【教学资料精创】九年级数学中考专题训练-二次函数 压轴题

1、第68页（共68页）中考专题训练二次函数 压轴题1如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线yax2+bx3的解析式；（2）如图，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EFBC于点F，EGy轴交BC于点G，求EFG面积的最大值及此时点E的坐标；（3）如图，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2如图1，已知抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求

2、抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标3如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线yax23ax4a与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C连接AC，BC（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）若直线BC：yx+4，在直线BC上方的抛物线上找一点Q，使得BCQ的面积为6，求点Q的坐标；试在y轴上找一点N，连接AN，使AN+CN的值最小，此时点N的坐标是 ，AN+CN的最小值为

3、；（3）若在第四象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标4如图1，抛物线y+bx+c与y轴交于点A，直线yx+2经过点A，与x轴交于点B，且与抛物线的另一交点C的横坐标为5（1）求点A、C的坐标和抛物线的函数表达式；（2）将AOB沿y轴向上平移到AOB，点O恰好与点A重合，点B的对应点为点B，判断点B是否在抛物线上，说明理由；（3）如图2，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，那么平面直角坐标系内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形面积最大？如果存在，求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由5如图，抛物线与x轴交于点

4、A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）若点P为抛物线上的一点，且SABP1，求点P的坐标；（3）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由6如图，在平面直角坐标系中，OAC绕点O顺时针旋转90得到ONB，OBOC3，抛物线yx2+bx+c经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图点D是抛物线的顶点，试判定BND的形状，并加以证明；（3）如图在第一象限的抛物线上，是否存在点M，使SMBN2SAOC？若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由7如图，抛物线y

5、x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F（1）求线段DE的长（2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且BEG与COE相似，请直接写出点G的坐标（3）设点P为x轴上的一点，且DAO+DPO，tan4时，求点P的坐标8如图，抛物线yax22ax+m与x轴交于A（1，0）和B两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线l：y2x4与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使PBFDFB，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件

6、下，对于直线l上任意给定的一点G，过点G的另外一条直线交抛物线于M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得GMMN？请证明你的结论9已知抛物线yx2+bx+c（bc0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）（1）若该抛物线的顶点D坐标为（1，4），求其解析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点D在直线l：yx+3上滑动，且与直线l交于另一点E，若ADE的面积为，求抛物线顶点D的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN与PQ满足的数量关系10如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过

7、A（0，1），B（4，1）直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点过点P作PDAB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，在抛物线上有一点F，使得CBFOAC，求点F的坐标；（3）如图2，当PDE的周长为+8时，求点P的坐标11如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0），点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；（2）连接BP，以BD、BP为邻边作平行四边形BDEP，直线

8、PE交y轴于点T当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标；在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），求出点T运动的路径长12如图，抛物线yx2+bx+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，A点坐标是（1，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PDx轴，垂足是点D，线段BC把线段PD分成两条线段，其中一条线段长是另一条线段长的2倍，求P点坐标；（3）如图2，若点E在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标13如图，已知二次函数y（xm）25图象的顶点为A，与

9、y轴交于点B，点P（1，n）（与顶点A不重合）在该函数的图象上（1）当m3时，求n的值；（2）当n3时，若点A在第三象限内，结合图象，求当y3时，自变量x的取值范围；（3）作直线AP与y轴相交于点C，当点B在x轴下方，且在线段OC上时，求m的取值范围14如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3（a0）交x轴于A，B两点，已知点A的坐标为（4，0），AO2BO（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，x轴于E，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得

10、OPCOAC，请直接写出点P的坐标15定义：若抛物线yax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线（1）判断抛物线yx2+2x3是否是定弦抛物线，请说明理由；（2）当一定弦抛物线的对称轴为直线x1，且它的图象与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；（3）若定弦抛物线yx2+bx+c（b0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2x4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值16在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax28ax+c（a，c是常数，a0）经过点A（8，0），B（6，12）（1）求这条抛物线的表达式（2）在第一象限内

11、对称轴上有一点C，满足AOAC，求四边形ABOC的面积（3）D为OB下方抛物线上一动点，连接AD，BD，若ABD为直角三角形，求点D的坐标17如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2+bx+4与x轴交于点A（1，0）、点B（4，0）（1）求a、b的值；（2）如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接AP交y轴于点C，连接BC，设点P横坐标为t，ABC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，当点P在对称轴左侧时，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为点D，交抛物线于点Q，点E为BC上一点，连接PE，若QAB+ACO45，PE

