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文档简介
1、,.高中数学空间向量巧解平行、垂直关系编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审察郑建彬一、考点打破知识点课标要求题型说明能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。2.理解直线的方向向量与平面的注意用向量方选择题法解决平行和垂直空间向量巧解法向量。3.填空题问题中坐标系的建平行、垂直关系能用向量方法解决线面、面面的解答题立以及法向量的求垂直与平行问题,领悟向量方法在法。立体几何中的作用。二、重难点提示重点:用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。难点:用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。考点一:直线的方向向量与平面的法向量1.直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量
2、。2.若是表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作a,此时向量a叫作平面的法向量。【核心归纳】,.一条直线的方向向量有无数多个,一个平面的法向量也有无数多个,且它们是共线的。在空间中,给定一个点A和一个向量a,那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。【随堂练习】已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位向量是()A.(1,1,1)B.(3,3,3)333C.(1,1,1)D.(3,3,3)333333思路解析:设出法向量坐标,列方程组求解。uuuruuur答案:设平面ABC的一个法向量为n(x,y,z),AB(
3、0,1,1),BC(uuuryz0uuurABnuuurxy0,xyz,1,1,0),AC(1,0,1),则BCnuuurxz0ACn又单位向量的模为1,故只有B正确。技巧点拨:一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤以下:(1)设出平面的法向量为n(x,y,z)。(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a(a,b1,c),b(a,b,c)。11222(3)依照法向量的定义建立关于x,y,z的方程组na0nb0.(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。考点二:用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b(a2,线线平行ab
4、?(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)b2,c2),则lm?设l的方向向量为a(a1,b1,c1),的法向量为u(a2,b2,c2),线面平行uabclaauabc设,的法向量分别为u(a1,b1,c1),v(a2,b2,c2),面面平行则?uv?(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b(a2,线线垂直b1b2c1c20b2,c2),则lm?ab?ab0?a1a2设l的方向向量为a(a1,b1,c1),的法向量为u(a2,b2,c2),线面垂直则l?au?aku?(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)(kR)设,的法
5、向量分别为u(a1,b1,c1),v(a2,b2,c2),面面垂直则?uv?uv0?a1a2b1b2c1c20Oxyz。,.【核心打破】用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个详尽应用,表现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转变成空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,表现了由“形”转“数”的转变思想。用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:建立立体图形与空间经过向量运算,研究把向量的运算结果向量的联系,用空间点、直线、平面之间“翻译”成相应的几向量表示问题中涉及的地址关系以及它们何意义。的点、直线、平面,之间的距离和夹角等把立体几何问题转变问题。为向量问题。例题1
6、(浙江改编)如图,在周围体AD2,BD22,M是AD的中点,P是证明:PQ平面BCD。ABCD中,AD平面BM的中点,点Q在线段BCD,BCCD,AC上,且AQ3QC。思路解析:利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。答案:证明:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系由题意知,A(0,2,2),B(0,2,0),D(0,2,0)。uuuruuur3x0,23y0,1设点C的坐标为(x0,y0,0)。因为AQ3QC,所以Q。4442因为M为AD的中点,故M(0,2,1),又P为BM的中点,故P0,0,1,2,.uuur323。所以PQ
7、44y0,04x0,uuur又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1),故PQa0。又PQ?平面BCD,所以PQ平面BCD。技巧点拨:解决此类问题的依照是要依照线面平行的判判定理,可证直线的方向向量与平面内某向来量平行,也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。例题2长都为2,D以下列图,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)为CC1的中点。求证:AB1平面A1BD。ABCA1B1C1的所有棱思路解析:证明线面垂直能够经过证明线与面的法向量平行来实现。答案:证明:以下列图,取BC的中点O,连接AO,因为ABC为正三角形,所以AOBC。在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,AO
8、平面BCC1B1,uuuruuuuruuur取B1C1的中点O1,以O为原点,分别以OB,OO1,OA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0)。uuuruuuruuurBA1(1,2,3),BD(2,1,0)。AB1=(1,2,3)设平面A1BD的法向量为n(x,y,z),uuuruuuruuurnBA10 x2y3z0因为nBA1,nBD,故uuur02xy0,nBD令x1,则y2,z3,故n(1,2,3)为平面A1BD的一个法向量,uuuruuuruuur而AB1(1,2,3),所以AB1n
9、,所以AB1n,故AB1平面A1BD。技巧点拨:解决此类问题的依照是要依照线面垂直的判判定理,证明直线的方向向量与平面的法向量平行。例题3如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,ABBC2,BB11,E为BB1的中点,求证:平面AEC1平面AA1C1C。,.思路解析:建系写出坐标,分别求出两个平面的法向量,证明两个平面垂直。答案:证明:由题意得AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴,建立以下列图的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,1),uuuruuuruuuuruuu
