高一数学不等式课件

1、9/26/2022不等式高考数学复习专题讲座1特级教师 王新敞9/24/2022不等式高考数学复习专题讲座1特级教师 王新 不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具 不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想 通过对近几年的考题分析，以小巧而灵活多变的选择题及综合题的面貌出现. 一般是一道小题为选择或填空，难度属中等，小题主要考查不等式的性质、各种不等式的解法、不等式解法的简单应用（一般与函数的性质进行综合）大题一般难度很高解答题则出现不等式的证明、含参不等式或方程解情况的讨论等一些问题，这些

2、问题往往与函数、数列、解析几何以及实际应用问题进行综合2特级教师 王新敞 不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本1实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 判断两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a - b 的符号，从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行： 作差；变形；定号.3特级教师 王新敞1实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 如果那么如果那么 如果 如果，那么 乘法法则 乘方法则2不等式的性质不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。4特级教师 王新敞 如果那么如果那么 如果 如果例1

3、（2009安徽卷）“a+cb+d”是“ab且cd”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2不等式的性质条件：“a+cb+d”结论：“ab且cd”9+13+693且16A 5特级教师 王新敞例1（2009安徽卷）“a+cb+d”是“ab且cd”2不等式的性质例2（2009四川卷）已知a、b、c、d为实数，cd, 则“ab”是“acbd”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件前提条件：a、b、c、d为实数，cd,命题条件：“ab”命题结论：“acbd”cdcd,B6特级教师 王新敞2不等

4、式的性质例2（2009四川卷）已知a、b、c、d为实2不等式的性质例3（2007上海卷）已知a,b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是 abababa0或ax2+bx+c0)说明：如果二次项系数小于零，两边乘以-1，并把不等号改变方向即可.记忆口诀：大于0取两边，小于0取中间.(a0且0)xyox1x2解一元二次不等式的步骤：把二次项系数化为正数；解对应的一元二次方程；根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象；得出不等式的解集9特级教师 王新敞4.解一元二次不等式一般式：ax2+bx+c0或ax2+b4.解一元二次不等式例4 (2009北京卷)设集合 则 A.D.C.B.A10特级教师 王

5、新敞4.解一元二次不等式例4 (2009北京卷)设集合 4.解一元二次不等式例5（2009江西卷）函数的定义域为 A B C D或 D11特级教师 王新敞4.解一元二次不等式例5（2009江西卷）函数A 4.解一元二次不等式例6（2009陕西卷）设不等式 的解集为M，函数 的定义域为N，则 为 A.0，1） B.（0，1） C.0，1 D.（-1，0 M=N=0，1） 0-1112特级教师 王新敞4.解一元二次不等式例6（2009陕西卷）设不等式 4.解一元二次不等式例7（2009四川卷）设集合则C 3-55-713特级教师 王新敞4.解一元二次不等式例7（2009四川卷）设集合则C 5.含绝

6、对值的不等式 解含有绝对值不等式的关键是去绝对值符号，去绝对值符号的主要方法有：绝对值的定义; 公式法:零点区间讨论法;绝对值的几何意义. 解含有（或多个）绝对值符号不等式的方法之一:分段讨论（零点分段法：分别令每个绝对值符号内的项为零，得到的x值就叫做“零点”）,将各段的解集并起来作为最后结果. 14特级教师 王新敞5.含绝对值的不等式 解含有绝对值不等式的关键是去绝对例8 (2009山东卷)不等式的解集为_ 5.含绝对值的不等式20.5或或无解 -1115特级教师 王新敞例8 (2009山东卷)不等式5.含绝对值的不等式20.5或例9（2009全国1）不等式 的解集为 5.含绝对值的不等式

7、 A.B.C.D.D.16特级教师 王新敞例9（2009全国1）不等式 例10（2009广东卷）不等式 的实数解为 5.含绝对值的不等式17特级教师 王新敞例10（2009广东卷）不等式 5.含绝对值的不等式例11（2009辽宁卷）已知偶函数f(x)在区间0,+)单调增加，则满足f(2x-1)1时,(2)当0a1时,(2)当00标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正;判断或比较根的大小. 25特级教师 王新敞8. 零点分段法 高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：形8. 零点分段法 例16（2009全国2） 设集合 则 = 14+-3B 26特级教师 王新敞8. 零点分段法

8、例16（2009全国2） 设集合 则 8. 零点分段法 例17 (2009湖北卷)已知关于x的不等式 0的解集是 . 则a_ 根据零点分段法，不等式解集的端点是零点，显然-1是分母的零点，这样只有 -227特级教师 王新敞8. 零点分段法 例17 (2009湖北卷)已知关于x的不等8. 零点分段法 例18（2007全国2）不等式: 0的解集为 A.( -2, 1)B. ( 2, +)C. ( -2, 1) ( 2, +)D.( -, -2) ( 1, +)2-21+-原不等式的解集为(-2, 1)(2, +). C 28特级教师 王新敞8. 零点分段法 例18（2007全国2）不等式: (2)