12、AB，求直线EQ的解析式18如图，抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是直线BC下方的抛物线上一点，且SPBC2SABC时，求点P的坐标；（3）点P（2，3），点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由19如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，直线ym（m0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧）（1）求该抛物线的表达

13、式及点C的坐标（2）点M关于y轴的对称点为点M，点H的坐标为（1，0），若四边形NHOM的面积为，求点H到OM的距离d（3）在（2）的条件下，直线yx2与直线ym交于点G，与x轴交于点E，与y轴交于点F；在直线FN上，射线GN上和射线GF上分别有动点I，P，Q，则IPQ周长的最小值为 20如图，已知抛物线ya（x26x）与x轴交于原点O和点A（点A在x轴正半轴上），M为抛物线对称轴上一动点，抛物线顶点为B，且三角形OAB为等边三角形（1）求该抛物线解析式（2）连接AM，并将线段AM绕点A逆时针旋转60至AN当点N恰好落在抛物线上时，求出满足条件的点M的坐标（3）若将线段AM绕点A逆时针旋转30

14、得到线段AP，且满足APAM，连接OP与BP，在点M的运动过程中，OPB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由参考答案与试题解析1如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线yax2+bx3的解析式；（2）如图，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EFBC于点F，EGy轴交BC于点G，求EFG面积的最大值及此时点E的坐标；（3）如图，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析

15、】（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线yax2+bx3，即可求函数解析式；（2）求出直线BC的解析式为yx3，设G（m，m3），E（m，m22m3），可判断EFG是等腰直角三角形，在RtEFG中，当EG最大时，EFG的面积最大，因为，所以当时，EG的最大值为即可求解；（3）分三种情况讨论：当BDPD时，；当BPDP时，；当BDBP时，P4（1，4）【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线yax2+bx3，得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）令x0，则y3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+b（k0），将B（3，0），C（0，3）代入，得，解得，直线BC

16、的解析式为yx3，设G（m，m3），E（m，m22m3），EG（m3）（m22m3）m2+3m，OBOC3，BOC90，BOC是等腰直角三角形，BCO45，EGy轴，EGFBCO45，EFBC，GEFEGF45，EFG是等腰直角三角形，EFGF，在RtEFG中，EF2+GF2EG2，当EG最大时，EFG的面积最大，当时，EG的最大值为，EFG的最大面积，此时，E（，）；（3）存在，理由如下：抛物线yx22x3（x1）24，顶点D的坐标为（1，4），B（3，0），设P（1，n），则BP2（31）2+（0n）2，DP2（n+4）2，以B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况：当BDPD时

17、，则，P（1，4+2）或P（1，42）；当BPDP时，则（31）2+（0n）2（n+4）2，解得，P（1，）；当BDBP时，则，解得n14，n24（舍），P（1，4）；综上所述，满足条件的点P有4个，坐标分别为（1，4+2）或（1，42）或（1，）或（1，4）；2如图1，已知抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E

18、点的坐标【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）连接BC交对称轴于Q，在yx22x+3中，得对称轴为直线x1，C（0，3），AC，要使得QAC的周长最小，只需Q、B、C共线，设直线BC解析式为ykx+t，可得直线BC解析式为yx+3，即可得Q（1，2）；（3）过点E作EFx轴于点F，设E（a，a22a+3）（3a0），则F（a，0），可得EFa22a+3，BFa+3，OFa，即可求出S四边形BOCESBEF+S四边形EFO，故当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，点E坐标为【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），解得：，所求

19、抛物线解析式为：yx22x+3；（2）存在Q（1，2），理由如下：连接BC交对称轴于Q，如图：在yx22x+3中，令x0得y3，对称轴为直线x1，C（0，3），而A（1，0），AC，要使得QAC的周长最小，只需QC+AQ最小，又A、B关于对称轴对称，有QAQB，只需QC+QB最小即可，Q、B、C共线时，QAC的周长最小，设直线BC解析式为ykx+t，则，解得，直线BC解析式为yx+3，令x1得y2，Q（1，2）；（3）过点E作EFx轴于点F，如图：设E（a，a22a+3）（3a0），则F（a，0），EFa22a+3，BFa（3）a+3，OF0aa，SBEFBFEF（a+3）（a22a+3），S

