专题15空间位置关系与距离(教师版)

1、专题 15 空间位置关系与距离 高考在考什么【考题回放】1已知平面 外不共线的三点A,B,C到 的距离都相等 ,则正确的结论是 ( B)A. 平面 ABC 必平行于 B. 存在 ABC 的一条中位线平行于或在 内C. 平面 ABC 必与 相交D. 平面 ABC 必不垂直于 D 1C 12如图，过平行六面体ABCD-A 1 B1C1D1 任意两条棱的中点作直线 ,其中与平面 DBB 1D1 平行的直线共有 ( D ) AB1A.4 条B.6条C.8 条D.12 条1D3设三棱柱 ABC A 1B1C1 的体积为 V ， P、 Q 分别C是侧棱 AA 1、CC1 上的点，且 PA=QC 1，则四棱

2、锥 B APQC 的体积为（ C ）ABA1VB 1VC 1VD 1V64324已知 m、 n 是两条不重合的直线， 、 、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若m, m,则/；若,则 /若 m, n,m / n,则/；若 m、n 是异面直线， m, m/ , n,n /,则 /，其中真命题是（D）A 和B 和C和D和5在正方形 ABCDAB C D 中，过对角线 BD 的一个平面交 AA 于 E，交 CC 于 F，则()四边形 BFD E 一定是平行四边形四边形 BFD E 有可能是正方形四边形 BFD E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形四边形 BFD E 有可能垂直于平面B

3、B D以上结论正确的为。（写出所有正确结论的编号）6如图，四面体 ABCD 中， O、 E 分别 BD 、BC 的中点 , CA CBCD BD 2,ABAD2.（）求证：AO 平面 BCD ；（）求异面直线AB 与 CD 所成角的大小；（）求点E 到平面 ACD 的距离 .【专家解答 】AM（ I）证明：连结 OCDBODO, ABAD ,AOBD.OBODO, BCCD ,COBD.BEC在AOC 中，由已知得AO1,CO3.而 AC2,AO 2CO 2AC 2,AOC90o , 即 AOOC.BDOCO ,AO平面 BCD（ II ）取 AC 的中点 M ，连结 OM 、ME 、OE，由

4、 E 为 BC 的中点知 MEAB,OEDC直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线AB 与 CD 所成的角在OME 中， EM1 AB2 ,OE1 DC1,2221 ACOM 是直角AOC 斜边 AC 上的中线， OM1,2cos OEM2 ,异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos2 .44（ III ）设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.VE ACD VA CDE ,11h.S ACD.AO.S CDE .33在ACD 中, CACD2, AD2,S ACD1222( 2)27.222133AO.S CDE1321而 AO 1,S CDE2222,h7.42S AC

5、D72点 E 到平面 ACD 的距离为21 .7 高考要考什么【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】1 转化思想：线线平行线面平行面面平行,线线线面面面； 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：体积法；直接法 ,找出点在平面内的射影 高考将考什么【范例 1】如图，在五面体ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱 EF /1BC 2（ 1）证明 FO /平面 CDE ；（ 2）设 BC3CD ，M证明 EO

6、平面 CDF 解析：（）取 CD 中点 M ，连结 OM.在矩形 ABCD 中， OM /1BC，又 EF/1BC，则 EF/OM ，22连结 EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形 .FO / EM又FO平面 CDE， EM平面 CDE ， FO平面 CDE（）证明：连结FM ，由（）和已知条件，在等边CDE 中，CMDM ,EMCD且EM3CD 1BC EF.22因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO FM 而 FMCD=M ， CD平面 EOM ，从而 CD EO. 而 FMCDM ，所以 EO平面 CDF.【点晴】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和

7、线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【文】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形 , AD BC ， BAD=90， PA底面 ABCD ，且 PAAD=AB =2BC ， M 、N 分别为 PC、 PB 的中点。( )求证： PB DM;( )求 CD 与平面 ADMN 所成的角解析：方法一：（ I）因为 N 是 PB 的中点， PAPB ，所以 ANPB .因为 AD平面 PAB ，所以 ADPB ，从而 PB平面 ADMN .因为 DM平面 ADMN ，所以 PB DM .（II）取AD 的中点 G，连结 BG、 NG，则 BG/CD ，所以 BG与平面

8、ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等 .因为 PB平面 ADMN ，所以BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角 .在 Rt BGN 中， sin BNGBN10BG.510故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin.5方法二：以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz ，设 BC1，则1A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), C (2,1,0), M (1,1), D (0,2,0) .2（ I）因为 PBDM(2,0,2)(1,30 ，所以 PBDM .,1)2（II）因为 PBAD(2,0,2)(0, 2,0)0 ，所以 PBAD

