向量a, b的夹角为()兀A3兀C与(2)(2015云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在4ABC中，设aC2 AB2=2AM BC,那么动点M的轨迹必通过 ABC的()A .垂心B.内心C.外心D.重心(3)(2015北京海淀区期中考试)已知4ABC是正三角形，若 a = AC AB与向量AC的夹 角大于90。，则实数 入的取值范围是 .解析：(1)设。是a与b的夹角，由a (a+2b)=0,可得|a|2+2a b= 0.根据向量数量积的12兀定义及已知条件，得 22 + 2X2X

51、2Xcos 0=0, cos 0 =-2, 0 =. 7c c _ff L(2)设 BC 边的中点为 D,AC2 AB2=2AM BC, . (AC+AB) (ACAB)=2AM BC,即AD - E3C=Am - E3C,MD BC=0, MMD E3C, MD BC, MD 为 BC 的垂直平分线，动点M的轨迹必通过 4ABC的外心，故选 C.(3)因为A C-虫B与向量A C的夹角大于90 ,所以(A C-4B) A C0,即|A C|2- 4A C| |A B |cos 60 0,解得 Q2.答案：(1)B (2)C (3)Q2考点三 向量数量积的综合应用 (2013 高考辽宁卷)设向

52、量 a=(3sin x, sin x), b= (cos x, sin x), xC 0, -2.(1)若|a|= |b|,求 x 的值；(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解由 |a|2= (43sin x)2 + sin2x= 4sin2x,|b|2= cos2x+ sin2x= 1,及|a|= |b|,得 4sin2x= 1. TOC o 1-5 h z 一 兀 1 LL-兀又 xC0,从而 sin x=2，所以 x=.(2)f(x)= a b= V3sin x cos x+ sin2xx/311- 兀 1= sin 2x ,cos 2x+ 5= sin(2x- )+2，,兀

53、兀兀当x=3C 0,万时，sin(2x 一不源最大值1.一 一 ,，3所以f(x)的最大值为|.r 若本例变为：已知向量a= (cos a, sin a), b= (cos B, sin B), 0 3 a7t, c=(0, 1),若 a+b=c,求 a, B 的值.解：因为 a+b=(cos a+cos B，sin a+sin )=(0, 1),cos a + cos 3=0,所以sin a + sin 3=1.由此得，cos a = cos (兀一份，由0华兀，得又0 a兀，故0兀一体兀.a=兀 - 3.代入 sin a + sin B = 1,得 sin a = sin一 1 一 一B

54、=5，而命3,71规律方法平面向量与三角函数的综合问题：(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立 等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解 题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.3.(2015广州海珠区高三入学摸底考试)在 ABC中，角A, B, C的对3边分别为 a, b, c,向重 m=(cos(AB), sin(AB), n = (cos B, sin B),且 mn = -5(1)求sin A的值；(2)若a=442, b = 5,求角B的大小及

55、向量Ba在BC方向上的投影.3解：(1)由 m n = -,53得 cos(A B)cos B sin(A B)sin B=-5所以 cos A=-5因为 0Ab,所以AB, 4；2 2一-兀 ，,、 一 ，一一 一则B=,由余弦定理得（4/2） =52+c2 2X5cX3, 一-,解得c= 1.5故向量BA在BC方向上的投影为22|BA|cos B= ccos B = 1 x = 2 .i：名师讲坛素养提升J，学生用书P85）拓藤升华赵美豪通交汇创新 平面向量与线性规划的交汇（2013高考安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A, B满足|OA|= |OB|=OA OB = 2,则

56、点集P|OP= 私+QB, |入|十|产1,入，也e R所表示的 区域的面积是（）A. 2mB. 2V3C. 4 .12D. 4 .13.一一 .一一一 hL _ hL 兀解析由 |OA|=|OB|=OA OB=2,知 OA, OB =.3当归0,0,入+产1时，在4OAB中，取OC=行A,过点C作CD / OB交AB于点D,作DE / OA交OB于点巳显然oD=6A+cD.由于黑=祭，CD=2* - Cd=（1-4丽， OB AO OB 2.,.OD= DA+（1- ；）OB= DA+ OB=OP, z.入 十 尸 1 时，点 P 在线段 AB 上，入0,0,入+河1时，点P必在4OAB内（

57、包括边界）.考虑|斗+ MW1的其他情形，点 P构成的集合恰好是以 AB为一边，以OA, OB为对角 线一半的矩形，1其面积为 S= 4Saoab=4XX 2 X 2sin_3 = 4/3.答案D名师点评由平面向量的模与数量积求解夹角考查了应用意识，由平面向量的分解考 查了抽象概括能力和推理能力.yx,已知 x, y 满足 x+yW2,若 OA=（x, 1）, OB=（2, y）,且 XOB 的最大x a,值是最小值的8倍，则实数a的值是（）A. 1叼d.81c.4解析：选D.因为 5A=(x, 1), OB=(2, y),所以 6A OB = 2x+y,令 z= 2x+y,依题意，不等式组所

58、表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z=2x+y过点0(1, 1)时，Zmax= 2X1+1 = 3,目标函数 z= 2x+y 过点 F(a, a)时，zmin= 2a+a= 3a,所以 3= 8x 3a, 解得a= 1故选D.8如融JI标:叠法鬲至二以域促学强技提能基础达标 TOC o 1-5 h z (2014局考山东卷)已知向量a=(1, 回 b=(3, m).若向量a, b的夹角为 石，则 实数m =()A. 2mB. 3C. 0D. - 3解析：选 B. . ab=(1, 班)(3, m)=3 + J32+m2x cos-6-, . m = J3.(2015云南省

59、第一次统一检测 )设向量a=(-1, 2), b=(m, 1),如果向量 a+2b与 2ab平行，那么a与b的数量积等于(7-A . -B.3C55DW解析：选 D.a + 2b= ( 1 + 2m, 4), 2a b= ( 2 m, 3),由题意得 3( 1 + 2m) 4( 211 一 . 5m)=0,贝U m= 2，所以 ab=1X 5 +2x1=5.(2013高考福建卷)在四边形ABCD中，AC= (1, 2), BD=(-4, 2),则该四边形的 面积为()A.粥B. 2V5C. 5D. 10解析：选 C.V Ac - BD = (1, 2) (-4, 2)=4+4=0,AC，BD, S四边形ABCD = 2a0|. |bd|=2(2015山西省第三次四校联考)圆O为 ABC的外接圆，半径为2,若AB+AC=2AO, 且|OA|= |AC|,则向量bA在向