20、四边形EFOC（OC+EF）OF（a22a+3+3）（a），S四边形BOCESBEF+S四边形EFOC，当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，此时a22a+3，点E坐标为3如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线yax23ax4a与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C连接AC，BC（1）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0）；（2）若直线BC：yx+4，在直线BC上方的抛物线上找一点Q，使得BCQ的面积为6，求点Q的坐标；试在y轴上找一点N，连接AN，使AN+CN的值最小，此时点N的坐标是（0，1），AN+CN的最小值为；（3）若在第四象限的抛物线上有点P，使得

21、以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标【分析】（1）令y0，ax23ax4a0，可解得A，B两点坐标；（2）根据直线解析式可求出C点坐标，代入抛物线可求a值，得到抛物线的解析式，设Q点坐标，根据BCQ，OCQ，OBQ，OBC面积的关系，列出等式，即可求出Q点坐标；由图形可知，点N不可能在C点上方，当点N在C点下方且在原点上方时，作MNOB，交BC于点M，并取CM中点P，连接NP，可得CMN为等腰三角形，可证NPCN，即得出AN+CNAN+NP，故当点A，N，P三点共线时，AP最小，且此时APCN，最后由ABP为等腰直角三角形可推出OAN为等腰直角三角形，得到OAON1；当点N在原

22、点下方时，由图可知N点与原点重合，AN+CN有最小值，最小值为AO+CO，可证明大于AP，比较可得最小值为AP；（3）分类讨论ABC与P1AB相似时，结合P点坐标，对不同角和边的对应情况求解【解答】解：（1）令y0，则a23ax4a0即x23x40，解得：x11，x24，点A在点B的左边，A（1，0），B（4，0），故答案为（1，0），（4，0）；（2）直线BC：yx+4，令x0，则y4，即C（0.4），点C在抛物线上，将C点坐标代入抛物线解析式中，得：4a4，解得：a1故该抛物线解析式为：yx2+3x+4，根据题意设Q（x，x2+3x+4）（0 x4），如图可知，SBCQSOCQ+SOBQS

23、OBC，SBCQ+2x2+8x，SBCQ6，2x2+8x6，解得：x11，x23，当x1时，Q点坐标为（1，1+3+4），即Q（1，6）；当x3时，Q点坐标为（3，9+9+4）即Q（3，4），综上Q点坐标为（1，6）或（3，4）；由图并结合题意可知N不可能在C点上方，当N在C点下方且在原点上方时，即0yn4，作NMOB，交BC于点M，并取CM中点P，连接NP，由题意可知CMN为等腰直角三角形，NPCM，且NPCPMPCM，NPCN，AN+CNAN+NP，当A、N、P三点共线时最小且最小值为AP长，此时APCM，ABP为等腰直角三角形，APAB（xbxa），即最小值为ABP为等腰直角三角形又可推

24、出OAM45，OAN为等腰直角三角形，OAON1，N坐标为（0，1），当N在原点下方时，由图可知当N点与原点重合时，AN+CN有最小值，即最小值为AO+CO1+1+2，1+2，AN+CN有最小值，N点（0，1），故答案为（0，1），；（3）如图，ACBP1BA，则CBAP1AB，CBAP1BC：ya（x4），设直线AP1：yax+b，将A（1，0）代入，得，yax+a，联立y1ax23ax4a与y2ax+a，得x1，y0（舍去）或x5，y6a，P1（5，6a），ACBP1BA，AB2AP1BC，2564，解得，a2，a0，a，P（5，）ACBABP2，则CABP2AB，tanP2ABtanCA

25、B4a，4a，解得x1，y0（舍去）或x8，y36a，P2（8，36a），ACBABP2，AB2ACAP2，25，解得a2，a0，a，P（8，12）综上，P（5，）或（8，12）4如图1，抛物线y+bx+c与y轴交于点A，直线yx+2经过点A，与x轴交于点B，且与抛物线的另一交点C的横坐标为5（1）求点A、C的坐标和抛物线的函数表达式；（2）将AOB沿y轴向上平移到AOB，点O恰好与点A重合，点B的对应点为点B，判断点B是否在抛物线上，说明理由；（3）如图2，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，那么平面直角坐标系内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形面积最大？如果存在，求