9、极值定理的应用条件: 一正二定三相等极值定理的应用规则:和定积最大,积定和最小.正：条件（或目标）式中项必须都是正数； 定：目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）； 等 ： 等号成立的条件必须存在.9最值定理 29特级教师 王新敞(2)极值定理的应用条件: 一正二定三相等极值定理的应用规则9最值定理 例19（2009湖南卷文若x0，则 的最小值为_ 30特级教师 王新敞9最值定理 例19（2009湖南卷文若x0，则 9最值定理 例20（2009天津卷)设 的最大值为 C 31特级教师 王新敞9最值定理 例20（2009天津卷)设 的最大值为 C 3作差比较法的步骤：作差变形（化简）定号

10、（差值 的符号）作商比较法的步骤：作商变形（化简）判断 （商值与实数1的大小关系）得出结论1.比较法10.不等式的证明32特级教师 王新敞作差比较法的步骤：作商比较法的步骤：作商变形（化简） 依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法.2.综合法： 由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 .综合法的思维特点是：10.不等式的证明33特级教师 王新敞 依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明

11、不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 .3.分析法：用分析法证明不等式的逻辑关系是： 10.不等式的证明34特级教师 王新敞 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真. 10.不等式的证明35特级教师 王新敞分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 4.换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些变量，使得原式化为简

12、单明了的式子进行论证或求值的方法叫做换元法.三角代换法，如：若x2+y2=1,可令x=cos，y=sin若x2+y2R2，可令x=rcos,y=rsin（rR）当-1x1时，可令x=cos，0,若y=可令x=cos，此时y=sin，0,代数换元：整体换元、均值换元、设差换元等方法 10.不等式的证明36特级教师 王新敞4.换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些变量，使得原式放缩常用的技巧：（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的（2）在分式中放大或缩小分子或分母（3）可利用基本不等式进行放缩 放缩时一定要适度，放缩过大或不足都将达不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度. 5.放缩法：在证明

13、不等式中常将一边（或其中一项）A放大为B（或缩小为B），得到不等式AB（或AB），连续使用不等式链A B M，以达到证明AM的方法，称为放缩法.其中放缩适度是解决问题的关键.10.不等式的证明37特级教师 王新敞放缩常用的技巧：（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的（6.反证法的一般步骤：反设结论找出矛盾肯定结论 在直接证明不等式有困难时，可以试用反证法，在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证.10.不等式的证明38特级教师 王新敞6.反证法的一般步骤：反设结论找出矛盾肯定结论 7.构造法：构造方程法:对于形如af(x)b的不等式，令

14、y=f(x),把它整理成关于x的二次方程，利用方程有实数解的条件0，建立关于y的不等式，求解出y的范围，达到证明不等式的目的. 根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法.构造函数法几何构造法(构造图形法):将不等式中的项赋予一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不等式的目的.10.不等式的证明39特级教师 王新敞7.构造法：构造方程法:对于形如af(x)b的不等式， 函数 在 0 x1, x1时的单调性.函数 ,(a0)在 时的单调性.8.对勾函数：40特级教师 王新敞 函数 在 例21 求函数 的最小值.分析：请思考下面解法对否？函数的最小值是2.

15、上面的解 法是错误的,此时“=”不能达到，因为当故取等号时的 x 值不存在.10.不等式的证明41特级教师 王新敞例21 求函数 例22.已知m正整数.【思路点拨】不等式的证明方法一般有作差比较法、作商比较法、综合法、分析法、三角换元、代数换元、放缩法、反证法、单调性及数学归纳法.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)验证：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确， 证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确. 10.不等式的证明42特级教师 王

16、新敞例22.已知m正整数.【思路点拨】不等式的证明方法一般有作差用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；【证明】 当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立；下用数学归纳法证明： 当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx. 用数学归纳法证明本不等式的步骤：(1)验证：当m=2结论正确；(2)假设当m=k(kN*,且k2)时结论 (1+x)k1+kx 正确，推导当m=k+1时结论(1+x)k+11+(k+1)x也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从2开始的所有正整数m都有(1+x)m1+mx正确. 例21.已知m正整数.10.不等式的证明43特级教师 王新敞用数学归纳法证明

17、：当x-1时，(1+x)m1+mx；【证用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；证明：当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx. (i)当m=2时， 左边1+2x+x21+2x=右边即 左边右边，不等式成立； 验证正确（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立， 即 (1+x)k1+kx, 假设正确则当m=k+1时， 由条件知 1+x0，kx20.左边=(1+x)k+1=1+(k+1)x+kx2=(1+x)k(1+x )(1+kx)(1+x)1+(k+1)x=右边所以(1+x)k+11+(k+1)x, 即当mk+1时，不等式也成立.推理准备利用假设转化变形推出正确二步小结由(i) (ii)知，当m2时所证不等式成立.肯定结论(1+x