基本波动方程求解方法

1、v1.0可编写可更正关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次颠簸方程达朗贝尔方程解无界的定解问题u(x,t)1(xat)(xat)122axat()dxat在常微分方程的定解问题中，平时是先求方程的通解，尔后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而获得定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为2ua22u,x,t0t2x2u|t0(x),u|t0(x)t由达郎贝尔公式，解在点(x,t)的值由初始条件在区间xat,xat内的值决定，称区间xat,xat为点(x,t)的依赖地域，在xt平面上，它可看作是过点(x,t)，斜率分别1为的两条直线在x轴上截得的区间。a2、一维非齐次颠簸方程的柯

2、西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题2ua22u，x,t0(1)t2x2f(x,t)u|x0(x),u|t0(x)(2)t令u(x,t)U(x,t)V(x,t)，可将此定解分解成下面两个定解问题：11v1.0可编写可更正2ua22u，x,t0(I)t2x2u|t0(x)u|x0(x),t(II)2ua22uf(x,t)，x,t0t2x2u|x00,u|t00t其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：11U(x,t)(xat)(xat)22axat()d。xat关于问题(II)，有下面重要的定理。定理（齐次化原理）设(x,t,)是柯西问题2a22t2x2，t|x0,t|tf(x,)的解(0)，则V

3、(x,t)t(x,t,)d是问题(II)的解。0二、有界的弦振动方程1、分别变量法齐次条件的分别变量法2ua22u,0 xl,t0（1）t2x2（2）u(0,t)u(l,t)0u|t0(x),u1|t0(x)（3）设u(x,t)X(x)T(t)，代入方程（1）得：X(x)T(t)X(x)aT(t)22v1.0可编写可更正上式右端不含x，左端不含t，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为，则有：X(x)X(x)0T(t)a2T(t)04）5）所齐次界线条件可得：X(0)0,X(l)hX(l)0（6）从而特点值问题:X(x)X(x)0X(0)0,X(l)hX(l)0对的取值分三种情况0，0,

4、0进行谈论。这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，界线条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。近似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性没关的特解，经过叠加求定解问题的解。非齐次条件分别变量法分别变量法要求方程是齐次、界线条件也为齐次,若是上述条件之一破坏，则不能够采用分别变量法解。分别变量法要求定解问题的界线条件是齐次的，这是因为用分别变量法要将特点函数叠加起来，若是界线条件非齐次，则经过叠加后的函数就不能能满足原界线条件。所以当界线条件是非齐次时，必定想法将界线条件化成齐次的。如：utta2uxxf(x,t)u(0,t)g1(t),u(l,t)g2(t)u(x,0)(x)ut(x,0)(

5、x)33v1.0可编写可更正设u(x,t)V(x,t)W(x,t)，经过适入采用W(x,t)使新的未知函数满足齐次界线条件，这只须使W(x,t)满足：W1(0,t)g1(t)，W1(l,t)g2(t)即可。小结：分别变量法的解题步骤a，令U(x,t)X(x)T(t)b，将试试解带入泛定方程。c，将等式两边同时乘以1，进行分别变量，获得两个常微分方a2uxx程。d，由界线条件，将X（x）方程解出需要谈论本征值（0，0,0）三种情况，获得本正当和本征函数。e，写出T(t)解的形式后与X（x）一起构成U(x,t)通解形式。f，由初始条件确定待定系数。三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法傅里叶级数解

6、法2ua22u,（）t2x20 xl,t01u(0,t)u(l,t)0（）2u|t0(x),u1|t0(x)（）3设U(x,t)V(x,t)W(x,t)（4），其中构造V(x,t)让其满足A（t）B（t）（2）则：V(x，t)（）（）（t）Asint（5）t-tx-tt44v1.0可编写可更正2Wa22WA2（）t2x2tsint,0 xl,t06所以对W(x,t)有：W(0,t)W(l,t)0（）7u|t0(x),u1|t0(x)（）8W(x,t)k0T（t）sinkx（9）令ktW(x,t)1t）sinkx（9）（9）式带回到（6）式T（ktk0解出：1）2hsintT（-t12n整理出W(x,t)与V(x,t)构成U(x,t)的解，再带回到（3）是求出待定系数。小结：一般傅里叶级数的求解步骤1、令U(x,t)T（t）Xk(x)，其中张开基Xk(x)为对应齐次函数本征函k0k数（由界线条件决定）2、将U(x,t)T（t）Xk(x)带入泛定方程后，将也按Xk(x)展为k0k傅里叶级数，比较等式两边，获得（t）T的常微分方程。k将U(x,t)