26、出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）求出，A（0，2），将点A与C代入y+bx+c即可求解析式；（2）由AOB平移至AOB，可知OBOB且OBOB4，再由点O与点A重合，可求B（4，2），即可判断点B是在抛物线上；（3）过P作PDx轴于点D，交AB于点E，设P（m，m2+2m+2），E（m，m+2），过C作CFPD于点F，由SAPCSPAE+SPCE（m）2+（0m5），当时，SPAC最大值，以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形面积2SPAC，所以当SPAC最大时，平行四边形面积最大，即可求，当ACPQ时，Q（，）或Q（，）；当APCQ时，Q（，）或Q（，）

27、【解答】解：（1）C的横坐标为5，直线经过点A，当x0时，y2，A（0，2），抛物线经过点A、C，得，解得，抛物线的表达式为；（2）当y0时，x4，B（4，0），AOB平移至AOB，OBOB且OBOB4，点O与点A重合，点B的纵坐标为2，B（4，2），当x4时，点B在抛物线上；（3）过P作PDx轴于点D，交AB于点E，设P（m，m2+2m+2），E（m，m+2），PEm2+m，过C作CFPD于点F，SAPCSPAE+SPCEPEOD+PECF（m2+m）5（m）2+（0m5），当时，SPAC最大值，以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形面积2SPAC，当SPAC最大时，平行四边形面积最大，将代入

28、抛物线表达式，得，过点P平行AC的直线为yx+，AC，设Q点为（x，x+），当ACPQ时，x或x，Q（，）或Q（，）；当APCQ时，AP，设直线AP的解析式为ykx+b，得，yx+2，过C点与AP平行的直线为yx，设Q（x，x），x或x，Q（，）或Q（，）；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）5如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）若点P为抛物线上的一点，且SABP1，求点P的坐标；（3）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析

29、】（1）利用待定系数法求二次函数表达式，再根据二次函数一般式化为顶点式即可求得其顶点坐标；（2）结合图形根据三角形的面积，得到|yp|1，从而分别将yp1和yp1代入二次函数表达式进行求解即可；（3）根据平面直角坐标系中点的坐标推出CE24+（m3）2，BE21+m2，BC218，从而分当BEC90时、当BCE90时和当CBE90时三种情况进行讨论，并利用勾股定理列出相关方程进行求解即可【解答】解：（1）设二次函数的表达式为yax2+bx+c，将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）分别代入yax2+bx+c，得，解得，二次函数表达式为yx24x+3，yx24x+3（x2）21，顶点坐标为（

30、2，1）；（2）如图1所示，AB312，|yp|1yp1，当yp1时，x24x+31，解得，即图1中点P1，点P2；当yp1时，x24x+31，解得x1x22，即图中点P3（2，1）；点P的坐标为、（2，1）；（3）存在点E（2，m），使BCE是直角三角形，又B（3，0），C（0，3），则CE24+（m3）2，BE21+m2，BC218，当BEC90时，CE2+BE2BC2，即4+（m3）2+1+m218，解得x，如图2所示，点E1（2，），点E2（2，）；如图3，当BCE90时，CE2+BC2BE2，即4+（m3）2+181+m2，解得x5，此时点E（2，5）；如图4，当CBE90时，BE2

31、+BC2CE2，即1+m2+184+（m3）2，解得x1，此时点E（2，1）；符合条件的点E坐标分别为、（2，5），（2，1）6如图，在平面直角坐标系中，OAC绕点O顺时针旋转90得到ONB，OBOC3，抛物线yx2+bx+c经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图点D是抛物线的顶点，试判定BND的形状，并加以证明；（3）如图在第一象限的抛物线上，是否存在点M，使SMBN2SAOC？若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出B（3，0），C（0，3），再将两点代入yx2+bx+c，即可求函数解析式；（2）过点D作DGy轴于点G，可以证明NOBDGN（SAS），进

32、而得到DNB90，再由NDNB即可判断BND是等腰直角三角形；（3）连接OM，设点M（m，m2+2m+3），由SMBNSMON+SMOBSBON，可求的SMBNm2+m+3，SAOC，由题意可得m2+m+32，即可求M（，）【解答】解：（1）OBOC3，B（3，0），C（0，3），将点B、C代入yx2+bx+c，yx2+2x+3；（2）BND是等腰直角三角形，理由如下：如图，过点D作DGy轴于点G，由yx2+2x+3可知D（1，4），令y0，则x2+2x+30，x3或x1，A（1，0），ONOADG1，OBGN3，NOBDGN90，NOBDGN（SAS），GNDOBN，ONB+OBN90，OB

