空间向量综合复习二空间向量与平行关系

1、空间向量综合复习(二)空间向量与平行关系、选择题1. (2011 三明高二检测)如果直线l的方向向量是a = (-2,0,1),且直线l上有一点P在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2, DC=3, DD4,M,N,E,F分别是棱人且,。史的中点. 求证：平面AMN平面EFBD.不在平面a上，平面a的法向量是b = (2,0,4),那么()la(B)la (C)lu a(D)l 与a 斜交3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为AB1上的点，若Bf 平面PBD,求证:P为AB1的中点.(A) a p(B) a p (C) a、p相交但

2、不垂直(D)以上都不正确已知平面a内有一点M (1, -1, 2),平面a的一个法向量n = (6, -3, 6),则下列点P中，在平求证：在四棱锥P-ABCD中，AP求证：在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.面a 内的是()(A)P (2, 3, 3) (B)P (-2, 0, 1) (C)P (-4, 4, 0) (D)P (3, -4, 4)(2011 大连高二检测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a, M、N分别 为&B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定设平面a的法向量为(1,2,-2),平面p的法向量为(-

3、2,-4,k),若a p，贝0k=()(A)2 (B)-4(C)4 (D)-21 5已知直线l的方向向量是n=(2,-1,3),平面p的法向量v=( - , r r ),4 12则直线l与平面P的位置关系是()(A)平行(B)垂直(C)相交(D)平行或l p 设a,b分别是不重合的直线 l2的方向向量，则根据下列条件能判断Ll2的是()14=(5,1,0),b=(-2,-4,0);a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);a=(5,0,2),b=(0,1,0); TOC o 1-5 h z a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).(A)(B)(C)(D)二、填空题 HYPERLIN

4、K l bookmark20 o Current Document 1.若AB = XCD + pCE (入，M er)，则直线AB与平面CDE的位置关系为, 已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A (4, 1, 3), B (2, -5, 1), C (3, 7,入)，若 AB 1 AC , 则入等于.(2012 成都高二检测)若a=(2,1,-1),b=(-2,1,3),则与a,b均垂直的单位向量的坐标为.(2012 南平高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点，以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量

5、.1三、解答题1在正方体ABCD-&BRD中，点N在BD上，点M在Bf上，且CM=DN,求证：MN平面ABB.4.如图所示，在直角梯形ABCP中，APBC, APAB, AB=BC=1 AP, D为AP的中点，E, F, G分 别为PC, PD, CB的中点，将 PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图所示.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，/ABC=60 ,PA平面 ABCD, PA=AC=a,PB=PD= J2 a,点 E 在 PD 上，且PE : ED=2 : 1.在 棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论.6.如图，已知菱形ABCD的边长为6 , ZBAD

6、 = 60。, ACDBD = O .将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD = 3 1.【解析】选 B. a-b =(-2, 0, 1) - (2, 0, 4)=-4+0+4=0,AB AC =2-36-2入 +6=0,.入=-14.答案：-147.【证明】如图所示，以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，过N作NFXAB于F,过M作MEBB1于E,连接EF, 设正方体的棱长为a,DN=CM=b,2.【解析】选 A. vu = (1,2,-2), v =(-3,-6,6)2222 . AB与CD , CE共面.AB平面CDE,或ABu平面CDE.

7、R ( 3 , 3 , 4), S24.添=(1, 3,0),EF=(1, 3,0),AR = (-2 , 4,4), TS34), T(1,次).答案：AB平面CDE或ABu平面CDE6.【解析】AB = (-2, -6, -2), AC = (-1, 6,入-3)MN = EF,AR = TS ,又MN与EF、AR与TS不共线，.MNEF,ARTS.MN平面 EFBD, AR平面 EFBD,又 MNu平面 AMN, ARU平面 AMN, MNn AR=R,平面AMN平面EFBD.方法二：建系同方法一，3由方法一可知，A (2, 0, 0), M (1, 0, 4), N (2,4),3D

8、(0, 0, 0), E (0,4), F (1, 3, 4),2 ,33, 则 AM = (1, 0, 4), AN = (0, , 4), DE= (0, , 4), DF= (1, 3, 4).-X| + 4Z=0,即设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为-X| + 4Z=0,即3/ 八y +4z = 0, 2i if n AM 3/ 八y +4z = 0, 2i in AN = O, TOC o 1-5 h z 22 1令=1，得乞彳5=3，11广(1，一，彳)，fn DE = 0, 1 =-AE-AC22ABF. AE、AC 共面.又BF平面AEC,.BF平面AEC.知能巩固提升（

9、二十五）/课后巩固作业（二十五）一、选择题（每小题4分，共16分）设平面a的法向量为（1,2,-2）,平面6的法向量为（-2,-4,k）,若a 6 ,则k=（(D)-2-4(D)-21 5巳知直线1的方向向量是n=(2,-l,3),平面3的法向量v=(-,占)，则直线1与平面3的位4 12置关系是()(A)平行(C)(A)平行(C)相交(B)垂直(D)平行或1 u p(2012 郑州高二检测)设a, b分别是不重合的直线L，七的方向向量，则根据下列条件能判断L 1,的是()(D a=(-, l,0),b=(-2,-4, 0): a=(4, 6,-2), b= (-2,-3, 1): a=(5,

