等比数列求和公式及性质

1、等比数列求和公式及性质第1页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二等差数列等比数列定义 通项公式等差（等比）中项下标和公式SnSn=？anan-1=d(n2)(n2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1qn-1(q0)an=amqn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq复习第2页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二问题提出 小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元以后每天比前一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，

2、第二天还2分钱，第三天还4分钱以后每天还的钱是前一天的2倍，試计算30天后两人各得的钱数.设小林30天得到的钱数T30设小明30天得到的钱数S 30第3页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二引入新课同学们考虑如何求出这个和？1073.741万元这种求和的方法,就是错位相减法!第4页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二推导公式等比数列前n项求和公式已知：等比数列 an， a1， q， n求：Sn解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + +an qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23a1qn-1=a1+a1q + + + +作减法若：q1若q=

3、1,Sn=n a1(1-q )1-q(q=1)(q=1)na1第5页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二(一) 用等比定理推导当 q = 1 时 Sn = n a1因为所以6第6页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2 + a1qn-1= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 )= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an )Sn = a1 ( 1 q n ) 1 q (二）公式推导7第

4、7页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二于是等比数列前n项求和公式通项公式:an=a1qn-1第8页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二等比数列的前n项和例题解: 例5（1） 求等比数列 的前10项的和.第9页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二（2）已知等比数列an中，a1=2,q=3,求S3例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在5年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少？（结果精确到万元）第10页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二等比数列的前n项和例题第11页，共29页

5、，2022年，5月20日，5点38分，星期二等比数列的前n项和练习11. 根据下列条件，求相应的等比数列 的第12页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二等比数列的前n项和练习2-32. 求等比数列 1，2，4，从第5项到第10项的和. 从第5项到第10项的和: 3. 求等比数列 从第3项到第7项的和. 从第3项到第7项的和:第13页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二作业：P30.A组8（写在课本）9.10（写在作业本）第14页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二2、求数列1，x，x2，x3，xn，的前n项和。1、等比数列1，2，4，8，从

6、第5项到第10项的和为或3、求和：15第15页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二北师大版高中数学必修5第一章数列等比数列前n项和的公式第二课时第16页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二等比数列复习第17页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二（2）（1）（3）若数列 是等比数列，则 也是等比数列 （4）等比数列an的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列等比数列的性质第18页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二等比数列判定方法：（1）定义法：（2）递推公式法：（3）看通项法：（4）看前n项和法：第19页，共29页，202

7、2年，5月20日，5点38分，星期二例 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意， 得 an+1=4/5an因此，数列an是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列热气球在n分时间里上升的总高度第20页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二例 做边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内做内接正三角形，然后再做新三角形的内切圆.如此下去求前n个内切圆的面积和.第21页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二解 设第n

8、个正三角形的内切圆的半径为rn 从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的1/2，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的1/2，故第22页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二设前n个内切圆的面积之和为Sn，则：第23页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8消元第24页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二练习、求和分析：公比是字母，分 q=1 和

9、q1两种情况讨论解：（1）该数列为等比数列，记为an，其中a1=a,q=a当q=1时,Sn=na当q1时,Sn=第25页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二（1）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习:第26页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二思考：求和：.为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.）设，其中为等差数列，（提示：第27页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，星期二你能登上月球吗?能?! 只要你把你手上的纸对折38次我就能沿着它登上月球。哇M=1+2+4+8+2 （页）37列式：第28页，共29页，2022年，5月20日，5点38分，