33、NGND，BNND，ONB+GND90，DNB90，BND是等腰直角三角形；（3）如图，连接OM，设点M（m，m2+2m+3），OBOC3，OAON1，SMBNSMON+SMOBSBONm+3（m2+2m+3）13m2+m+3，SAOC13，m2+m+32，m或m0（舍），M（，），存在点M（，）使SMBN2SAOC7如图，抛物线yx2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F（1）求线段DE的长（2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且BEG与COE相似，请直接写出点G的坐标（3）设点P为x轴上的一点，且DAO+DPO，ta

34、n4时，求点P的坐标【分析】（1）根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得；（2）根据OBOC，DEy轴，得到EOCBOG45，再由BEG与COE相似，点G在抛物线的对称轴上，可以分或两种情况计算即可；（3）由D（1，4），则tanDOF4，得出DOF，然后根据三角形外角的性质即可求得DPOADO，进而求得ADPAOD，得出AD2AOAP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标【解答】解：由抛物线yx2+2x+3可知，C（0，3），令y0，则x2+2x+30，解得x1，x3，A（1，0），B（3，0）；顶点x1，y4，即D（

35、1，4）；DF4设直线BC的解析式为ykx+b，代入B（3，0），C（0，3），得，解得，解析式为；yx+3，当x1时，y1+32，E（1，2），EF2，DEDFEF422；（2）如图，连接OE，E（1，2），C（0，3），B（3，0），CO3，OE，CE，BE2，OBOC，DEy轴，EOCBOG45，BEG与COE相似，点G在抛物线的对称轴上，若，则，即EG，2，G（1，）；若，则，即EG6，264，G（1，4），点G的坐标为（1，）或（1，4）；（3）如图2，过点作DFx轴于F，连接OD，D（1，4），tanDOF4，又tan4，DOF，DOFDAO+ADO，DAO+DPO，DPOADO，

36、ADPAOD，AD2AOAP，AF2，DF4，AD2AF2+DF220，OP19，同理，当点P在原点左侧，OP17点P的坐标为（19，0）或（17，0）8如图，抛物线yax22ax+m与x轴交于A（1，0）和B两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线l：y2x4与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使PBFDFB，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，对于直线l上任意给定的一点G，过点G的另外一条直线交抛物线于M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得GMMN？请证明你的结

37、论【分析】（1）利用待定系数法将A，C坐标代入 解析式即可求得结论；（2）过点A作AHx轴于点A，交PB于点H，通过证明HABDOE得到H点坐标，求出直线BH的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标；（3）在抛物线上一定能找到点M，使得GMMN设点G（m，2m4），M（n，n22n3），利用GMMN可得点N的坐标，将点N坐标代入抛物线解析式得到关于m，n的关系式，利用0说明无论n为任何值，关于m的方程总有两个不相等的实数根，从而得出结论【解答】解：（1）抛物线yax22ax+m经过点（1，0），（0，3），解得：此抛物线的解析式为：yx22x3（2）在第二象限内的抛物线上存在一点P，使PB

38、FDFB，过点A作AHx轴于点A，交PB于点H，如图，令y0，则x22x30解得：x1或3，B（3，0）OB3C（0，3），OC3OBOCOBCOCB45FCEOCB，FCE45PBFDFB，DFBFEC+FCEFEC+45，PBFPBA+OBCPBA+45，FECPBAA（1，0），OA1ABOA+AB4对于y2x4，令y0，则2x40，解得：x2，D（2，0）OD2，令x0，则y4，E（0，4）OE4ABOE4在HAB和DOE中，HABDOE（ASA）HAOD2H（1，2）设直线BH的解析式为ykx+b，解得：直线BH的解析式为yx+解得：或P（，）在第二象限内的抛物线上存在一点P，使PB

39、FDFB，此时点P的坐标为：（，）（3）在抛物线上一定能找到点M，使得GMMN理由：设点G（m，2m4），M（n，n22n3），GMMN，N（2nm，2（n22n3）+2m+4），点N在抛物线yx22x3上，2（n22n3）+2m+4（2nm）22（2nm）3整理得2n24mn+m210（4m）242（m21）8m2+80，无论m为任何值，关于n的方程总有两个不相等的实数根，即对于直线l上任意给定的点G，在抛物线上总能找到两个满足条件的点M，使得MGMN9已知抛物线yx2+bx+c（bc0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）（1）若该抛物线的顶点D坐标为（1，4），求其解析式；（2

