高等数学考研题11

1、微分中值定理与导数的应用考研题数三：1（1997）三（6分）、在经济学中，称函数Q（x） A K x （1 ）Lx“ 为固定替代弹性生产函数，而称函数Q ak l1为Cobb-douglas生产函数（简称C-D生产函数）.试证明：当x 0时，固定替代弹性生产函数变为C-D生产函数，即有lim Q（x） Q. x 0（ 1997）五（6分）、一商家销售某种商品的价格满足关系P 7 0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是C 3x 1 （万元）（1）若每销售一顿商品，政府要征税 t （万元），求该商家获最大利润时的销售量；（2） t为何值时，政府税收总额最大.（1998）五（

2、6分）、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t 0）就售出，总收入为Ro （元）.如果窖藏起来待来日2 t .、，按陈酒价格出售，t年末总收入为R Roe5 o假定银行的年利率为r ,弁以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.弁求r 0.06时的t值.（1998）六（6分）、设函数f（x）在a, b上连续，在（a,b）内可导，且f （x） 0 .试证存在，（a,b）,使得 b af （ ） e e 0(1999)八(7分)、设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,且 f f(i) 0, f(l)i.试证： 2. . J ,、(1)存在(了1),使 f ()；(2)

3、对任意实数，必存在(。，)，使得f()f( ) 1.arctan x(2000)六(7分)、求函数y (x 1)e2的单调区间和极值，弁求该函数图形的渐近线(2001 )二(1 ) ( 3分)、设f(x)的导数在x a处连续，又limS) x a x ax a是x a是f(x)的极小值点x a是f(x)的极大值点(a, f(a)是曲线y f(x)的拐点x a不是f(x)的极值点，(a, f)也不是曲线y f(x)的拐点(2001)四(6分)、已知“均在(，)内可导，且x c vlim f (x) e,lim ()x lim f (x) f (x 1),xx x c x求c的值.(2002)二(

4、1) (3分)、设函数f(x)在a,b上有定义，在(a,b)内可导，则()(A)当 f(a)f(b) 0 时，存在 (a,b)使 f( ) 0(B)对任何(a,b),有!imf(x) f( ) 0. x(C)当f f (b)时，存在 (a,b)使f ( ) 0(D)存在(a,b)使 f(b) f (a) f ( )(b a)(2003)三(8(2003)三(8分)、设函数f(x)11x sin x2 ；/)、1八一试补充定义f(1)使得在万，1)上连续。(2003)八(8分)设函数f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导, 且 f(0) f(1) f(2) 3,f(3) 1.则存在 (0,3

5、),使得 f ( ) 0.(2004)二(9) (3 分)、设 f (x)x(1 x),则()x 0是f(x)的极值点，但(Q0)不是曲线y f(x)的拐点x 0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y f(x)的拐点x 0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y f(x)的拐点x 0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y f(x)的拐点(2004)二(11) (3分)、设函数f (x)在a,b上连续，且f (a) 0, f (b) 0 ,则下列结论中错误的是()(A)至少存在一点(A)至少存在一点x0 (a,b)，使f(x0)f(a)(B)至少存在一点(B)至少存在一点x0(a,b)

6、,使 f (xo)f(b)(C)至少存在一点”(C)至少存在一点”(a,b),使 f (xo) 0(D)至少存在一点xob),使f(x0)0(2004)三(2004)三(15)(8 分)、求(sin2x2cos x2 ) x(2004)三(18) (9分)、设某商品的需求函数 Q 100 5P, 其中价格P (0,20), Q为需求量,(I)求需求量对价格的弹性函数 Ed (Ed 0);(II)推导dR Q(1 Ed)(其中R为收益)，弁用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，降低价格反而收益增加( 2005)二(7) ( 4分)、当取下列哪个值时，函数f (x) 2x3 9x2 12x a ,恰

7、有两个不同的零点()(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8(2005)二(10) (4 分)、设 (2005)二(10) (4 分)、设 f (x) xsinx cosx ,下列命题中 正确的是()f(0)是极大值，f(0)是极小值，f(0)是极大值，f(0)是极小值，f(-)是极小值f(-)是极大值2f ()也是极大值2f(-)也是极小值2(2005)二(2005)二(11) (4 分)、以下四个命题中，正确的是(A)若f (x)在(0,1)内连续，则f (x)在(0,1)内有界(B)若f(x)在(0,1)内连续，则f (x)在(0,1)内有界(C)

8、若f (x)在(0,1)内有界，则f (x)在(0,1)内有界(D)若f(x)在(0,1)内有界，则f (x)在(0,1)内有界 TOC o 1-5 h z , 1x1、(2005)三(15) (8 分)、求(；T -) x 0 1 ex(2006)二(1)设函数 f(x)具有二阶导数，且 f (x) 0, f (x) 0 ,x为自变量x在点x。处的增量，y与dy分别为f(x)在点x。处对应的增量和微分，若 x 0,则()0 dy y0 0 dy y0 y dy(C) y dy 0(D) dy y 0三(17) (10分)、证明：当0ab 时,bsinb 2cosb b asina 2cosa

9、 a 1x(2007) (6) (4分)、曲线y 1nd 6)渐近线的条数为 x()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(2007)二(11) (4 分)、(2007)二(11) (4 分)、limxx3 x2 12x x3(sin xcos x)=(2007)三(17) (10 分)、设函数 y y(x)由方程 ylny x y 0 确定，试判断曲线y y(x)在点(i,i)附近的凹凸性(2007)三(19)(11 分)、设函数 f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a) g(a), f(b) g(b),证明：存在 (a,b)使f ( ) g(