9、 ，又因为 PBDM ，所以 PB平面 ADMN .因此PB, DC的余角即是CD 与平面 ADMN 所成的角 .因为 cosPB, DCPBDC10，|PB|DC |5所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin10.5【点晴】 注意线线垂直常使用线面垂直得到解决，线面角关键是找到射影，遵循一作二证三计算的步骤。同时使用空间向量能降低对空间想象能力的要求。【范例 2】如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD为矩形， AB=8 ， AD=43 ，侧面 PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60.（）求四棱锥PABCD 的体积；（）证明 PA BD.解析：（）如图，取 AD 的

10、中点 E，连结 PE，则 PE AD.作 PO平面在 ABCD ，垂足为 O，连结 OE.根据三垂线定理的逆定理得OEAD ，所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知PEO=60 ， PE=6，所以 PO=33 ，四棱锥 PABCD 的体积 V P ABCD = 18 43 3396.33 )，（） 法 1 如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P(0，0，3A(2 3 ， 3， 0)，B(23 ，5，0)，D(23 ，3，0)所以 PA (23, 3,33), BD( 43, 8,0).因为 PA BD242400,所以 PABD.法 2：连结

11、 AO ，延长 AO 交 BD 于点 F.通过计算可得 EO=3 ， AE=23 ，又知 AD=4 3 ， AB=8 ，得 EOAD . 所以 Rt AEO RtBAD. 得 EAO= ABD.AEAB所以 EAO+ ADF=90所以AF BD.因为直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影，所以 PA BD.【点晴】 本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。【文】 在直三棱柱 ABCABC 中，ABC90 ,ABBC 1.（ 1）求

12、异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小；（ 2）若 A1C 与平面 ABC 所成角为 45，求三棱锥 A1ABC 的体积。解析 (1) BC B1C1, ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角 (或它的补角 ) ABC=90, AB=BC=1, ACB=45, 异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45.(2) AA 1平面 ABC, ACA 1 是 A 1C 与平面 ABC 所成的角 , ACA =45 . 2,AA1=2 .ABC=90 , AB=BC=1, AC= 三棱锥 A 1-ABC 的体积 V=16SABC AA 1=.32【点晴】 画图是学好立体几何的基本要求，本

13、题考查了线线角和体积等立几知识。【范例 3】如图，所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所截面而得到的，其中 AB=4 ， BC=2， CC1=3 ， BE=1.（）求BF 的长；（）求点C 到平面 AEC 1F 的距离 .解法 1：（）过E 作 EH/BC 交 CC1 于 H，则 CH=BE=1 ， EH/AD ，且 EH=AD.AF EC1， FAD= C1 EH. Rt ADF Rt EHC1 . DF=C 1H=2.BFBD 2 DF 2 2 6.（）延长C1E 与 CB 交于 G，连 AG ，则平面 AEC 1F 与平面 ABCD 相交于 AG.过 C 作

14、CM AG，垂足为 M，连 C1M，由三垂线定理可知 AG C1M. 由于 AG 面 C1MC ，且 AG 面 AEC 1F，所以平面 AEC 1F面 C1 MC.在 Rt C1CM 中，作 CQ MC 1 ，垂足为Q，则 CQ 的长即为 C 到面 AEC 1F 的距离 .由 EBBG可得,BG1,从而 AGAB2BG217.CC1CG由 GABMCG知, CM3cosMCG3cosGAB3412 ,1717312CM CC117433CQMC112211.3217解法 2：（ I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（ 0，0， 0），B （ 2，4， 0），A （ 2， 0，0）， C（

15、0， 4，0）， E（2， 4， 1）， C1（ 0， 4， 3） .设 F（0， 0， z） .AEC 1F 为平行四边形，由 AEC1 F为平行四边形 ,由 AFEC1得 , ( 2,0, z) ( 2,0,2),z 2. F ( 0,0,2).EF( 2, 4,2).于是|BF| 26,即BF 的长为 2 6.（ II ）设 n1 为面 AEC 1F 的法向量， 显然 n1不垂直于平面 ADF , 故可设 n1(x, y,1)n1 AE 0,0 x 4 y 1 04y 1 0,x 1,由得即1 .n1 AF 0,2 x 0 y 2 02x 2 0,y4又CC1 (0,0,3),设 CC1

16、与n1 的夹角为 a，则 cosCC1n1433|CC1 | n1 |33. C 到平面 AEC 1F 的距离为 d| CC1 | cos3433433 .3311【点晴】 本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。【文】正三棱柱ABC ABC的底面边长为，对角线 B C10， 是AC的中点。1 1 181D1）求点 B1 到直线 AC 的距离 .2）求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离解：（ 1）连结 BD ， B1 D ，由三垂线定理可得： B1 DAC ，所以 B1D 就是 B 点到直