40、）如图（1），已知抛物线的顶点D在直线l：yx+3上滑动，且与直线l交于另一点E，若ADE的面积为，求抛物线顶点D的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN与PQ满足的数量关系【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设点D、E的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1，将抛物线与直线l解析式联立并整理得：x2（b+1）x+3c0，可得（+1）3c，设直线l与x轴的交点为G，则G（3，0），利用三角形面积可得AG，A（，0），进而可得b+c0，通过联立方程组求解即可得出答案；（3）如图2，设

41、P（0，m），则Q（0，m），PQ2m，运用待定系数法求得：直线BP的解析式为yx+m，联立方程组可求得M（1，+），同理可得：N（1，），运用两点间距离公式可得MNm，即可求得答案【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为D（1，4），二次项系数a1，y（x1）2+4x2+2x+3，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）设点D、E的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1，将抛物线与直线l解析式联立得：x+3x2+bx+c，整理得：x2（b+1）x+3c0，x1+x2b+1，x1x23c，x2+1，（+1）3c，y1y2x1+3（x2+3）x2x1+11，设直线l与x轴的交点为G，则G（

42、3，0），SADESADGSAEGAG（y1y2）AG，SADE，AG，AG，A（，0），将A（，0）代入yx2+bx+c，得：b+c0，联立方程组，得，解得：b1，b2（舍去），b，D（，）；（3）如图2，设P（0，m），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，Q（0，m），PQ2m，由（1）知：yx2+2x+3，令y0，则x2+2x+30，解得：x13，x21，B（3，0），设直线BP的解析式为ykx+d，则：，解得：，直线BP的解析式为yx+m，联立方程组，得：，解得：（舍去），M（1，+），同理可得：N（1，），MNm，10如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过A（0，1

43、），B（4，1）直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点过点P作PDAB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，在抛物线上有一点F，使得CBFOAC，求点F的坐标；（3）如图2，当PDE的周长为+8时，求点P的坐标【分析】（1）利用待定系数法将A，B代入解析式即可求得结论；（2）设直线BF交y 轴于点E，过点B作BDx轴于点D，连接EC，首先利用待定系数法求出直线AB的解析式得到点C坐标，通过证明COA和CDB，说明点C为AB的中点，利用等腰三角形的三线合一得到ECAB，利用EC的解析式确定点E的坐标，求出直线BF的解析式与抛物线解析式联

44、立即可求得点F的坐标；（3）设P（t，），利用PEx轴，可得点E的坐标，从而得出PE的长，利用PDEAOC，根据周长的比等于相似比列出比例式求得t值，结论可得【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（0，1），B（4，1），解得：抛物线的解析式为：yx2x1（2）设直线BF交y 轴于点E，过点B作BDx轴于点D，连接EC，如图，设直线AB的解析式为ykx+a，由题意得：，解得：直线AB的解析式为yx1令y0，则x2，C（2，0）OC2B（4，1），BDx轴，OD4，OCOD2在COA和CDB中，COA和CDB（ASA）ACCBCBFOAC，ECAB设直线EC的解析式为y2x+n，由题意得

45、：22+n0n4，设直线EC的解析式为y2x+4E（0，4），设直线BE的解析式为ymx+d，解得：，直线BE的解析式为yx+4，解得：，F（，）（3）A（0，1），OA1AC设P（t，），PEx轴，点E的纵坐标为，点E在直线AB上，x1，x2t27tE（2t27t，）PEt（2t27t）2t2+8tPDAB，PDEAOC90PEx轴，PEDAOC，PDEAOC解得：t1t22P（2，4）11如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0），点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4

46、），连接BD（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；（2）连接BP，以BD、BP为邻边作平行四边形BDEP，直线PE交y轴于点T当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标；在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），求出点T运动的路径长【分析】（1）直接将A，C两点代入即可求；（2）作平行四边形，实质是将B、P向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E和点D，点E在二次函数上，代入即可求m的值，从而求得点E的坐标；设点P（m，m2m+8），根据PEBD，可设直线PE的解析式为：yx+b，则有m2m+8m+b，整理得，b（m+3）2+，即T的纵坐标最大值为，当点P与点B重合时，点T的