10、 0, 2),b=(0, 1,0); TOC o 1-5 h z 22定(-2, -1, 1), b= (4, -2, -8). (A)(B)(C)(D)(易错题)在正方体ABCD-ABCDi中，棱长为a, M, N分别为AB, AC的中点，则MN与平面BBCC的位置关系是()1(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定二、填空题(每小题4分，共8分)co(2012 -成都高二检测)若a= (2, 1,-1), b= (-2, 1, 3),则与a, b均垂直的单位向量的坐标为.(2012南平高二检测)正方体ABCD-ABCDi的棱长为1, E为BB】的中点,F为AD的中点，以DA, DC,

11、DD为x轴、y轴、z揄建立空间直角坐标萦，则平面|/|/ HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 18141%EF的法向量是.土、解答题(每小题8分，共16分)在正方体ABCD-ABCDi中，P为AB】上的点，若Bf 平面PBD,求证:P为AB】的中点.在长方体 ABCD-ABCDi 中，DA=2, DC=3, DD=4, M, N, E, F 分别是棱 AD A Bf D Cf B 的中点.求证：平面 AMN/4 EFBD.【挑战能力】(10分)如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ZABC=60 , PAL平面ABCD,pPA=AC=a, P

12、B=PD= 2 a,点 E 在 PD 上，且 PE ： ED=2 : 1.在棱 PC 上是否存在一点 F,使BF平面AEC?证明你的结论.D 答案解析【解析】选C.若两个平面平行，则它们的法向量也平行,/. (-2, -4, k)=A (1,2, -2) = (A ,2A ,-2A ),.A =_2, k=_2A = (2) X (-2) =4.15L 解析】选 D. Vn v=2 X (- ) + (-1) X +3 X =0,n J_ v,1 / 3 或 1 u 0 .412【变式训练】已知平面a内有一点平面a的一个法向量11=(6,-3,6),则下列四点中，在 平面a内的是()(A)N

13、(4,13, 6)N (-4, 5, 0)(B)N (-2,0, 1)N (6,-8,8)f2x + y- z = 0-2x + y+ 3z = 0f2x + y- z = 0-2x + y+ 3z = 0【解析】选A.由题意知MN n,即MN n=0, 设 N(x, y, z),则MN = (x-l, y+1, z-2), .6 (x-l)-3 (y+1) +6 (z-2) =0,即2x-y+2z=7,代入四个点N,N,N,N的坐标验证可知选A.*1234【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件，可逐一验证，因此适用排除法.【解析】选 A.a二一! b, 1 1 ,排除 B、C,a=-2b,

14、1 1 ,故选 A.A1212【变式训练】设U、v分别是不同的平面a ,8的法向量,根据下列条件能判断a |3的是1U=(-1, 1, -2), v=(3, 2,;4u=(0, 0, 3),v=(0, 0, -2);u= (4, 2, -3), v= (1, 4, -2).【解析】判断两个法向量是否平行即可.Vu=kv的k值不存在，.u与v不平行;_3*/u= v, .uv,.a /p ;Vu=kv的k值不存在，.*.u与v不平行.答案：【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系，可选鸟或q为原点，求虬N的坐标是解题关键.【解析】选B.以C为原点，以。耳一、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间

15、直角1 11 11 1坐标系如图，a a, a),J 乙a aM(a,),J而平面BBCCi的一个法向量为n=(0, 1, 0),NM . n=0.又 MN 二面 BBCC, .MN与平面BBCCi平行.n-a = 05.【解析】设与a, b都垂直的向量为此(x, y, z)，则L.b = o5.解得y = -z,取 解得y = -z,取 z=l,则 n=(l, -1, 1),所求单位向量nQ=J3 3 /3 后 H 妪 7，）或.答案：（M，1【变式训练】已知la ,且1的方向向量为（2,m, 1）,平面a的法向量为（1, -,2）,则m二1【解析】vl/a , .-.1的方向向量与平面a的

16、法向量垂直，.-.2Xl + -m+2Xl=0,解得H1=-8.答案：-8 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 11【解析】根据题意得 D/0, 0, 1),E(1, 1, -),F(-,0, 0), A HYPERLINK l bookmark137 o Current Document D F =(! , 0, 1), D E = (l, 1, i 2i2设平面D EF的法向量是n=(x, y, z),则:x = 2z3 , y = - z2 1x = 2z3 , y = - z2n-DF = x-z = Oi

17、21 ，解得n-DE = x + y- z = Oi2取 z=2k (k尹 0)，则 x=4k, y=-3k,.*.n=(4k,-3k, 2k) (k尹 0).答案:(4k, -3k, 2k) (k尹 0)【证明】以D为原点，分别以DA,DC,D%所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正 方体棱长为1,则：A(l,0, 0),B(l,1, l),C(0, 1,0).设 P(x, y, z),则PB =(1-x, 1-y, 1-z), AP = (x-1,/DB = (1, 1,0), DP = (X, y, z), BC = (-l,0,-l),BC 平面 PBD.BC =A DB+m DP(X ,m 为实数)成立, 即(-1, 0, -1)=A (1, 1, 0)+p (x, y, z).人+ |LIX = -1 X + |Liy = 0，解得:x-y=z|LIZ = -1又点P在直线AB】上，AP=A序(x-1, y, z)=A (1x, 1y, 1z)成立，x-l = X(l-x)3,3.则 AM = (1, 0, 4), AN = (0, , 4), DE = (0, , 4), DF=(1, 3, 4).(x , y , z222-x +4z 0,i i(x , y , z222-x +4z 0,i i即