10、)；(II )存在(a,b)使 f ( ) g ().(2008)三(15) (9 分)、(2008)三(15) (9 分)、求lim7 x 0 x2,sinx ln. x x3(2009) (1) (4分)、函数f(x) 的可去间断点的个数sin x为()(A) 1(B) 2(C) 3(D)无穷多个(2009) ( 2) (4 分)、当 x 0 时，f (x) x sin ax 与g(x) x2 ln(1 bx)是等价无穷小量，则()a 1,b1/6a 1,b 1/6a 1,b1/6a 1,b 1/6(C) a 1,b1/6(D) a 1,b 1/6(2009)三(18) (11 分)、(I

11、)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则存在 (a,b),使得 f(b) f(a) f ( )(b a).(II)证明：若函数f(x)在x 0处连续，在(0, )(0)内可导，且 lim f (x) A,则 f (0)存在,且 f (0) A.ox 0(2010) (3)若函数 f (x),g(x)具有二阶导数,g (x) 0,若 g(x0) a是g(x)的极值。则f (g(x)在x0取极大值的充分条件是()(A) f (a) 0 (B) f (a) 0 (C) f (a) 0 (D) f 0 x(4)设 f (x) ln 10 x, f (x) x, f

12、(x) e10,则当 x 充分大时(g(x) h(x) f (x)h(x) g(x) f (x)f (x) g(x) h(x)g(x) f (x) h(x)(2011)三(15)求极限lim x 0、1 2sin x xxln(1 x)三(18)证明4arctanx x V3 0恰有2实根.32x x .(2012) (1)曲线y的渐近线的条数为()x 1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 32 2cosx e2 2cosx eex(15)2.(1 x 1)2(15)2.(1 x 1)21 X(18)证明 x In cosx 11 x数一： TOC o 1-5 h z 11 、1999 13

13、分、lim( ).x 0 xxtanx(1999)六(6 分)、试证：当 x 0 时，(x2 1)lnx (x 1)2.(2000)二(1) (3分)、设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x) f(x)g(x) 0,则当 a x b时，有()(A) f(x)g(b) f (b)g(x)(B) f(x)g(a) f(a)g(x)(C) f(x)g(x) f(b)g(b)(D) f(x)g(x) f(a)g(a)(2001)二(1) (3分)、设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图形如右图所示，则导函数 y f(x)的图形为( )(B)(B)(2001)七(7分)、设

14、y他刈在(1,1)内具有二阶连续导数且f (x) 0,试证：(1 )对于(1,1)内的任一 x 0 ,存在唯一的(x) (0,1),使f(x) f(0) xf(x)x)成立； TOC o 1-5 h z , 、1lim (x)-. / x 02(2002)二(3) (3分)、设函数y 乂)在(0,)内有界且可导，则()(A)当 lim f (x) 0 必有 lim f (x) 0 xx(B)当防f (x)存在时，必有 xlim f (x) 0(C)当 lim f (x) 0,必有 lim f (x) 0 x 0 x 0(D)当！1ml f (x)存在时，必有 Hm0 f (x) 0(2002)

15、三(6分)、设函数f(x)在x 0的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0) 0, f (0) 0,若 af(h) bf (2h) f(0)在 h 0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定a,b的值。(2003)二(1) (4分)设函数yM乂)在(，)内连续，其导函数的 图形如图所示，则“刈有()(A) 一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2004)二(8) (4分)设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在 0,使得()f(x)在(0,)内单调增加“*)在(，0)内单调减少(C)对任意的 x (0,),有 f

16、(x) f(0)(D)对任意的 x ( ,0),有 f(x) f (0)(2005)三(18) (12分)、已知函数f(0) 0, f (1) 1.证明:f (x)在0,1连续，在(0,1)可导，且(2004)三(15) (12 分)设 e a b e(2005)三(18) (12分)、已知函数f(0) 0, f (1) 1.证明:f (x)在0,1连续，在(0,1)可导，且 x 一、一.(2005) 一(1) (4分)、曲线y -的斜渐近线万程为 2x 1(I)存在 (0,1)使得f() 1(II)存在两个不同的点,(0,1),使得f ( )f ( ) 1.( 2006)二(7) (4分)设

17、函数 y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0, x为自变量x在点X0处的增量，y与dy分别为f(x)在点X。处对应的增量与微分，若 x0,则()(A) 0 dy y (B) 0 y dyy dy 0(D) dy y 0( 2006 )三(16) (12分)设数列xn满足0 x1 xn 1 sin xn(n 1,2,).(I)证明nim Xn存在，并求该极限；1n 1 x 之口(II)计算 nim(q)x n TOC o 1-5 h z 1x、 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document (2007) (2) (4分)、曲线y ln(1 e)渐近线的条数为()x HYPERLINK l bookmark22 o Current Document (A) 0 (B)1(C)2(D) 3一(5)设函数y f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f (x) 0,令Un f (n),n 1,2,则下列结论正确的是()(A)若U1 U2 ,则xn必收敛(B)若U1 U2 ,则xn必发散sin x sin(sin x)sin x(C)若U1 U2,则xn必收敛(D)若U1 U2,则xn必发散sin x sin(sin x)sin x(2008)