47、纵坐标为4，即可求得点T在y轴的运动的路径【解答】解：（1）把A（0，8），C（4，0）代入yx2+bx+c得：，解得，该二次函数的表达为yx2x+8，当y0时，x2x+80，解得x18，x24，点B的坐标为（8，0）；（2）四边形BDEP为平行四边形，PEBD，PEBD，点B向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，点P向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E，点P（m，m2m+8），点E（m+8，m2m+12），点E落在二次函数的图象上，（m+8）2（m+8）+8m2m+12，解得m7，点E的坐标为（1，）；点P（m，m2m+8），点E（m+8，m2m+12），PEBD，直线PE与

48、BD的斜率相同k，直线PE的解析式为：yx+b，点P在直线上，则有m2m+8m+b，整理得，b（m+3）2+，即T的纵坐标最大值为，当点P与点B重合时，点T的纵坐标为4，则点T在y轴的运动的路径为4+812如图，抛物线yx2+bx+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，A点坐标是（1，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PDx轴，垂足是点D，线段BC把线段PD分成两条线段，其中一条线段长是另一条线段长的2倍，求P点坐标；（3）如图2，若点E在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请

49、直接写出点F的坐标【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）先求得点B的坐标，在运用待定系数法求得直线BC的解析式为yx+3，设P（m，m2+2m+3），则D（m，0），设PD交BC于点H，则H（m，m+3），根据PH2DH 或 DH2PH，建立方程求解即可；（3）分两种情况：若BC为平行四边形的一边，若BC为平行四边形的一条对角线，分别求解即可【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点 A（1，0），C（0，3），解得：，抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）令y0，得：x2+2x+30，解得：x11，x23，B（3，0）；C（0，3），OCOB3，设直线BC的解析式为ykx+a，

50、B（3，0），C（0，3），解得：，直线BC的解析式为yx+3，设P（m，m2+2m+3），PDx轴，则D（m，0），设PD交BC于点H，则H（m，m+3），PH（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，DHm+3，由题意得PH2DH 或 DH2PH，当PH2DH时，m2+3m2（m+3），解得：m12，m23（不合题意，舍去），这时，m2+2m+322+22+33，当 DH2PH时，m+32（m2+3m），解得：，m23（不合题意，舍去），这时，m2+2m+3（）2+2+3，综上可知P点坐标为（，）或（2，3）（3）若BC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，|yE|yC|3，yE3，

51、当yE3时，x2+2x+33，解得：x10，x22，点E1的坐标为（2，3），此时F1（5，0），如图2；当yE3时，x2+2x+33，解得：x11，x21+，点E的坐标为（1，3）或（1+，3）；此时点F的坐标为（2，0）或（2，0）；若BC为平行四边形的一条对角线，则CEBF，如图4，yEyC3，点E的坐标为（2，3），此时F（1，0），综上，点F的坐标为：F1（5，0）或F2（2，0）或F3（2，0）或F4（1，0）13如图，已知二次函数y（xm）25图象的顶点为A，与y轴交于点B，点P（1，n）（与顶点A不重合）在该函数的图象上（1）当m3时，求n的值；（2）当n3时，若点A在第三象限

52、内，结合图象，求当y3时，自变量x的取值范围；（3）作直线AP与y轴相交于点C，当点B在x轴下方，且在线段OC上时，求m的取值范围【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）求出y3时，对应的x的值，即可得出答案；（3）由题意点B的坐标为，求出几个特殊位置m的值即可得出答案【解答】解：（1）当m3时，y（x3）25点P（1，n）（与顶点A不重合）在该函数的图象上，n（13）253；（2）当n3时，将P（1，3）代入函数解析式y（xm）25，得：3（1m）25，解得：m3或1点A在第三象限，m3此时抛物线的对称轴x3P点坐标为（1，3），根据抛物线的对称性可知，当y3时，3（x+3）25，解

53、得：x1或5x的取值范围为5x1；（3）点A与点P不重合，m1当x0时，点B的坐标为当抛物线向右平移时，m逐渐增大，点B沿y轴正方向移动当点B与点O重合时，解得或当点B与点C重合时，如图，顶点A也与B，C重合，点B到达最低点，解得m0当抛物线继续向右平移时，点B不在线段OC上B点在线段OC上时，m的取值范围是：或1m014如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3（a0）交x轴于A，B两点，已知点A的坐标为（4，0），AO2BO（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，x轴于E，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在，请求出点

