几何体外接球外切球问题

1、球的组合体问题专题已知三棱锥P-ABC中，PA=4, AB=AC=2士, BC=6, PA丄面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积 为（ ）A. 16n B. 32n C. 64n D. 128n已知正三棱锥P - ABC中E, F分别是AC, PC的中点，若EF丄BF, AB=2,则三棱锥P - ABC的外 TOC o 1-5 h z 接球的表面积（）A. 4n B. 6n C. 8n D. 12n已知正三棱锥P-ABC的外接球的半径为2,且球心在点A, B, C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A. 3i 2+3 B. 3C. 3：15+3：2 D. 3已知正三棱锥的侧棱长为2,底面

2、边长为3,则该正三棱锥的外接球的表面积为（）A. ，B. 4n C.D. 16n HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 33若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为2込，则此三棱柱外接球的表面积是（）A n B.， nC. 3n D.亘n HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 3336已知球的表面积为4n,则球的内接正方体的边长的长为（）A.B.立 C. 1 D. 27已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A. &厅B. 12

3、.込 C. 1呂込 D.旳込&已知三棱柱的各侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2： 1，顶点都 在一个球面上，若该球的表面积为互_兀，则此三棱柱的侧面积为（）DD. 6已知表面积为24n的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4,则这个正四棱柱的侧面积为（）A. 32 B. 36 C. 48 D. 64已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足PA-PB = O 疋二0,疋巨二0,则三棱锥P - ABC的侧面积的最大值为（）A. 9 B. 18 C. 36 D. 7211.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、P

4、B、PC两两互相垂直,则三棱锥P - ABC的侧面积的最大值为（）A. 18 B. 24 C11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直,则三棱锥P - ABC的侧面积的最大值为（）A. 18 B. 24 C. 18 .W D. 24 .212.半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则 ABC、ACD、ADB面积之和sabc+Sacd+Sadb的最大值为()A. 8B. 16 C. 32 D. 64对数函数练习13已知 a=21-2, b=(护-0-2，c=2log52，则a， b，c的大小关系为（）A. bVaVc B

5、. cVaVb C.cVbVa D. bVcVa14.设a, b, c均为正数,且 2a= log 过,2专）=los2c，则（）A. aVbVc B. cVbVa C.cVaVb D. bVaVc15.已知函数f）二_2 DVmVI则不等式1口g2工-1 吕i虹-1） flei g辛+1 ）危5的解集为（A.令 1)B. 1, 4 C.峙，4) D. 1,心丄16已知且二2万，匕二辽盹冷万，器讪皿，则实数a，b, c的大小关系是（）A. acb B. bac C. abc D. cba17下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10igx的定义域和值域相同的是（）A. y=x B. y=lg

6、x C. y=2x D. TOC o 1-5 h z 18.若 ab0，0VcV1，贝9()A. log cVlogbc B. log aVlog b C. acVbcD. cacbabcc19.已知 a=log20.3, b=log032，c=log080.4 贝U()A. cab B. bca C. cba D. bac20.已知函数 f (x) =log x2 - 2 (2a - 1)x+8, aR,若 f (x)在a, +)上为减函数, T取值范围为（）B（晋 取值范围为（）B（晋 2 C.（A.(，2， 1D.(诗，12X23X2/322X23X2/32si nZBAC=!，2016

7、年12月12日的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共20小题）1. （2016秋晋中期末）已知三棱锥P-ABC中，PA=4, AB=AC=2主，BC=6, PA丄面ABC，则此三棱 锥的外接球的表面积为（）A. 16n B. 32n C. 64n D. 128n【分析】根据已知求出Aabc外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面 积.【解答】解：底面 ABC中，AB=AC=2主，BC=6，.cosZBAC二二-丄2所以三棱锥外接球的半径R2=r2+ （爭）2= （2T3）2+22=16, 所以三棱锥P - ABC外接球的表面积S=4nR2=64n.故选：C.【点评】

8、本题考查了三棱锥的外接球体积与计算能力的应用问题，确定三棱锥的外接球半径是解题的 关键.2. （2016福安市校级模拟）已知正三棱锥P-ABC中E，F分别是AC，PC的中点，若EF丄BF，AB=2, 则三棱锥P - ABC的外接球的表面积（）A. 4n B. 6n C. 8n D. 12n【分析】由正三棱锥的性质、线面垂直的判定定理证明PA丄平面PBC，可得以PA、PB、PC为从同一 点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，利用正方体的体对角线 是外接球的直径，求出半径，代入球的表面积求出答案.【解答】解：TE、F分别是AC，PC的中点，EFPA，TP-ABC是正三

