第61课等差数列

1、高考直通车 2014届高考数学一轮复习备课手册第61课等差数列一、教学目标理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式与前项和公式，体会基本量的方法与方程的思想；能在具体的问题情境中，发现等差关系，并能运用有关知识来解决问题；理解等差数列与函数的关系.二、基础知识回顾与梳理1、 设公差为2的等差数列，若气+ a4 + a7 + a997 50，那么a3 +气+ a + a。等于* 【教学建议】本题主要是帮助学生复习不会整体代入，有整体代入的思想.教学时，教师可让学生先口答.结合本题，强调整体的思想.解析：因为 a + a + a + a ,a + a + a + a ，a + a4 + a +

2、a9 成等差，公差为33d 66 t殳 a3 + a+ a9 + + a99 x， 则 a+ a5 + a + + a9 = x 33d，x, x 33d ,50 成等差数列，即 2x +132 x + 50 得x 82. *2、 三个数成等差数列，它们的和是15,它们的平方和等于83,则这三个数为.【教学建议】本题选自课本第38页习题.本题主要是帮助学生复习如何设未知数.若奇数个数成等差数 列，且和为定值时，可设中间三个数为a -d , a , a + d ,偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间 两数为a -d , a + d .3、 一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和

3、与奇数项和之比为32 : 27,则0公差d=. 【教学建议】本题选自课本第44页习题.本题主要是帮助学生复习性质.思路1：运用性质，若成等差数列（其中e N * ），则a.也成等差数列.知等差数列中的偶数项， 奇数项分别构成首项为a + d,公差为2d,以及首项为a，公差为2d的等差数列.直接利用等差数列的求 和公式可解决问题；11思路2：若能巧用整体思想，活用等差数列的性质：记等差数列的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， 若a 共有 n 2k 项，则 S S = kd，% 4 ；若a 共有 n 2k 1 项，则 S S a， n偶 奇San奇 偶 kS = n - a 奇，解决问题则显得简

4、捷明快.n k S n 14、 已知等差数列a“中，a1 3,11a5 5a8，则前n项和孔的最小值为.【教学建议】本题选自课本第44页习题.“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之 和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）（即找正负项的分界点）a 0，且a a =-16，a + a = 0，则数列a 的通项公式为n3 746n【分析与点评】方法1可以直接根据等差数列的通项公式代入，得到关于a1，d的二元二次方程组，解出a,d，从而求出通项公式，方法2利用等差数列的性质a + a = a +

5、a = 0再由a a = -16， d 0解得a = -4,a = 4，从而可46373 737以求出公差为2,得通项公式为an = 2n -10本题主要考查对等差数列的基本量的运用以及等差数列的下标和性质的运用。3、要点归纳强化“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中运用，用“基本量法”方法求解是处理 数列问题的基本方法，要求学生熟练掌握.同时强调，并不是每道题都有捷径，要充分合理地运用条件， 时刻注意求解的目标，选择方法时要慎重；等差数列的性质是数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意 识去应用；在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形；

6、等差数列的所有问题都要向通项公式、性质、前n项和转化；在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题，是必须具备的能力四、范例导析a =50.求/ %前n项和Tn I n例1已知等差数列aa =50.求/ %前n项和Tn I n(1)求通项a ；(2)若S =242，求n ；(3)【教学处理】在提问学生问题讨论交流后，可教师板书示范，也可让学生练习、板演后点评.【引导分析与精讲建议】1、强调应用等差数列的通项公式求七和d，运用了方程的思想,一般地，可由a = a, a = b,得a + (m 一 1) d = aj 1,求出a和d，从而确定通项.a1+ (n -Dd=b1

7、化归为首项、公差(公比)和项数之间的关系，通过列方程(组)解决问题.这是研究等差(等比)数列 的最基本方法.也可从等差数列中任意两项之间关系入手(a = a + (n - m)d ).2、通项公式法：a = kn + b (k , b是常数)(n GN*) o ia 是等差数列；nn证明数列a 是等差数列的两种基本方法是：(1)利用定义，证明an+1 -an = d (常数)(n e N-);(2)利用等差中项，即证明2 a = a + a( n N 2).例2已知数列a 的首项a = 3：通项a与与前n项和为S之间满足2a = S S (n 2).n1nnn n n-1,1求证：是等差数列，

