经济数学第讲函数极限概念

1、经济数学第讲函数极限概念第1页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 函数的极限与连续性第一节 函数的极限与性质三. 极限定义及定理小结四. 函数极限的基本性质第2页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出: 如何描述它？第3页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 有问题没有？ 好像没有问题.第4页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？第5页，

2、共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二第6页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 将图形对称过去后, 你有什么想法? 将图形对称第7页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定义第8页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?第9页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?第10页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定义第11页，共71页，2022年，5月

3、20日，18点26分，星期二由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,第12页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:第13页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二证成立. 由极限的定义可知:例1第14页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二解无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例2第15页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 这里想得通吗？第16页

4、，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二由图容易看出：分析 需要证明之处 请同学们 自己先证一下.例3第17页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二证第18页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二证第19页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例4证第20页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.第21页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义. 函数 f (

5、 x ) 在点 x0= 1 处没有定义.例5第22页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二第23页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二(第24页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定义第25页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二注意为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。反例第26页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二证 这是证明吗？非常非常严格！例6第27页，共71页，2022年，5月20日

6、，18点26分，星期二证例7第28页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二证？如何处理它例8第29页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 1分析结论第30页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二证证毕例8第31页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二观察知证证毕例第32页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二在极限定义中：1) 与 和 x0

7、有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.第33页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + 曲线只能从该矩形的左右两边穿过第34页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二考虑两个问题.第35页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二y = a y = a y = axOyx0

8、x0 + 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下, 函数有极限吗 ? 如何描述这种情形？第36页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二想想这种情形下, 函数有极限吗 ?y = a y = a y = axOyx0 x0 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？第37页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二3.函数的左、右极限定义第38页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定义第39页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右

9、极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：第40页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二y = f (x)xOy11在 x = 1 处的左、右极限.解例9第41页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二y = a y = a y = axOyx0 x0 + y = a y = a y = aOyx0 x0 对此有什么想法没有？ “左右重合”第42页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定理 利用 | x x0 | x x0 0推不出极限A0.第60页，共71页，2022年，5月20日，18点2

10、6分，星期二性质4: （函数极限与数列极限的关系）证明 必要性根据假设第61页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二第62页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二第63页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二性质5第64页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 极限值的正负与函数值正负的关系 该定理也称为第一保号性定理第65页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二极限值正负与函数值正负关系的推论 作辅助函数 F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的结论即可得证.第66页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 函数值的正负与极限值正负的关系 该定理也称为第二保号性定理第67页，共71页，2022年，5月20日，18点26分，星期二第二保号性定理成立.运用反证法, 设 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,有 a 0 ), 则由第一保号性定理将推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 该矛盾就证明了第68页，共71页，2022年，5月20日，