9、棱锥，PA丄BC （对棱垂直），.EF丄BC，又 EF丄BF，且 BFABC=B，.EF丄平面PBC,PA丄平面PBC,.ZAPB=ZAPC=ZBPC=90,以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱， 将此三棱锥补成正方体，如图所示：三棱锥和正方体有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，又AB=2，PA=P，2R=，则R=，2三棱锥P - ABC的外接球的表面积为：4nR2=4nX （#） =6n, 故选B.【点评】本题考查了正三棱锥的性质、线面垂直的判定定理，以及球的表面积公式，几何体外接球的 表面积的求法，将正三棱锥还原为正方体是解题的关键.（2016大庆校级三模）已知正

10、三棱锥P-ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定 的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A.2+3 B. 3（T龙+亡）C. 31石+3立 D. 3 （卫+亡）【分析】画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积.【解答】解：正三棱锥P - ABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上.所以ABC的中心就是球心0, PO是球的半径，也是正三棱锥的高，则 R=2，由题意可知：0A=0B=0C=2，底面三角形ABC的高为：3.则害AB=3，AB=2 迂，PA=3 辽，则该正三棱锥的表面积是：寺X 2 一：3 X3+3X寺X V gX

11、 ；/ + 2=3i 3+3il 5-故选：B.【点评】本题考查空间几何体的表面积的求法，正三棱锥与外接球的关系，考查空间想象能力以及计 算能力.（2016潮州校级模拟）已知正三棱锥的侧棱长为2,底面边长为3,则该正三棱锥的外接球的表面 积为（）A. ，B. 4n C.D. 16n33【分析】由题意推出球心0到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE,求出球的半径，即可求出 外接球的表面积.【解答】解：如图，正三棱锥A - BCD中，底面边长为3，侧棱长为2， BE*33，高AE=J扭2_ee?=1.由球心0到四个顶点的距离相等，在直角三角形BOE中，BO=R，EOF胪諮=1 - R，由 BO

12、2=BE2+EO2，得 R2=3+（1 - R）2，R=2，外接球的半径为，表面积为：2nR3=33故选：C.【点评】本题属于中档题，考查空间想象能力，计算能力；直角三角形BOE是本题解题的关键，仔 细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.（2016太原二模）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为2七，则此三棱柱外接球的表面积 是（ ）A n B. ， nC. 3n D.空n333【分析】由题意可得：:心貝沱，解得a.设此三棱柱外接球的半径为R,利用勾股定理可得R2.再利用球的表面积计算公式即可得出.【解答】解：由题意可得：立心2心=2込，解得a=2.设此三棱柱外接球的半径为R设此三棱柱外接球

13、的半径为R,则R2=此三棱柱外接球的表面积S=4nR2= 故选：B.【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的面积计算公式、球的表面积计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题.（2016秋福州期中）已知球的表面积为4n，则球的内接正方体的边长的长为（）D. D. 2【分析】设正方体的棱长为X，利用球的内接正方体的对角线即为球的直径、球的表面积计算公式即 可得出.【解答】解：设正方体的棱长为【解答】解：设正方体的棱长为X,则X 4n=4n，解得x= 故选：A.【点评】本题考查了球的内接正方体的对角线即为球的直径的性质、球的表面积计算公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题.（2015哈

14、尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为算的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A. & 厅 B. 13.込 C. 1 呂込 D. 24/1【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径 和棱柱底面正边长的关系，求出边长，即求出底面正的面积；得出棱柱的表面积.【解答】解：由球的体积公式，得4nR3=R=1.正三棱柱的高h=2R=2.设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为诗导4.a=2 . 3.：该正三棱柱的表面积为：3a2R+2XX /=18T3.故选C.【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公

15、式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正 的内切圆与边长的关系得出的. TOC o 1-5 h z 8 （2015衡阳二模）已知三棱柱的各侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之 比为2： 1,顶点都在一个球面上，若该球的表面积为匹n则此三棱柱的侧面积为（）3A.七 B. C. 8D. 62【分析】球与三棱柱的关系得出4nr2= n，得r2=，根据几何性质得出r2=x2+ （ x） 2，利用公式 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 333得出三棱柱的侧面积为6.【解答】解：设底面边长为x球半径为r，则4nr2= n，得r2=

16、， HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 33又题意得r2=X2+ （ X）2，解得x=1，3故三棱柱的侧面积为6.故选：D【点评】本题空间几何体的性质，球与三棱柱的镶嵌问题，注意边长，半径的关系，计算准确，属于 中档题.（2015秋资阳期末）已知表面积为24n的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底 面）的高为4,则这个正四棱柱的侧面积为（）A. 32 B. 36 C. 48 D. 64【分析】先由球的表面积求出球的半径，由此能求出其内接正四棱柱的底面边长，从而能求出这个正 四棱柱的侧面积.【解答】解：设表面积为24n的球体的半径为R，

