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1、(3) 若ab(modm)bc(modm)，则ac(modm)在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余定理 2 若 ab(modm)d(modm)，则acbd(modm)，acbd(modm)证 由假设得mab，m-d，所以m(ac)(bd)， mc(a-b)b(cd)，即acbd(modm)，acbd(modm)由此我们还可以得到：若 ab(modm)k是整数，n是自然n对于同余式 acbc(modm)，我们是否能约去公约数 c，得到一个正确的同余式 ab(modm)？在这个问题上，同余式与等式是不同的例如255(mod 10)，这显然是不正确的但下面这种情形，相约是可以的定理

2、3 若 acbc(modm)(c，m)=1，则ab(modm)若 a与b对模m同余，由定义1，有111122121212122且 M=m，m，m表示mmm的最小公倍数，则112n2n前面介绍了同余式的一些基本内容，下面运用同余这一工具去解决一些具体问题故 271A(7271)=1，所以 1897整除A例 4 把 123，127128这 128个数任意排列为 aa212123412123解 因为对于一个整数a，有aa(mod 2)， aa(mod 2)，所以nk1=aa+aa+a a 4123a-aaa+a a4n3 k123aaaa+a a (mod 2)，4123因此，每经过一次“运算”，这

3、些数的和的奇偶性是不改变的最终得到的一个数2kxaaa 112812如果要求一个整数除以某个正整数的余数，同余是一个有力 10的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以 100的余数例 5 9除的余数等于它的各位数字之和被 9除的余数nnn101(mod 9)，故对任何整数 k1，有1011(mod 9)knnnk5n-5n2n+2n=0(mod 7)，2903193(mod 271)，(2)因为71(mod 8)，所以7(1)-1(mod 8)，7-126(mod 8)，F2 +1，n=01，2，n的数称为费马数证明：当 n2F的末位数字是n证 当 n2时，2是 4的倍数，故令2=4t于是nnF=21=2 +1=161tn22617(mod 10)，t22即 F的末位数字是 7n说明 费马数的头几个是F3F5F17F，F65537，30124它们都是素数费马便猜测：对所有的自然数 n，F都是素n数然而，这一猜测是错误的首先推翻这个猜测的是欧拉，他522奇数 =8t+11(mod 8)，222证 对于任一整数x，以5为模，有x0，12(mod 5)，2x01，4(mod 5)，2x01，1(mod 5)，422所以 x+y+22，34(mod 5)，44从而所给方程无整数解说明 活，关键在于确定所取的模(本例我们取模 5)，这往往应根据问题的特点来确定例 8 (1

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