空间向量和立体几何

1、知识清单:1,空间向量及运算：空间向量和平面向量的加、减、数乘一样。1.1空间向量的定义：空间中既有大小又有方向的向量叫做空间向量，用有向线段表示空间向量的定义AB或a，是自由向量，不讲究起点，空间向量的大小叫做空间向 量的长度或者模。记|克|或者切。1.2空间向量的夹角：过空间一点O作OA = a，OB = b，则ZAOB叫做。与b的夹 角，记作（a, b，0I a, b；*兀，当ja, b二;时，a与b垂直，记a 1 b。当 0b = 0 或兀时，a/b o1.3特殊空间向量：当a = 0时，称a为零向量，记a = 0，与任意向量平行和垂直。当a = 1，称a为单位向量，对任意非零向量当a

2、 = 1，称a为单位向量，对任意非零向量a，叫做a的单位向量。当a =-b时， a称a与b互为相反向量。1.4方向向量与法向量：当a与1平行时，称a 3 0）是l的方向向量，一直线的方向向量有无数个。当1与平面a垂直时，称a 0）是平面a的法向量，一平面的法向量有无数个。1.5向量的线性运算：1.5.1向量的加法符合平行四边形法则，减法符合三角形法则，又满足规律：（a + b） + c = a + （b + c） , a + b = b + a,若n个向量相加且首尾相接，贝U其和向量以开始起点为起点，以最终的终点为终点一样，即A A +AA +TA + A A = A A o 0 11 22

3、3n-1 n 0 n1.5.2向量的数乘：人分与平而向量意义相同。|人4 = |人|同，X 0时，人云与1同向；人 时，sin 0 | =当;a,n ) 时，cos0 =: a,na - n2，sin0 = -cos：a,n当a,n； A A AA. a （b c）B. c （b a）C. a b cD. b （c a）在以下命题中，正确命题的个数为（）若a, b共线，则a与b所在直线平行；若a, b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面；若a, b, c三向量两两共面，则a, b, c三向量共面；若a, b, c三向量共面，则由a, b所在直线所确定的平面与由b, c所在直线确定的平面是 同

4、一个平面A. 0B. 1C. 2D. 3（广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考）若a、b、c为任意向量，mR，下列等式不一定成立的是（）A. (a+ b) +c=a+ (b+ c) B. (a+ b) -c=a-c+ b-c C. m(a+ b)=ma+ mb D. (a-b)c=a(b-c)4,（陕西省西安铁一中2009届高三12月月考）与向量（-3, -4, 5）共线的单位向量是 TOC o 1-5 h z （）3、，3克2捐23克2克*（A）（mx；-项）和（-耳 一f，z）； （C）（匹空冬）和（-里,-巨,-五）；（B）（垣三-巨）；1052 _（B）（垣三-巨）；1052

5、_（D）（-空-空豆）； 521052中，化简AB + AD + （DD -BC）的结果为1在平行六面体ABCD-q叩iDi6,若空间三点 A（1, 5, -2）, B（2, 4,1), C (p,3,q+2)共线，则 p=，q=7，（湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题）已知F = i + 2 y + 3k , 1F=-2i + 3 3j - k，F= 3i - 4 y + 5k，若F,弓g共同作用于一物体上，使物体从点 TOC o 1-5 h z M（1, -2, 1）移动到N（3, 1, 2）,则合力所作的功是 .8,（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）在正三棱柱AB

6、CA1B1C1中，若AB=JBB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）A.60B.90C.105D.759，设向量a 二（3,5, 4）,b =（2,1,8 ），计算3a 2b,a -b,并确定人,日的关系，使10，如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量也&与口管所成角的余弦值.巩固题： TOC o 1-5 h z 在ABC 中，AB=AC=5, BC=6, PA上平面 ABC, PA=8,则 P 到 BC 的距离是.（）A书B.4抵C.3的D.2的在平面直角坐标系中，A（-2,3）, B（3,-2）,沿x轴把平面直角坐标系折成120。的二面角后则线段AB的长度为

7、（）A.应B. 2%宣C. 3克D. 4应8 若向量a=（1入2）,b=（2,-1,2）,a、b夹角的余弦值为，则人等于（）A.2B.-2C.-2 或 55D.2 或55（湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题）已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。,那么a + 3b等于（）A. J7B.板10C.七13D. 4设 a=(x,4,3),b=(3,2,z)，且 ab,则 xz 等于()64A.-4B.9C.-9D.如图，平面PAC1平面ABC, AABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA , PB , AC的中点，AC = 16, PA = PC = 10 .设G是O

8、C的中点， 证明：FG/平面BOE ；7,（山西大学附中2008届二月月考）正三棱柱ABC - A1 B C1所有棱长都是2 , D是棱AC的 中点，E是棱CC1的中点，AE交A1 D于点H.（1）求证：AE 1平面ABD ；1（2）求二面角D - BA - A的大小（用反三角函数表示）；（3）求点B到平面ABD的距离.8, （09山东理）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD, AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点.（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1/平面FCC1 ；（2）证明:平面DAC1平面

9、BB1C1C.BC BC + BA = 2BP，则(1, （09山东理）设P是ABC所在平面内的一点，A. PA + PB = 0B. PB + PC = 0 C. PC + PA = 0D. PA + PB + PC = 02, （09山东理）已知a，B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“a 1 P ” 是“ m 1。”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3，（2010 文科）直三棱柱ABC ABC中，若 ABAC = 90。，AB = AC = A,则异面直线BA与AC1所成的角等于（）A, 30。B, 45。C, 60。D,90。4,

10、(2010文科9)正方体ABCD ABCD中1111BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（）A,与B,亨C,f 1 =。g2兀）,八(2兀10,P : a + b 1 = b g,丸1_ 3 J21L 3（2011全国理）已知a与b均为单位向量，其夹角为。，有下列四个命题A. P, PB. P, P3（2011浙江理）下列命题中错误的是（ . .C. A. P, PB. P, P3（2011浙江理）下列命题中错误的是（ . .C. P,P3D. P, PA.如果平面a平面8，那么平面a内一定存在直线平行于平面PB.如果平面a不垂直于平面P，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面PC.如果平面a

11、 平面Y，平面P 平面Y，a n P =l，那么l 平面yD.如果平面a平面8，那么平面a内所有直线都垂直于平面P（2011全国文）若直线l不平行于平面a，且l W a，则（）A. a内的所有直线与异面B. a内不存在与l平行的直线C. a内存在唯一的直线与l平行D. a内的直线与l都相交兀）一 3 1P : a 一b 1 = 6 g0,-P : a 一b 1 = 6 g,3i-3 J41L 3其中的真命题是（）（2011全国文）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC中，AB = AC，D为BC的中占I 八、PO中占I 八、PO上平面ABC，垂足O落在线段AD上.(I)证明：AP BC ；(II)(II)已知 BC = 8，PO = 4，AO = 3，OD = 2 .求二面角 B AP C 的大小.9, (2011全国理)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，匕DAB=60,AB=2AD,PDL 底面 ABCD.(I )证明：PAXBD