54、E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得OPCOAC，请直接写出点P的坐标【分析】（1）求出B（2，0），设抛物线的解析式为ya（x+4）（x2），将点C（0，3）代入即可求解；（2）求直线AC的解析式为yx3，设D（m，m2+m3），则点E的坐标为（m，m3），DE（m+2）2+，当m2时，DE有最大值，则点E的坐标为（2，）；（3）以线段AC为直径作M，分别交抛物线的对称轴于P，Q两点，连接MP，MQ，作MNPQ，垂足为N，可求M的坐标为（2，），MN1，在RtMNP中，PN由点N的坐标，可求点P的坐标为（1，+），点Q的坐标为（1，），由圆周角定理知OPCO

55、QCOAC，可求点P的坐标为（1，+）或（1，）【解答】解：（1）点A的坐标为（4，0），AO2BO，点B的坐标为（2，0），设抛物线的解析式为ya（x+4）（x2），且过点C（0，3），8a3，解得，抛物线的解析式为，即；（2）存在，理由如下：如图1，设直线AC的解析式为ykx3，将点A（4，0）代入ykx3，得，直线AC的解析式为，设点D的坐标为（m，m2+m3），则点E的坐标为（m，m3），当m2时，DE有最大值，点E的坐标为（2，）；（3）如图2，以线段AC为直径作M，分别交抛物线的对称轴于P，Q两点，连接MP，MQ，作MNPQ，垂足为N，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）

56、，AC中点M的坐标为（2，），抛物线的对称轴为直线x1，MN1（2）1，由勾股定理得AC5，在RtMNP中，MN1，点N的坐标为（1，）；点P的坐标为（1，+），点Q的坐标为（1，），由圆周角定理知OPCOQCOAC，故点P的坐标为（1，）或（1，+）15定义：若抛物线yax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线（1）判断抛物线yx2+2x3是否是定弦抛物线，请说明理由；（2）当一定弦抛物线的对称轴为直线x1，且它的图象与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；（3）若定弦抛物线yx2+bx+c（b0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2x4

57、时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值【分析】（1）令y0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可【解答】（1）当y0时，x2+2x30，解得：x11，x23，则|x1 x2|4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）当该抛物线开口向下时，如图所示该定弦抛物线的对称轴为直线x1，C（1，0），D（3，0），CED为直角三角形由题意可得CED90，EOCD，CEOEDO，OE2OCOD3，E （，0），该定弦抛物线表达式为y（x+1）（

58、x3），当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为y（x+1）（x3），综上所述，该定弦抛物线表达式为y（x+1）（x3）或y（x+1）（x3）；（3）若2，则在2x4中，当x4时该定弦抛物线的取最大值，当x2时该定弦抛物线的取最小值16+4b+c（4+2b+c）+2，解得：b4，2，b4，即b4，若3，则在2x4中，当x4时该定弦抛物线的取最大值，当x 时该定弦抛物线的取最小值16+4b+c+2，解得：b14，b214，23，6b4，b14，b214（舍去），若4，则在2x4中，当x2时该定弦抛物线的取最大值，当x 时该定弦抛物线的取最小值4+2b+c+2，解得：b5，4，8b6，b

59、5不合题意，舍去，若4，则在2x4中，当x2时该定弦抛物线的取最大值，当x4时该定弦抛物线的取最小值4+2b+c（16+4b+c）+2，解得：b，4，b8，b，综上所述b4或16在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax28ax+c（a，c是常数，a0）经过点A（8，0），B（6，12）（1）求这条抛物线的表达式（2）在第一象限内对称轴上有一点C，满足AOAC，求四边形ABOC的面积（3）D为OB下方抛物线上一动点，连接AD，BD，若ABD为直角三角形，求点D的坐标【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先求出抛物线的对称轴，设出点C的坐标，利用AOAC列出关于点C的纵坐标的

60、方程，通过解方程即可求出点C的坐标；（3）分ABD为直角和ADB为直角两种情况讨论，作辅助线构造一线三垂直模型即可得出答案【解答】解：（1）把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，得：，解得：a，抛物线的解析式为yx28x；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x4，设点C（4，y），根据勾股定理得AC，又ACAO8，8，解得y4或4（舍），点C的坐标为（4，4），四边形ABOC的面积为48+16；（3）设点D的坐标为（m，m28m），若ABD为直角，过点B作x轴的平行线与过点A作y轴的平行线交于点E，过点D作DFEB的延长线于F，ABD90，ABE+DBF90，又ABE+BAE90，BAEDBF，