同济大学第五版高数

1、第三章中值定理研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广微分中值定理 与导数的应用 1一、罗尔( Rolle )定理第一节二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 2费马(fermat)引理且 存在证: 设则证毕3一、罗尔(Rolle)定理例如,4几何解释:5证6注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,7例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,8二、拉格朗日(Lagrange)中值定理9几何解释:证分析:弦AB方程为10作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公

2、式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.11拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论12例2证13例3证由上式得14三、柯西(Cauchy)中值定理15几何解释:证作辅助函数16例4证分析:结论可变形为17例5. 试证至少存在一点使证: 法1 用柯西中值定理 .则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 即分析:18例5. 试证至少存在一点使法2 令则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在19四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值

3、定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.20三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式第二节洛必达法则 第三章 21微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化( 或 型)本节研究:洛必达法则22定义例如,23定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.24证定义辅助函数则有25例1解例2解26例3解例4解27例5解28例6. 求解:原式例7. 求解: (1) n 为正整数的情形.原式29例8 求(2) n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则

4、存在正整数 k , 使当 x 1 时,30例3. 例4.说明:1) 例6 , 例7 表明时,后者比前者趋于更快 .例如,而用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 313) 若例如,极限不存在32注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例9解33例 求解:注意到原式34三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化35例 求分析: 为用洛必达法则 , 必须改求法1 用洛必达法则但对本题用此法计算很繁 ! 法2原式36例10解步骤:例. 求解: 原式37例11解步骤:38解: 原式例 求39步骤:例12解40例13解例14解41例15解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件42三、小结洛必达法则43一、问题的提出三、泰勒(Taylor)中值定理四、简单的应用44一、问题的提出（如下图）4546不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.47分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在 点相交48三、泰勒(Taylor)中值定理49证明:50拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项51注意:52麦克劳林(Maclaurin)公式53四、简单的应用解代入公式,得54由公式可知估计误差其误差55 常用函数的麦克劳林公式56