数学分析选讲答案

1、-. z.数学分析选讲A/B模拟练习题参考答案选择题：共18题，每题3分1、以下命题中正确的选项是 A B A、假设，则是的不定积分，其中为任意常数B、假设在上无界，则在上不可积C、假设在上有界，则在上可积D、假设在上可积，则在上可积2、设，则当时，有 B A与是等价无穷小B与同阶但非是等价无穷小C是比高阶的无穷小D是比低阶的无穷小3、假设为连续奇函数,则为( A )A、奇函数 B、偶函数C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.4、函数在上连续是在上可积的 A 条件A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件.5、假设为连续奇函数,则为( B

2、)A、奇函数 B、偶函数C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.6、设则是的 B A. 连续点 B. 可去连续点 C.跳跃连续点 D. 第二类连续点7、设,当时,恒有,.则正确的选项是( A )A、B、C、D、A和B的大小关系不定.8、函数f(*,y) 在点连续是它在该点偏导数都存在的 A A.既非充分也非必要条件 B充分条件C.必要条件 D.充要条件9、极限( D )A、B、C、D、不存在.10、局部和数列有界是正项级数收敛的( C )条件A. 充分非必要 B. 必要非充分C.充分必要 D.非充分非必要11、极限( A )A、 B、 C、 D、不存在.12、与的定义等价的是

3、B D A、总有B、至多只有的有限项落在之外C、存在自然数N，对当，有D、存在自然数N，对有13、曲线( D )A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线14、以下命题中，错误的选项是 A D A、假设在点连续，则在既是右连续，又是左连续B、假设对在上连续，则在上连续C、假设是初等函数，其定义域为，则D、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在且相等15、设为单调数列，假设存在一收敛子列，这时有 A A、B、不一定收敛C、不一定有界D、当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A成立16、设在R上为一连续函数，则有 C A、当为开区间时必为开区间B

4、、当为闭区间时必为闭区间C、当为开区间时必为开区间D、以上A,B,C都不一定成立17、以下命题中错误的选项是A、假设，级数收敛，则收敛；B、假设，级数收敛，则不一定收敛；C、假设是正项级数，且有则收敛；D、假设，则发散18、设为一正项级数，这时有 D A、假设,则收敛B、假设收敛，则C、假设收敛，则D、以上A,B,C都不一定成立填空题：共15题，每题2分1、设，则2或-2 2、= 3、= 4、= 2 5、设收敛，则= 10 6、= 7、2 8、8 9、设，则10、设，则11、幂级数的收敛半径为 1 12、积分的值为 0 13、曲线与轴所围成局部的面积为 36 14、15、= 0三、计算题：共1

5、5题，每题8分1、求.解：=2、将展开成的幂级数，并指出其收敛域。解： = =且由知3、求解：原式有界量乘以无穷小量4、求解：令，原式5、求解：原式6、求极限解：7、设 , 求解：当时，；8、设，其中为何值时，在*=0处可导，为什么，并求。解：，故要使存在，必须又要使有导数存在,必须b=0.综上可知,当A=b=0,为任意常数时，在*=0处可导，且9、计算以下第一型曲面积分：其中为解: 由平面构成:10、解：11、解：由洛必达LHospital法则得12、解：13、解: 14、解: 15、解: 四、证明题共17题，共156分1、6分设函数在上连续，在内可导，且。试证：如果，则方程在内仅有一个实根

6、。证明：因为在上连续，在内可导，于是由零点存在定理知，至少存在一点使得，又，因此知在上为严格格单调增加的，故方程在内仅有一个实根。2、10分指出函数的不连续点，并判定不连续点的类型.解：的不连续点为又而在点没有定义，于是知为的第一类不连续点；为的第二类不连续点；为的第三类不连续点。3、10分设在上连续，在内可导，又，证明在内有.证明：由于又在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，使得，从而在内有4、12分设1证明在0，0点连续2求3证明在0，0点可微解：1令则故在0，0点连续。23由于即在0，0点可微. 5、6分设在严格单调递减，存在，且试证明.证明：令，则由题意有6、(10分) 设为可微函

7、数.求，其中1解：将等式两边对*求导得2将*=0代入(1)式解得，再将*=0代入2得7、(10分)在-1*1有意义，证明证明：令，则，即1将*=0代入1但8、(10分)求幂级数的收敛域。解：由于，则R=2，即当时其绝对收敛又当*+1=2，即*=1时，原级数为发散当，即时，原级数为收敛故原级数的收敛域为9、7分证明：当时，.证明：设，则在连续. 则在单调增加。则对任意有，即10、10分设在上可微，且满足 (1)求证：在(0,1)内至少存在一点，使.证明：由(1)式及积分中值定理知，存在，使 (2)令,则由(2)式及假设可知在上满足罗尔定理的条件，故存在使11、(10分) 求的收敛域，并求其和函数

8、.解：设，则由及都发散，可知的收敛域为(1,-1).再由于12、(10分)设试证明：在*=0处连续.证明：则因此在*=0处连续.13、6分证明由积分确定的连续函数零点定理：设在上连续，假设，则，使得.证明：用反证法. 假设对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必，使得.14、10分设在上连续,且满足.试证:,使得.证明：取变换,则,积分等式变为.注意到时,也有,因而在上连续,于是.由此可得,使得.15、12分设在上连续,在内可导,且,记,(1)求;(2)求证:,使得;解：(1) ;(2) 因为,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,使得,即;16、7分设，试证数列存在极限，并求此极限。证明：由知，。假设，则，由归纳法知为单调下降数列，