10、r2则AA1(0,0,1),AC(2,2,0),AC1(2,2,1),AE(2,0,1)。2uuurz0设平面AA1C1C的一个法向量为n1AA10n1(x,y,z),则uuur2x2y0n1AC0令x1,得y1,n1(1,1,0)。设平面AEC1的一个法向量为n2(x0,y0,z0),则uuuur2x02y0z00n2uuurAC102x01z00n2AE02,.令z04,得x01,y01。n2(1,1,4)。n1n2111(1)040,n1n2.平面AEC1平面AA1C1C。技巧点拨:利用空间向量证明面面垂直平时能够有两个路子,一是利用两个平面垂直的判判定理将面面垂直问题转变成线面垂直进而
11、转变成线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直。向量法证明面面垂直的优越性主要表现在不用考虑图形的地址关系。合适建系或用基向量表示后,只须经过向量运算即可获取要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思想难度。利用向量解决立体几何中的研究性问题【满分训练】在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,棱BB1上可否存在一点M,使得D1M平面EFB1。思路解析:设出点M的坐标,利用线面垂直列方程组求解。答案:建立以下列图的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2)。uuu
12、ruuuruuuuur设M(2,2,m),则EF(1,1,0),B1E(0,1,2),D1M(2,2,m2)。D1M平面EFB1,D1MEF,D1MB1E,uuuuuruuuruuuuuruuurD1MEF0且D1MB1E0,220于是,m1。22(m2)0故取B1B的中点为M就能满足D1M平面EFB1。技巧点拨:关于“可否存在”型问题的研究方式有两种:一种是依照条件做出判断,再,.进一步论证。另一种是利用空间向量,先设出假设存在的点的坐标,再依照条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能够求出,或有矛盾,则判断“不存在”。(答题时间:40分钟)1.(东营高二检测)已知平面的法向量为a
13、(1,2,2),平面的法向量为b(2,4,k),若,则k()A.4B.4uuurC.5D.5uuuruuur2.(青岛高二检测)若ABCDCE,则直线AB与平面CDE的地址关系是()A.订交B.平行uuurC.在平面内D.平行或在平面内uuuruuuruuuruuur已知AB(1,5,2),BC(3,1,z),若ABBC,BP(x1,y,3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()33,15401540,2,4D.4,40A.,4B.,4C.,15777777(汕头模拟)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AEFC11。(1)求证:E,
14、B,F,D1四点共面;2(2)若点G在BC上,BG,点M在BB1上,GMBF,垂足为H,求证:EM3平面BCC1B1。5.以下命题中,正确的选项是_。(填序号)若n1,n2分别是平面,的一个法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的一个法向量,则n1n20;,.若n是平面的一个法向量,a与平面共面,则na0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面必然不垂直。uuuruuuruuuruuuruuur平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DBDC2DA)(ABAC)0,则ABC的形状是三角形。7.如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB2,AD1,AA13,M是B
15、C的中点。在DD1上可否存在一点N,使MNDC1?并说明原由。(衡水调研卷)以下列图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1D平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱A1A2。(1)证明:ACA1B;uuuruuur(2)可否在棱A1A上存在一点P,使得APPA1,且面AB1C1面PB1C1。,.D解析:,ab,ab282k0,k5。uuuruuuruuuruuuruuuruuurD解析:ABCDCE,AB、CD、CE共面,则AB与平面CDE的地址关系是平行或在平面内。uuuruuuruuuruuur3.B解析:ABBC,ABBC0,即352z0,解得z4,40uuuruuuruu
16、uruuurx15y60 x7。又BP平面ABC,BPAB,BPBC,则3x1y12,解得150y7证明:(1)以B为原点,以BA,BC,BB1为x轴,y轴,z轴,建立以下列图的空间uuur直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),E(3,0,1),F(0,3,2),D1(3,3,3),则BEuuuruuuuruuuuruuuruuur(3,0,1),BF(0,3,2),BD1(3,3,3),所以BD1BEBF。由向量共面的充要条件知E,B,F,D1四点共面。(2)设M(0,0,z0),G0,2,03,则GM0,2uuur,z0,而BF(0,3,2),3uuur21。故M(0uuurBF00,
17、0,1),有ME(3,30,0)。uuuruuuruuuruuuruuuruuur又BB1(0,0,3),BC(0,3,0),所以MEBB10,MEBC0,进而MEBB1,MEBC。又BB1BCB,故EM平面BCC1B1。解析:必然正确,中两平面有可能重合。uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur6.等腰解析:(DBDC2DA)(ABAC)(DBDADCDA)CBuuuruuuruuur(ABAC)CB0,故ABC为等腰三角形。解:以下列图,建立以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的坐标系,则C1(0,2,3),M(1,2,0),D(0,0,0)。设N(0,0,h),2,.uuuur1uuuur(0,2,3),则MN(,2,h),DC12uuuuruuuur1由MNDC1(,2,h)(0,2,3)43h.2当h4uuuuruuuuruuuuruuuur3时,MNDC10,此时MNDC1。存在NDD1,使MNDC1。8.证明:以DA,DC,DA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,3),B(1,1,0),D1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(
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