17、线 AC 的距离。1在 Rt B1BD 中 BB1B1C 2BC 2102826,BD 4 3B1 DBD 2B1B22 21A1B1C1（ 2）因为AC 与平面 BD C1交于的中点，设 B1C BC1E ，则 AB1 /DE，所以 AB1 /平面 C1 BD ，所以 AB1 到平面 BD C 的距离等于点到平面BD C11D的距离，等于点到平面BD C1的距离，也就等于三棱AC锥C BDC1的高，VBDC 1VC1BDC，CB1 hS BDC11 S BDCCC1，h12 13 ，即直线 AB1 到平面 BD C1 的距离是 12 13331313【点晴】 求空间距离注意三点：1常规遵循一

18、作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例 4】如图，在长方体AC 1 中， AD=AA 1=1，AB=2 ，点 E 在棱 AB 上移动 .（ 1）证明： D 1E A 1D；D1C1（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD 1 的距离；A 1B1（3）AE 等于何值时，二面角 D1EC D 的大小为.解析：法 14DCAB（ 1） AE 面 AA 1DD 1， A 1D AD 1， A 1D D1 EE（ 2）设点 E 到面 ACD 1 的距离为 h，在 ACD 1 中， AC=CD 1=5 ，AD 1=2 ，故 S AD

19、1C12513 ,而S ACE1AEBC1 .22222V D1AEC1 SAECDD 11SAD1C h,113h,h1 .332233）过 D 作 DH CE 于 H，连 D1H 、DE，则 D1H CE， DHD 1为二面角 D1 EC D 的平面角 .D1C1设 AE= x，则 BE=2 xA 1B1在 RtD1 DH 中,DHD 14, DH1.DC在 RtADE 中,DE1x 2 ,AHB在 RtDHE 中,EHx ,E在 RtDHC 中 CH3 , 在 RtCBE 中 CEx 24x 5 .x3x 24 x5x23.AE23时 ,二面角 D1ECD 的大小为.4法 2：以 D 为

20、坐标原点，直线 DA 、DC 、DD1 分别为 x、y、 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A 1(1，0，1)，D1(0， 0，1)，E(1，x，0)，A(1 ，0，0), C(0，2， 0).（ 1）1 ,1E(1,0,1), (1,x,1) 0,11 .因为 DAD所以 DAD Ez（ 2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（ 1， 1， 0），D1C1从而 D1E(1,1,1), AC(1,2,0) ， AD1(1,0,1)，B1设平面 ACD 1 的法向量为 n( a, b, c) ，A1nAC0,a2b0，得a2b，D oCy则也即n AD10,a c 0a cAEBx

21、从而 n( 2,1,2) ，所以点 E 到平面 AD 1C 的距离为 h| D1E n |2 121 .| n |33（ 3）设平面 D1EC 的法向量 n(a,b, c) ， CE(1, x2,0), D1C(0,2, 1), DD1(0,0,1),nD1C0,2bc0令 b=1,c=2, a=2x，由ab(x2)0.nCE0, n(2 x,1,2). 依题意 cos| nDD1 |222.4| n | | DD1 |2(x 2)252 x123 （不合，舍去） ， x223 .AE= 23 时，二面角 D1 EC D 的大小为.4【点晴】 由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置

22、，是一种新型题目，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，应引起重视，解决这类问题，常用分析法寻找思路。【文】 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1， AB2, AA11，直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为300 ， AE 垂直 BD 于 E, F 为 A1B1 的中点（）求异面直线AE 与 BF 所成的角；（）求平面BDF 与平面 AA1B 所成二面角（锐角）的大小；（）求点A 到平面 BDF 的距离解（）连结 B1D1 ，过 F 作 B1D1 的垂线，垂足为 K，A1D1 BB1 与两底面 ABCD ， A1 B1C1 D1 都垂直，FBBB1FKDFKB1 D1FB平面 BD

23、DB 1AC11 B1B1D1BB1B1E又AEBB 1AEBDAE平面 BDD1 B1BCBB 1BDB因此 FK / AE BFK 为异面直线BF 与 AE 所成的角连结 BK ，由 FK 面 BDD1B1 得 FKBK ，从而BKF 为 Rt在 Rt B1 KF 和 Rt B1D1A1 中，FKA1 D1A1D1 B1 FAD 1AB2311由得 FK23B1F B1 D1B1D1BD22223)2(3SFK2又 BF2 ， cosBFKA 1BK4D 1异面直线BF 与 AE 所成的角为 arccos2FGD4A（）由于AD 面 AAt B 由 A作 BF 的垂线B 1C 1 EAG