17、则4nR2=24n，解得R6，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，设这个正四棱柱的底面边长为a，且+ 4 ?=2i 6，解得 a=2，这个正四棱柱的侧面积S=4X2X4=32.故选：A.【点评】本题考查正四棱柱的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运 用.（2015秋琼海校级月考）已知三棱锥P - ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足亘歪二0,丙忧二0,药庶二0,则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（）A. 9 B. 18 C. 36 D. 72【分析】由已知得PA，PB，PC两两垂直，36=PA2+PB2+PC2,由基本不等式可得36PAP

18、B+PBPC+PAPC， 由此能求出三棱锥P - ABC的侧面积的最大值.【解答】解：耳是二0,耳忧二0,疋庶二0,.PA，PB, PC两两垂直，又三棱锥P - ABC的四个顶点均在半径为3的球面上（2X3）2=PA2+PB2+PC2,则由基本不等式可得 PA2+PB22PAPB, PA2+PC22PAPC, PB2+PC22PBPC,即 36=PA2+PB2+PC2PAPB+PBPC+PAPC则三棱锥P - ABC的侧面积sd（PAPB+PBPC+PAPC）W18,2则三棱锥P - ABC的侧面积的最大值为18.故选：B.【点评】本题考查三棱锥的侧面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审

19、题，注意基本不等式 性质的合理运用.（2014焦作一模）已知三棱锥P - ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥P - ABC的侧面积的最大值为（）A. 18 B. 24 C. 18 .迈 D. 24 .2【分析】由已知，三棱锥P - ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA, PB, PC两两垂直，球 直径等于以PA, PB, PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最 大值.【解答】解：TPA, PB, PC两两垂直，又三棱锥P - ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，以PA, PB, PC为棱的长方体的对角线即为

20、球的一条直径.36=PA2+PB2+PC2, 则由基本不等式可得 PA2+PB22PAPB, PA2+PC22PAPC, PB2+PC22PBPC,即 36=PA2+PB2+PC2PAPB+PBPC+PAPC则三棱锥P - ABC的侧面积S丄（PAPB+PBPC+PAPC）W18,2则三棱锥P - ABC的侧面积的最大值为18,故选A.【点评】本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到 棱锥的外接球直径等于以PA, PB, PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键.（2013建邺区模拟）半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB, AC, AD两两互相垂

21、直，则 ABCACDADB 面积之和 Smbc+S“cd+Sdb 的最大值为（）A. 8 B. 16 C. 32 D. 64【分析】AB, AC, AD为球的内接长方体的一个角，故a2+b2+c2=64，计算三个三角形的面积之和，利 用基本不等式求最大值.【解答】解析：C.根据题意可知，设AB=a, AC=b, AD=c，则可知AB, AC, AD为球的内接长方体的 一个角.故a2+b2+c2=64,而故选C.【点评】本题考查了利用构造法求球的直径、利用基本不等式求最值问题，考查了同学们综合解决交 汇性问题的能力.（2017南开区模拟）已知a=2i.2, b= -） -0.2, c=2log5

22、2，则a, b, c的大小关系为（）A. bVaVc B. cVaVb C. cVbVa D. bVcVa【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出.【解答】解：b=（丄）-o.2=2o.2V21.2=a,2ab1.Vc=2log52=log54bc.故选：C.【点评】本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题.14. （2017湖北模拟）设a, b, c均为正数，且2a=l訓a,，则（）A. aVbVc B. cVbVa C. cVaVb D. bVaVc【分析】比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a, b, c,可以借助函数图象的交 点的位置进行比较.【解

23、答】解：分别作出四个函数y=（寺二沪5 gp,y=2x, y=log2x的图象，观察它们的交点情况.由图象知：a VbVc.【点评】本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大 小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法.15-（2017百色一模）已知函数f叽，4则不等式心小彎咲討g的解集为（）A.（丄，1） B. 1, 4 C.（丄，4） D. 1, +*lo1吕护-(. g I 4lo1吕护-(. g I 4宣-， 或T【分析】不等式r0log3K+lllog2x+2aogl4x-l)5，解出即可得出Io Sjx+ll【解答】解：不等式 log

24、2i_ (lo g j 4xl) f Clogx+lXBr0log3K+ll“ logrj+Clcig! 4k-1J=CS， 解得1WxW4,或寺Kcb B. bac C. abc D. cba_丄丄丄【分析】化简且二2三#，口严心）2=3 ?亍u今J皿冷JcMx） I；令，进而得出.-丄丄-丄【解答】 解：二王亍，=2 二F，匚今 J ；訪门说x弓 JcmG I；令，而 0逅 ,3bc.故选：C.【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题. （2016新课标II）下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10igx的定义域和值域相同的是（）A. y=x B. y=lgx C. y=2x D.V K【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案.【解答】解：函数y=10igx的定义域和值域均为（0, +*）,函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求；函数y