普通高等学校数学Ⅰ试题(江苏卷)

1、18/18更多企业学院： 中小企业治理全能版183套讲座+89700份资料总经理、高层治理49套讲座+16388份资料中层治理学院46套讲座+6020份资料国学智慧、易经46套讲座人力资源学院56套讲座+27123份资料各时期职员培训学院77套讲座+ 324份资料职员治理企业学院67套讲座+ 8720份资料工厂生产治理学院52套讲座+ 13920份资料财务治理学院53套讲座+ 17945份资料销售经理学院56套讲座+ 14350份资料销售人员培训学院72套讲座+ 4879份资料更多企业学院： 中小企业治理全能版183套讲座+89700份资料总经理、高层治理49套讲座+16388份资料中层治理学

2、院46套讲座+6020份资料国学智慧、易经46套讲座人力资源学院56套讲座+27123份资料各时期职员培训学院77套讲座+ 324份资料职员治理企业学院67套讲座+ 8720份资料工厂生产治理学院52套讲座+ 13920份资料财务治理学院53套讲座+ 17945份资料销售经理学院56套讲座+ 14350份资料销售人员培训学院72套讲座+ 4879份资料绝密启用前2010年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题注注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）。本卷满分160分，考试时刻为120分钟。考

3、试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清晰。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1、设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB

4、=3，则实数a =_.解析 考查集合的运算推理。3B, a+2=3,a=1.2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知识。4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_根在棉花纤维的长度小于20mm

5、。解析考查频率分布直方图的知识。100（0.001+0.001+0.004）5=305、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=1。6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_解析考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_解析考查流程图理解。输出。8、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_

6、解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，因此。9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，的取值范围是（-13，13）。10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_。解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=

7、5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_。解析 考查分段函数的单调性。12、设实数x,y满足38，49，则的最大值是 。解析 考查不等式的差不多性质，等价转化思想。，的最大值是27。13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分不为a、b、c，则=_。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论关于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，现在有：，= 4。（方法二），由正弦定理，得：上式=14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，

8、记,则S的最小值是_。解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字讲明、证明或演算步骤.15、（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数t满足()=0，求t的值。解析 本题考查中点坐标公式、两点间距离公式、向量的数量积等。（1）设

9、该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，因此D（1，4）两条对角线的长分不为BC=、AD=；（2）由题意知：，16、（本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900。求证：PCBC；求点A到平面PBC的距离。解析 本题要紧考查直线与平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。（1）证明：因为PD平面ABCD，因此PDBC，又BCD=900，CDBC，因此BC平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分不取AB、PC的中点E、F，连D

10、E、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，因此平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，因此DFPC，因此DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法：，故点A到平面PBC的距离等于。17、（本题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。该小组差不多测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值；该小组分析若干测得的数据后，发觉适

11、当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，能够提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，-最大。解析 本题要紧考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，。 ADAB=DB，解得：。（2），（当且仅当时，取等号）故当时，最大，-最大。18、（本题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A、B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分不交于点M、，其中m0,设动点P满足,求点P的轨迹；设，求点T的坐标；设,求证：直线MN必过x轴上的一定点。（其坐标与m无关）。解析 本题要紧考查求曲线的方程方法、直线方程、解方程组等。考查运算

12、能力。设P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。点P的轨迹为直线。将分不代入椭圆方程，得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，直线NTB 方程为：。联立，解得：，因此点T的坐标为。点T的坐标为直线MTA方程为：，直线NTB 方程为：。分不与椭圆联立方程组，解得：、直线MN方程为：令，解得：。直线MN必过x轴上的一定点（1，0）。19、（本题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。求数列的通项公式（用表示）；设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本题要紧考查等差数列的有关知识、恒成立问题。由题意知：，化简

13、，得：，当时，适合情形。故所求， 恒成立。又，的最大值为。20、（本题满分16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为。假如存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。求证：函数具有性质；求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质，给定设为实数。，且，若|0，因此对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。数学（附加题）21.选做题在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字讲明、证明过程或演算步骤。几何证明选讲AB是O的直径，D为O上一点，过点D作O的

14、切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC。 解析 本题要紧考查平面几何的推理证明。证明：连OD，则：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，因此DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，因此DCO=300，DOC=600，因此OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，因此AB=2BC。矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k0，kR，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求实数k的值。解析 本题要紧考查矩阵的乘法运算及变换。参数方程与极坐标在极坐标系中，

15、圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值。解析 本题要紧考查参数方程和一般方程的差不多知识，考查转化问题的能力。满分10分。解：，圆=2cos的一般方程为：，直线3cos+4sin+a=0的一般方程为：，又圆与直线相切，因此解得：，或。不等式证明选讲已知实数a、b0，求证：。解析 本题要紧考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。证明：因为实数a、b0，因此上式0。即有。（本题满分10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，假如是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，假如是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立。记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列；求生产4件甲产品所获得的利润许多于10万元的概率。解析 本题要紧考查概率的差不多知识，考查探究能力。满分10分。解：（1）x的分布列为：x1052-3P0.720.180.080.02（2）生产一件甲产品，假如是一等品可获利4万元，依题意，至少需要生产3件一等品。所求概率为答：生产4件甲产品所获得的利润许多于10万元的概率为0.8192。（本题满分10分）