8、并求公差；Sn求数列a”的通项公式；数列an中是否存在自然数k，使得不等式aka.对任意大于等于k的自然数都成立？若存在求出最小的k值；若不存在，说明理由.【教学处理】先给学生独立思考的时间，然后指名学生回答问题(1)，学生评议，教师评点并板书过程。问题(1)结束后，可让学生板书问题(2)，并思考问题(3)，学生讨论后回答，教师板书、点评问题3)。【引导分析与精讲建议】(1 )利用a与S的关系可以实现a与S的相互转化，由已知中2a = S S (n 2)，我们易得n nn nn n n -12( S - S ) = S S ，两边同除以S S 后，即可得到1 - 1 =- 1 (n 2)，即数

9、列】是以1为公 TOC o 1-5 h z nn-1n n-1n n-1S S2S3.一、，一1、，一 一 ，1、 一一、差等差数列，再由首项a =3，代入求出数列的首项，即可得到数列的通项公式；nn由(1)的结论，结合2a = S S (n 2)，我们可以得到n2时，a 的通项公式，结合首项a =3,n n n -1n1我们可以得到a 的通项公式；n令ak小解不等式我们可以求出满足条件的取值范围，再根据k 6 N，即可得到满足条件的k值.本题考查的知识点是等差关系的确定，数列的函数特性，数列的递推公式.要判断一个数列是否为等差数列最常用的办法就是根据定义，判断a -a 1是否为一个常数.a

10、21例3改为 已知数列a 满足a1 = 2a,a = a(n 2)其中a是不为0的常数，令b =n-1n 求证：数列b“是等差数列. 求数列a,的通项公式.【教学处理】要求学生独立思考解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评. 【引导分析与精讲建议】问题：证明一个数列是等差数列的方法有哪些？引导学生利用定义法，求与- 1 、1 一_ 一 、， ，1代入化简得常数一，由第一问可以求出数列气的通项公式，根据b =可以找出气与七的等式n关系，求出七。【备用】已知数列an的前n项和Sn ,且2/号=an + 1 .（1） 求数列an的通项公式；（2） 设b =1，数列数列b“的

11、前n项和Bn，求证：B -.【说明】（1）求得a e1 ,a = 3,a = 5,，可以归纳猜想a = 2n 1，所以下面考虑将2、iS = a + 1向 等差数列转化.（2）分析通项的特征，考虑裂项相消求和 递推是学好数列的重要思想，本题由4Sn = （a” + 1）2推出4Sn+1 = （a叫+ 1）2，它其实就是函数中的变量代换法.在数列中一般用n 1 , n +1等 去代替n：实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值.五、解题反思确定等差数列的关键是确定首项匕和公差d .解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法： 基本量法，即运用条件转化成关于a和d（q

12、 ）的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、 子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.等差数列通项公式中联系着五个量：a，d，n，a，S，根据方程的思想已知其中三个量，可求出1n n另外两个量.若奇数个数成等差数列，且和为定值时，可设中间三个数为a -d，a，a + d，偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两数为a -d，a + d .数列是一种特殊的函数，求解数列的问题时要注意函数思想，方程思想及化归思想的应用.an为等差数列0a a = d （定义）2 a = a + aa匚An + b （关于n的“一次函数”）S = An2 + Bn （缺常数项的“二次函 数”） nSn (a + a )n （n 一 1）.一一、，.、.+ d中，有五个量a、a，n，a，S通过解方程（组）知三可求二，a和n2121 nn1d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知，是常用的方法.方程（组）的数学思想方法在数列部 分应用很广泛，注意运用.求等差数列S最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点，用配方法求解;借助等差数列的 性质判断，通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解.（经过原点）启示：寻找分界点Fn - 0或。尸0 ；借助二次函数图象；等差数列中前n项和有