24、，垂足为 G ，连结 DG ，则 BGDGBC AGD 即为平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的平面角。且DAG90 ，在平面 AA1B 中，延长 BF 与 AA1 ；交于点 S 。 F 为 A1B1 的中点 A1F / 1 AB, A1F1 AB,22 A1 、 F 分别为 SA、 SB 的中点，即 SA2A1A2AB 。 Rt BAS 为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边 SB 的中点 F，即 F、G 重合。易得 AGAF1 SB2 ，在 RtBAS 中， AD2 3 。223AD366 tanAGD3AGDAG2，arctan，33即平面 BDF 于平面 AA1 B 所成二面角（

25、锐角）的大小为arctan6 。3（）由（）知平面 AFD 是平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的平面角所在的平面面 AFD 面 BDF 在 Rt ADF 中，由作 AH DF 于 H ，则 AH 即为点 A 到平面 BDF 的距离 .由 AHDF=AD AF ，得SA1D122AD AF32FH35DAH5DF2 3)2( 2)2B 1A(C1 E32所以点 A 到平面 BDF 的距离为BC55【点晴】 本题综合考查了立体几何的知识，异面直线之间的夹角，面面夹角及点与面的距离，考查学生的空间想象能力。 自我提升1设、为两个不同的平面， l、m 为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个

26、命题：若，则 l m；若 l m，则那么（ D ）(A)是真命题，是假命题(B) 是假命题，是真命题(C) 都是真命题(D) 都是假命题2设 A、 B、 C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的 （C）（A）若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B（ B ）若 AC 与 BD 是异面直线，则AD 与 BC 是异面直线(C) 若 AB=AC ， DB=DC ，则 AD=BCAD(D) 若 AB=AC ， DB=DC ，则ADBC3一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平C面的距离是 4cm，则该球的体积是（C ）(A)100 3(B)208350034163 3

27、cmcm(C)cm(D)3cm3334在正四面体 PABC 中， D ，E， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，下面四个结论中不成立 的是（ C）（ A ） BC/ 平面 PDF（ B）DF平面 PA E（ C）平面 PDF平面 ABC（ D）平面 PAE平面 ABC5 m, n 是空间两条不同直线，,是两个不同平面，下面有四个命题：m,n /,/mnmn, /, mn /m n, /, m /nm, m / n, /n其中真命题的编号是、 ;（写出所有真命题的编号）6已知平面与平面交于直线 l ， P 是空间一点， PA ，垂足为 A ， PB ，垂足为 B ，且 PA=1 ，P

28、B=2 ，若点 A 在 内的射影与点 B 在 内的射影重合，则点 P 到 l 的距离5 .7如图，正三棱柱 ABC A 1B1C1 的所有棱长都为a，M上一点，满足 MN AB 1。（ 1）试确定点 N 的位置；（ 2）求点 C1 到平面 AMN 的距离。解 （ 1） M 是 BC 中点， ABC A 1B 1C1 为正三棱柱， AM 平面 B1BCC 1，AM MN， MN AB 1， MN 平面 B1AM ，MN B1N，是 BC 的中点， N 是 CC1A 1C1B 1N设 NC=x，在 RtB1BM 中， B1Ma 21 a 2AC25 a 2 ,Mx2144B在 RtNCM 中， M

29、N 2a 2,4在 Rt B1C1N 中， B1 N2a2 (ax)2 , 在 Rt B1MN 中， B1 N 2B1M 2MN2， a 2(a x)2 5 a 21 a2x 2 , xa , N 在 CC1 的 1 处。4444（ 2）点 C1 到平面 AMN 的距离，即为三棱锥C1 AMN 的高，设为 h，则 VA MNCVC AMN1 h S AMN ,113 V1AMS MNC1,A MNC1AM S MNC, hS AMN31 AM=3 a ,MN=5 a ,SAMN13 a5 a15 a 2 ,2422416S MNC1S MCC1S MCN11 a211 a1 a3 a2, h3

30、 5 a .2222416108.如图，直二面角D AB E 中，四边形ABCD 是边长为2 的正方形， AE=EB ，F为 CE 上的点，且BF 平面 ACE.（）求证AE 平面 BCE ；（）求二面角B AC E 的大小；（）求点D 到平面 ACE 的距离 .解：（I）BF平面 ACE ,BFAE,DC二面角 D-AB-E 为直二面角，AF平面 ABCD平面 ABE ，B又 BCAB， BC 平面ABE， BCAE ,E又 BF平面 BCE ， BF BC=B ， AE平面 BCE 。（ II ）连结 AC 、 BD 交于 G，连结 FG， ABCD 为正方形， BD AC ， BF 平面